原子物理量子力学基础幻灯片.ppt
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1、原子物理量子力学基础第1页,共62页,编辑于2022年,星期五量子力学中的薛定谔方程,相当于经典力学中的牛顿运动定律,是不能从什么更基本的原理中推出来的。它的正确与否,只能由科学实验来检验。实际上,薛定谔方程是量子力学的一个基本原理。我们可以从不同侧面发现薛定谔方程与经典力学概念之间的联系。从形式上看,如在经典关系式(3.1.2)中作如下变换:3.1.2然后作用于波函数,就得到薛定谔方程下面研究定态薛定谔方程下面研究定态薛定谔方程在势能V不显含时间的问题中,薛定谔方程可以用一种分离变数的方法求其特解,令特解表为第2页,共62页,编辑于2022年,星期五3.1.4代入式(3.1.1),并把坐标函
2、数和时间函数分列于等号两边:令这常数为E,有3.1.53.1.6于是波函数(r,t)可以写成第3页,共62页,编辑于2022年,星期五与自由粒子的波函数比较,可知上式中的常数E就是能量,具有这种形式的波函数所描述的状态称为定态.在定态中几率密度(r r,t)2=(r r)2与时间无关。另一方面,式(3.1.5)右边也等于E,故有 这是波函数中与坐标有关的部分(r r)所满足的方程,此方程称作定态薛定谔方程 例3.1.1 试由自由粒子的平面波方程给出建立薛定谔方程的一种方法(1)第4页,共62页,编辑于2022年,星期五对(1)x,y,z取二阶偏微商得到等式相边相加,即有为拉普拉斯算符把(1)对
3、t取一阶偏微商如果自由粒子的速度较光速小得多,它的能量公式是p2/2m=E,两边乘以,即得(2)(3)(4)(5)第5页,共62页,编辑于2022年,星期五得到一个自由粒子的薛定谔方程。把(3)和(4)代入(5)对于一个处在力场中的非自由粒子,它的总能量等于动能加势能 两边乘以 自由粒子的薛定谔方程可以按此式推广成(6)(7)(8)(9)第6页,共62页,编辑于2022年,星期五薛定谔方程是非相对论微观粒子的基本方程薛定谔方程是非相对论微观粒子的基本方程 -量子力学基本假设量子力学基本假设地位同经典物理的牛顿定律地位同经典物理的牛顿定律 薛定谔薛定谔Erwin Schrodinger 奥地利人
4、奥地利人 1887-1961 创立量子力学创立量子力学获获1933年诺贝尔物理学奖年诺贝尔物理学奖第7页,共62页,编辑于2022年,星期五一维无限深势阱中的粒子一一个个粒粒子子在在两两个个无无限限高高势势垒垒之之间间的的运运动动,实实际际上上与与一一个个粒粒子子在在无无限限深深势势阱阱中中的的运运动动属属于于同同一一类类问问题题。设设势势阱阱位位于于x=0 x=0及及x=ax=a处处。势势阱阱之之间间(图图3.2.13.2.1中中区区),V=0V=0,势势阱阱本本身身(图图3.2.13.2.1中中,区区),V=V=,求求粒粒子子在在势阱间的运动情况。势阱间的运动情况。薛定谔方程为薛定谔方程为
5、图3.2.1 无限深势阱无限深势阱在在,区区,只只能能有有=0.=0.因因为为从从物物理理上上考考虑虑,粒粒子子不不能能存存在在于于势势能能为为无无限限大大的的地区,在地区,在区,方程简化为区,方程简化为(3.2.1)第8页,共62页,编辑于2022年,星期五(3.2.3)(3.2.4)式中,A,为待定常数,为确定A与之值,利用的边界条件及归一化条件。从物理上考虑,粒子不能透过势阱,要求在阱壁及阱外波函数为零,即3.2.2第9页,共62页,编辑于2022年,星期五即上式舍去了n=0和n为负值的情况(3.2.5)这个结果表明,粒子在无限高势垒中的能量是量子化的。又由归一化条件这个结果表明,粒子在
6、无限高势垒中的能量是量子化的。又由归一化条件 第10页,共62页,编辑于2022年,星期五由上面的计算,可以看到量子力学解题的一些特点。在解定态薛定谔方程的过程中,根据边界条件自然地得出了能量量子化的特性(3.2.5),En是体系的能量本征值,相应的波函数n是能量本征函数。在一维无限高势垒间粒子运动的特点如下:(3.2.6)第11页,共62页,编辑于2022年,星期五(1)能量是量子化的,最低能量E10,这与经典力学大不相同,这是粒子波动性的反映,因为“静止的波”是不存在的。能级的能量依n2规律加大,相邻能级间距越来越大.(2)含时间的波函数是 ,这是一个驻波,指数部分表示振动,振幅为 (如图
