2019版高中数学 第一章 导数及其应用 1.6 微积分基本定理学案 新人教A版选修2-2.doc
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1、11.61.6 微积分基本定理微积分基本定理学习目标 1.直观了解并掌握微积分基本定理的含义.2.会利用微积分基本定理求函数的积分知识点一 微积分基本定理(牛顿莱布尼茨公式)思考 已知函数f(x)2x1,F(x)x2x,则 (2x1)dx与F(1)F(0)有什么关系?1 0答案 由定积分的几何意义知, (2x1)dx (13)12,F(1)F(0)2,故1 01 2 (2x1)dxF(1)F(0)1 0梳理 (1)微积分基本定理条件:f(x)是区间a,b上的连续函数,并且F(x)f(x);结论:f(x)dxF(b)F(a);b a符号表示:f(x)dxF(x)| F(b)F(a)b ab a(
2、2)常见的原函数与被积函数关系cdxcx| (c为常数)b ab axndxError!(n1)b ab a sin xdxcos x| .b ab a cos xdxsin x| .b ab adxln x| (ba0)b a1 xb a exdxex| .b ab aaxdxError!(a0 且a1)b ab adxError!(ba0)b a xb a知识点二 定积分和曲边梯形面积的关系思考 定积分与曲边梯形的面积一定相等吗?答案 当被积函数f(x)0 恒成立时,定积分与曲边梯形的面积相等,若被积函数f(x)0不恒成立,则不相等2梳理 设曲边梯形在x轴上方的面积为S上,在x轴下方的面积
3、为S下,则(1)当曲边梯形在x轴上方时,如图,则 f(x)dxS上b a(2)当曲边梯形在x轴下方时,如图,则 f(x)dxS下b a(3)当曲边梯形在x轴上方,x轴下方均存在时,如图 ,则f(x)dxS上S下特别地,若b aS上S下,则 f(x)dx0.b a1若F(x)f(x),则F(x)唯一( )2微积分基本定理中,被积函数f(x)是原函数F(x)的导数( )3应用微积分基本定理求定积分的值时,被积函数在积分区间上必须是连续函数( )类型一 求定积分命题角度1 求简单函数的定积分例 1 计算下列定积分(1) (2xex)dx;1 0(2)dx;2 1(1 x3cos x)(3) 220(
4、sincos) d ;22xxx(4) (x3)(x4)dx.3 0考点 利用微积分基本定理求定积分题点 利用微积分基本定理求定积分解 (1) (2xex)dx(x2ex)|1 01 0(1e1)(0e0)e.(2)dx2 1(1 x3cos x)(ln x3sin x)|2 13(ln 23sin 2)(ln 13sin 1)ln 23sin 23sin 1.(3)2(sin x 2cos x 2)12sin cos 1sin x,x 2x 2 22200(sincos) d(1-sin )d22xxxxx 2 0(cos )|xx(0cos 0)1.( 2cos 2) 2(4)(x3)(x
5、4)x27x12, (x3)(x4)dx3 0 (x27x12)dx3 0Error!3 00.(1 3 3372 3212 3)27 2反思与感悟 (1)当被积函数为两个函数的乘积或乘方形式时一般要转化为和的形式,便于求得原函数F(x)(2)由微积分基本定理求定积分的步骤第一步:求被积函数f(x)的一个原函数F(x);第二步:计算函数的增量F(b)F(a)跟踪训练 1 计算下列定积分(1)dx;2 1(xx21 x)(2) 2220(cossin)d22xxx;(3)(1)dx.9 4xx考点 利用微积分基本定理求定积分题点 利用微积分基本定理求定积分解 (1)dx2 1(xx21 x)Er
6、ror!2 14(1 2 2213 23ln 2) (121 3ln 1)ln 2 .5 6(2) 2220(cossin)d22xxx 20cos dx xsin x 2 0|1.(3)(1)dx9 4xx (x)dxError!9 4x9 4.(2 3 12 92) (23 12 42)271 6命题角度2 求分段函数的定积分例 2 (1)若f(x)Error!求 21( )d ;f xx (2)计算定积分 |32x|dx.2 1考点 分段函数的定积分题点 分段函数的定积分解 (1) 21( )df xx x2dx 20(cos1)d ,xx01又因为x2,(sin xx)cos x1,(
7、1 3x3)所以原式Error!(sin xx) 2 0|01(sin 00)(01 3) (sin 22) .4 3 2(2) |32x|dx2 1322312(32 )d(23)dxxxx5(3xx2)3 2 1|(x23x)2 3 2| .1 2反思与感悟 分段函数定积分的求法(1)利用定积分的性质,转化为各区间上定积分的和计算(2)当被积函数含有绝对值时,常常去掉绝对值号,转化为分段函数的定积分再计算跟踪训练 2 (1)e|x|dx_.11考点 分段函数的定积分题点 分段函数的定积分答案 2e2解析 e|x|dx11exdx exdx011 0ex|ex|011 0e0e1e1e02e
8、2.(2)已知f(x)Error!求 f(x)dx.2 0考点 分段函数的定积分题点 分段函数的定积分解 f(x)dx2 0 (2xex)dxdx1 02 1(x1 x)(x2ex)| Error!1 02 1(1e)(0e0)(1 2 22ln 2) (12 1ln 1)e ln 2.3 2类型二 利用定积分求参数例 3 (1)已知t0,f(x)2x1,若 f(x)dx6,则t_.t0(2)已知 2 (kx1)dx4,则实数k的取值范围为_2 1考点 微积分基本定理的应用题点 利用微积分基本定理求参数答案 (1)3 (2)2 3,26解析 (1)f(x)dx (2x1)dxt2t6,t0t0
9、解得t3 或2,t0,t3.(2) (kx1)dxError!k1.2 12 13 2由 2k14,得 k2.3 22 3引申探究1若将例 3(1)中的条件改为 f(x)dxf ,求t.t0(t 2)解 由 f(x)dx (2x1)dxt2t,t0t0又f t1,t2tt1,得t1.(t 2)2若将例 3(1)中的条件改为 f(x)dxF(t),求F(t)的最小值t0解 F(t)f(x)dxt2t2 (t0),t0(t1 2)1 4当t 时,F(t)min .1 21 4反思与感悟 (1)含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查,先利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前
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