2019版高中数学 第三章3.2.2 复数代数形式的乘除运算学案 新人教A版选修2-2.doc

《2019版高中数学 第三章3.2.2 复数代数形式的乘除运算学案 新人教A版选修2-2.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019版高中数学 第三章3.2.2 复数代数形式的乘除运算学案 新人教A版选修2-2.doc（13页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、13.2.23.2.2 复数代数形式的乘除运算复数代数形式的乘除运算学习目标 1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算.2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.3.理解共轭复数的概念知识点一 复数的乘法及其运算律思考 怎样进行复数的乘法运算？答案 两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要把已得结果中的 i2换成1，并且把实部与虚部分别合并即可梳理 (1)复数的乘法法则设z1abi，z2cdi 是任意两个复数，那么它们的积(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i.(2)复数乘法的运算律对于任意z1，z2，z3C C，有交换律z1z2z2z1结合律(z1z2)z3z1(z2z3)乘

2、法对加法的分配律z1(z2z3)z1z2z1z3知识点二 共轭复数当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，z的共轭复数用 表示即zabi，则 abi.zz知识点三 复数的除法法则思考 类比根式除法的分母有理化，比如，你能写出复数的除法法则1 33 21 33 23 23 2吗？答案 设z1abi，z2cdi(cdi0)，则i.z1 z2abi cdiacbd c2d2bcad c2d21复数加减乘除的混合运算法则是先乘除，再加减( )2两个共轭复数的和与积是实数( )23若z1，z2C C，且zz0，则z1z20.( )2 12 2类型一 复数代数形式的乘除运算例

3、1 计算：(1)(1i)；(1 232i)(3212i)(2)；12i231i2i(3).14i1i24i34i考点 复数的乘除法运算法则题点 乘除法的运算法则解 (1)(1i)(1 232i)(3212i)(1i)(3434)(3 41 4)i(1i)(3212i)i(3212) (1 232)i.1 321 32(2)12i231i2i34i33i 2i i.i 2ii2i51 52 5(3)14i1i24i34i53i24i 34i7i 34i7i34i34i34i1i.2128i3i4 252525i 25反思与感悟 (1)按照复数的乘法法则，三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序

4、运算或利用结合律运算，混合运算和实数的运算顺序一致，在计算时，若符合乘法公式，则可直接运用公式计算3(2)根据复数的除法法则，通过分子、分母都乘以分母的共轭复数，使“分母实数化” ，这个过程与“分母有理化”类似跟踪训练 1 计算：(1)(4i)(62i)(7i)(43i)；(2)；32i 23i32i 23i(3).i2i11ii1i考点 复数的乘除法运算法则题点 乘除法的运算法则解 (1)(4i)(62i)(7i)(43i)(248i6i2)(2821i4i3)(262i)(3117i)515i.(2)32i 23i32i 23iii0.i23i23ii23i23i(3)i2i11ii1ii

5、2i2i2 i1i2ii13i 2i13i2i2i2i1i.2i6i3i2 555i 5类型二 i 的运算性质例 2 计算：(1)2 016；22i1i2(21i)(2)ii2i2 017.考点 虚数单位 i 及其性质题点 虚数单位 i 的运算性质解 (1)原式1 00821i2i(2 2i)i(1i)(i)1 008ii2(1)1 008i1 008i1i4252i11i.4(2)方法一 原式i1i2 0171iii2 018 1iii4504i21ii1 1ii.1i1i1i1i2i 2方法二 因为 inin1in2in3in(1ii2i3)0(nN N*)，所以原式(ii2i3i4)(i

6、5i6i7i8)(i2 013i2 014i2 015i2 016)i2 017i2 017(i4)504i1504ii.反思与感悟 (1)等差、等比数列的求和公式在复数集 C C 中仍适用，i 的周期性要记熟，即inin1in2in30(nN N*)(2)记住以下结果，可提高运算速度(1i)22i，(1i)22i；i，i；1i 1i1i 1i i.1 i跟踪训练 2 (1)2 017_.(1i 1i)考点 虚数单位 i 及其性质题点 虚数单位 i 的运算性质答案 i解析 2 0172 0172 017(1i 1i)1i1i1i1i(2i 2)i2 017(i4)504i1504ii.(2)化

