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1、几何证明举例(几何证明举例(5)曹县博雅中学曹县博雅中学01学习目标05随堂练习06课堂小结03新知探究02旧知回顾04例题精讲1.根据三角形全等推导根据三角形全等推导“HL”定理;定理;2.熟练应用熟练应用“斜边、直角边斜边、直角边”定理。定理。学习目标辅助线常用的作法和技巧辅助线常用的作法和技巧:题中有角平分线,可向两边做垂线;题中有角平分线,可向两边做垂线;线段垂直平分线,可两端把线连;线段垂直平分线,可两端把线连;三角形中有中线,延长中线等中线;三角形中有中线,延长中线等中线;角平分线加垂线,三线合一试试看;角平分线加垂线,三线合一试试看;也可将图对折看,对称以后关系现;也可将图对折看
2、,对称以后关系现;要证线段倍与半,延长缩短可实现。要证线段倍与半,延长缩短可实现。现在你有几种判定直角三角形现在你有几种判定直角三角形全等的方法?全等的方法?1.边角边边角边 简称简称“SAS”2.角边角角边角 简称简称“ASA”3.边边边边边边 简称简称“SSS”4.角角边角角边 简称简称“AAS”前前三三个个是是基基本本事事实实 如图,在如图,在RtABC和和RtA B C中,中,C=C=90,ABA B,ACA C.能证明能证明RtABC RtABC吗?吗?A/B/C/ACB 方法方法方法方法1 1 根据根据AC=AC,C=C将两个三角形的直将两个三角形的直角边角边AC和和AC和对应顶点
3、分别重合,和对应顶点分别重合,B和和B分别在分别在AC所在直线的两侧所在直线的两侧(如图如图)。由于。由于ACB=ACB=90,所以所以B,C,B 三点共线,又由于三点共线,又由于AB=AB,于是组成等腰于是组成等腰三角形三角形ABB.所以所以B=B,所以所以ACBACB(AAS).A/B/C/ACB()()C/A(A/)B(B/)C 方法方法方法方法2 2 将两个直角三角形的将两个直角三角形的斜边重合斜边重合在一起,在一起,你能证明这两个直角三角形全等吗?你能证明这两个直角三角形全等吗?4312于是得到于是得到直角三角形全等的判定定理直角三角形全等的判定定理直角三角形全等的判定定理直角三角形
4、全等的判定定理:如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等,一个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等,一个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等,一个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等,那那那那么这两个直角三角形全等么这两个直角三角形全等么这两个直角三角形全等么这两个直角三角形全等.(.(简记为简记为简记为简记为“斜边,直角边斜边,直角边斜边,直角边斜边,直角边”或或或或“HLHL”)以后学习了勾股定理后还有别的方法以后学习了勾股定理后还
5、有别的方法“斜边、直角边斜边、直角边”或或“HL”定理的符号语言定理的符号语言在在RtABC和和RtDEF中,中,如果AB=DE,AC=DF.则则 RtABC RtDEF (HL)SSA翻身啦!翻身啦!由于由于HL定理的存在,在直角三角形中,定理的存在,在直角三角形中,两边及一角分别相等的两个三角形两边及一角分别相等的两个三角形,当其中,当其中较大一边的对角是直角时,它们全等。较大一边的对角是直角时,它们全等。例例例例3.3.如图,在如图,在 ABC 中,中,BDCD,DEAB,DFAC,E、F为垂足,为垂足,DEDF.求证:求证:ABC是等腰三角形是等腰三角形.证明证明证明证明 DEAB,D
6、FAC,BED和和CFD都是直角三角形都是直角三角形.DE=DF,DB=DC,RtDEB RtDFC(HL).B=C.ABC是等腰三角形是等腰三角形.例例例例4 4 已知一直角边和斜边作直角三角形已知一直角边和斜边作直角三角形.已知已知:线段线段l,m(lm).求作求作RtABC,使直角边使直角边AC=l,斜边斜边AB=m.lm 先利用基本作图先利用基本作图先利用基本作图先利用基本作图“过一点作已知直线的过一点作已知直线的过一点作已知直线的过一点作已知直线的垂线垂线垂线垂线”,作出三角形的直角顶点作出三角形的直角顶点作出三角形的直角顶点作出三角形的直角顶点C.C.再根据直角再根据直角再根据直角
7、再根据直角边边边边ACAC的长确定顶点的长确定顶点的长确定顶点的长确定顶点A A,最后根据斜边长作出,最后根据斜边长作出,最后根据斜边长作出,最后根据斜边长作出另一个顶点另一个顶点另一个顶点另一个顶点B.B.已知已知:线段线段l,m(lm).求作求作RtABC,使直角边使直角边AC=l,斜边斜边AB=m.lm作法:作法:作法:作法:(1)任取一点任取一点C,作射线作射线CD;(2)过点过点C作射线作射线CECD;(4)以点以点A为圆心为圆心,m为半径画弧,交为半径画弧,交CD于点于点B;(5)连接连接AB.(3)在在CE上截取上截取CA=l;ABC即为所求作的三角形即为所求作的三角形.B如图:已知如图:已知ACBD,C=D=90.求证:RtABCRtBAD.ABDCO 1.应用斜边直角边(应用斜边直角边(HL)定理判定两个三角)定理判定两个三角形全等,要按照定理的条件,准确地找出形全等,要按照定理的条件,准确地找出“对应对应相等相等”的边;的边;2.寻找使结论成立所需要的条件时,要注意寻找使结论成立所需要的条件时,要注意充分利用图形中的隐含条件,如充分利用图形中的隐含条件,如“公共边、公共公共边、公共角、对顶角角、对顶角等等等等”.作业;作业;习题习题5.63题题4题题5题题
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