隐式差分方程课件.ppt
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1、 2.3 隐式差分格式隐式差分格式 与显式差分格式不同,隐式差分格式中包括了(n+1)时间层上二个或二个以上结点处的未知值(例如 ),使用隐式差分格式和使用显式差分格式求解完全不同。相对而言,使用隐式差分格式求解,每时间层包含有较多的计算工作量。从后面对差分格式的稳定性分析可知,隐式格式的优点在于,其稳定性要求对步长比的限制大为放宽,而这正是我们所期望的。2.3.1 古典隐式格式现在对热传导方程推导其最简单的隐式差分逼近古典隐式格式。由故 式中左边如果仅保留二阶导数项,且以 替代 ,则得差分格式 或者 (2.41)格式用图2.5表示,其截断误差阶为 ,与古典差分格式相同。图2.5:为了求得第(
2、n+1)时间层上的 的值,必须通过解线性代数方程组。这是一个隐式差分格式,必须联合其初边值条件求解。格式(2.41)通常称为古典隐式格式。我们也可以通过直接用差分算子代替 的方法,即代入微分方程,得到格式(2.41)。2.3.2 Crank-Nicolson隐式格式 Crank-Nicolson隐式差分格式是解热传导方程(2.26)的常用的差分格式,为了推导它,由式(2.24),有由得 (2.42)两边仅保留前二项,用 代替 ,则得差分格式 (2.43)这是一个隐式差分格式,称为Crank-Nicolson差分格式,截断误差阶为 ,也可写为 (2.44)由于格式(2.44)中包括六个结点,故也
3、可称为六点格式(如图2.6所示)。图2.6 也可将 代入微分方程(2.26),得到Crank-Nicolson格式。基于如同Crank-Nicolson格式一样的六个网格结点可获得另一精度较高的差分格式,如在前式(2.42)中仅保留直到 的项,即有由式(2.19.3),可令则可得代入上式,则有如下差分格式:(2.45)它称为Douglas差分格式,具有截断误差阶 。例2.1 解初边值问题 应用(1)Crank-Nicolson差分格式,(2)Douglas差分格式解上述问题。对每一种情况,令 (r的这个值对Douglas格式有最小的截断误差),由初值条件和边值条件通过上述二个格式的每一个逐层求
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