7、简 i2i23i3100i100.考点 虚数单位 i 及其性质题点 虚数单位 i 的运算性质解 设Si2i23i3100i100，所以 iSi22i399i100100i101，得(1i)Sii2i3i100100i101100i1010100i100i.i1i1001i所以S100i 1i100i1i1i1i1001i255050i.所以 i2i23i3100i1005050i.类型三 共轭复数及其应用例 3 把复数z的共轭复数记作 ，已知(12i) 43i，求z.zz考点 共轭复数的定义与应用题点 利用定义求共轭复数解 设zabi(a，bR R)，则 abi，z由已知得(12i)(abi)

8、(a2b)(2ab)i43i，由复数相等的定义知，Error!得a2，b1，所以z2i.引申探究 例 3 条件改为 (z2)43i，求z.z解 设zxyi(x，yR R)则 xyi，z由题意知，(xyi)(xyi2)43i.得Error!解得Error!或Error!所以z i 或z i.(1112)3 2(1112)3 2反思与感悟 当已知条件出现复数等式时，常设出复数的代数形式，利用复数相等的充要条件转化为实数问题求解跟踪训练 3 已知复数z满足|z|1，且(34i)z是纯虚数，求z的共轭复数 .z考点 共轭复数的定义与应用题点 利用定义求共轭复数解 设zabi(a，bR R)，则|z|1

9、，a2b2即a2b21.因为(34i)z(34i)(abi)(3a4b)(3b4a)i 是纯虚数，所以 3a4b0，且3b4a0.由联立，解得Error!或Error!所以 i 或 i.z4 53 5z4 53 51设复数z满足 iz1，其中 i 为虚数单位，则z等于( )6Ai BiC1 D1考点 复数的乘除法运算法则题点 利用乘除法求复数中的未知数答案 A解析 z i.1 i2若z43i(i 为虚数单位)，则等于( )z |z|A1 B1C. i D. i4 53 54 53 5考点 复数的乘除法运算法则题点 乘除法的运算法则答案 D解析 z43i，|z|5， i.z |z|4 53 53

10、已知1i(i 为虚数单位)，则复数z等于( )1i2zA1i B1iC1i D1i考点 复数四则运算的综合应用题点 复数的混合运算答案 D解析 因为1i，1i2z所以z1i.1i21i2i 1i2i1i24设 i 是虚数单位， 是复数z的共轭复数，若z，则 _.z2i3 1iz考点 共轭复数的定义与应用题点 利用定义求共轭复数答案 1i解析 z1i，2i3 1i2i1i1i1i所以 1i.z75已知复数z满足：z 2zi86i，求复数z的实部与虚部的和z考点 共轭复数的定义与应用题点 与共轭复数有关系的综合问题解 设zabi(a，bR R)，则z a2b2，za2b22i(abi)86i，即a

11、2b22b2ai86i，Error!解得Error!ab4，复数z的实部与虚部的和是 4.1复数代数形式的乘除运算(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化2共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题3复数问题实数化思想复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数zabi(a，bR R)，利用复数相等的充要条件转化.一、选择题1i 为虚数单位， 等于( )1 i1 i31 i51 i7A0

12、B2iC2i D4i考点 虚数单位 i 及其性质题点 虚数单位 i 的运算性质答案 A解析 i，i，i，i，1 i1 i31 i51 i7 0.1 i1 i31 i51 i782复数(1i)2(23i)的值为( )A64i B64iC64i D64i考点 复数的乘除法运算法则题点 乘除法的运算法则答案 D解析 (1i)2(23i)2i(23i)64i.3已知复数z满足(z1)i1i，则z等于( )A2i B2iC2i D2i考点 复数的乘除法运算法则题点 利用乘除法求复数中的未知数答案 C解析 由(z1)i1i，两边同乘以i，则有z11i，所以z2i.4已知复数z13bi，z212i，若是实数

13、，则实数b等于( )z1 z2A6 B6C0 D.1 6考点 复数的乘除法运算法则题点 利用乘除法求复数中的未知数答案 A解析 z1 z23bi 12i3bi12i12i12i是实数，32b6bi56b0，实数b的值为 6，故选 A.95已知 i 为虚数单位，图中复平面内的点A表示复数z，则表示复数的点是( )z 1iAM BNCP DQ考点 复数的乘除法运算法则题点 运算结果与点的对应关系答案 D解析 由图可知z3i，所以复数2i 表示的点是Q(2，1)故选 D.z 1i3i 1i3i1i1i1i42i 26设复数z满足i，则|z|等于( )1z 1zA1 B.2C. D23考点 复数的乘除

14、法运算法则题点 利用乘除法求复数中的未知数答案 A解析 由i，1z 1z得zi，1i 1i1i1i22i 2|z|i|1.7若z 6，z 10，则z等于( )zzA13i B3iC3i D3i考点 共轭复数的定义与应用题点 与共轭复数有关的综合问题答案 B解析 设zabi(a，bR R)，则 abi，z所以Error!解得Error!则z3i.108计算的值是( )1 3i31i62i 12iA0 B1C2i Di考点 复数四则运算的综合应用题点 复数的混合运算答案 C解析 原式1 3i31i232i12i12i12i1 3i32i324ii2 5ii(1 232i)3i1 ii2i.iii二

15、、填空题9已知a，bR R，i 是虚数单位，若(1i)(1bi)a，则 的值为_a b考点 复数的乘除法运算法则题点 利用乘除法求复数中的未知数答案 2解析 因为(1i)(1bi)1b(1b)ia，又a，bR R，所以 1ba且 1b0，得a2，b1，所以 2.a b10若复数z满足(34i)z43i(i 是虚数单位)，则|z|_.考点 复数的乘除法运算法则题点 利用乘除法求复数中的未知数答案 1解析 因为(34i)z43i，所以zi.43i 34i43i34i34i34i25i 25则|z|1.11定义一种运算：adbc.则复数a b c d1i 1 2 3i11的共轭复数是_考点 共轭复数

16、的定义与应用题点 利用定义求共轭复数答案 13i解析 3i(1i)213i，1i 1 2 3i其共轭复数为13i.三、解答题12已知z，为复数，(13i)z为纯虚数，且|5，求.z 2i2考点 复数的乘除法运算法则题点 乘除法的综合应用解 设zabi(a，bR R)，则(13i)za3b(3ab)i.由题意得a3b0,3ab.因为|5，|z 2i|2所以|z|5，a2b210将a3b代入，解得a15，b5 或a15，b5，故(7i)155i 2i13已知复数z1i.(1)设z23 4，求；z(2)若1i，求实数a，b的值z2azb z2z1考点 复数四则运算的综合应用题点 与混合运算有关的未知

17、数求解解 (1)因为z1i，所以z23 4(1i)23(1i)41i.z(2)因为z1i，所以1i，z2azb z2z11i2a1ib1i21i1即1i，aba2ii所以(ab)(a2)i(1i)i1i，所以Error!解得Error!12四、探究与拓展14投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n，则复数(mni)(nmi)为实数的概率为_考点 复数的乘除法运算法则题点 乘除法的综合应用答案 1 6解析 易知(mni)(nmi)mnm2in2imn2mn(n2m2)i.若复数(mni)(nmi)为实数，则m2n2，即(m，n)共有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(

18、6,6)，6 种情况，所以所求概率为 .6 361 615设z是虚数，z 是实数，且12.1 z(1)求|z|的值及z的实部的取值范围；(2)设，求证：为纯虚数1z 1z考点 复数四则运算的综合应用题点 与四则运算有关的问题(1)解 因为z是虚数，所以可设zxyi(x，yR R，且y0)，则z (xyi)xyii.1 z1 xyixyi x2y2(xx x2y2) (yy x2y2)因为是实数，且y0，所以y0，y x2y2即x2y21.所以|z|1，此时2x.又12，所以12x2.所以 x1，1 2即z的实部的取值范围是.(1 2，1)(2)证明 1z 1z1xyi1xyi1xyi1xyi1x2y213.1x2y22yi 12xx2y2又x2y21，所以i.y 1x因为 y0，所以为纯虚数