7、3.2.2(b),在形式上像一个两端固定的弦的驻波振动。这又一次指出,在有限空间内,物质波只能以驻波形式稳定地存在着。(3)粒子在势垒中的概率分布2是不均匀的,而且有若干概率为零的点(节点)(见图3.2.2(c).第12页,共62页,编辑于2022年,星期五粒子在势阱中的运动,是一种较为常见的现象;金属中的自由电子在各晶格结点(正离子)形成的“周期场”中运动,它们不会自发地逃出金属,简化这个模型,可以粗略地认为粒子被无限高的势能壁束缚在金属之中。氢原子中的电子就是在三维库仑势阱中运动,不过“阱壁”不是直立的,而是按-1/r分布。近来,人们设计制作了一种具有“量子阱”的半导体器件,它具有介观(介
8、于宏观与微观)尺寸的势阱,阱宽约在10nm上下。这种材料具有若干特性,已用于制造半导体激光器、光电检测器、双稳态器件等。第13页,共62页,编辑于2022年,星期五金属中的电子金属中的电子方势阱方势阱分子束缚分子束缚在箱子内在箱子内三维方势肼三维方势肼是实际情况的极是实际情况的极端化和简化端化和简化第14页,共62页,编辑于2022年,星期五3.3 势垒贯穿势垒贯穿设如图设如图3.3.1,在,在x=0到到x=a之间有一个有限高的一维势垒之间有一个有限高的一维势垒V=V0.在在x0区区域域有有一一个个粒粒子子,其其动动能能EV0,从从左左向向右右射射向向势势垒垒,求求粒粒子的概率分布。子的概率分
9、布。在图中,将空间分为三个区域在图中,将空间分为三个区域.粒粒子从子从区射向区射向区,在区,在x=0处遭遇处遭遇势垒。按经典力学,粒子的能量势垒。按经典力学,粒子的能量不够,不能越过势垒,将被反射不够,不能越过势垒,将被反射而折回。但在微观世界则不然,而折回。但在微观世界则不然,粒子的德布罗意波将部分地穿粒子的德布罗意波将部分地穿过势垒。解题如下。过势垒。解题如下。粒子的薛定谔方程为粒子的薛定谔方程为图3.3.1有限高势垒第15页,共62页,编辑于2022年,星期五3.3.13.3.2第16页,共62页,编辑于2022年,星期五在区,有其通解为区的方程同区,但这里无反射波,故为求出通解1,2及
10、3中的待定常数,需应用边条件。波函数应在x=0及x=a处连续。由此可以求出比值A3/A1及B1/A1的表达式。三个区域中波函数示意图见图3.3.2,图中表明,在势垒后面(区),粒子还有一定的概率分布。处在势垒前(区)的粒子有一定的概率穿透势垒而逸出。第17页,共62页,编辑于2022年,星期五粒子穿透势垒的几率是粒子穿透势垒的几率是:为描述粒子透过势垒的概率第18页,共62页,编辑于2022年,星期五上式可以看出,势垒厚度上式可以看出,势垒厚度a a越大,粒子通过的几率越小;粒子的越大,粒子通过的几率越小;粒子的能量能量E E越大,则穿透几率也越大,两者呈指数关系。例,一粒子质越大,则穿透几率
11、也越大,两者呈指数关系。例,一粒子质量为量为1kg1kg,势垒的厚度势垒的厚度a a10cm10cm,V V0 0-E=1eV-E=1eV,穿透几率约为穿透几率约为1010-24-24,几乎不能穿透。这说明对宏观物体来说,即便是总能量比势垒仅少,几乎不能穿透。这说明对宏观物体来说,即便是总能量比势垒仅少1 1eVeV,其量子效应也是极其不明显的。对电子而言,其量子效应也是极其不明显的。对电子而言,mme e1010-31kgkg,V V0 0-E=1eV-E=1eV,a a1010-8cm-8cm,大体求得穿透几率为大体求得穿透几率为e-e-0.10.10.9(0.9(一般情况一般情况下,穿透
12、几率是比较小的下,穿透几率是比较小的),隧道效应就变得十分明显了。,隧道效应就变得十分明显了。图3.3.2势垒贯穿时波函数第19页,共62页,编辑于2022年,星期五利用量子隧道效应,可以解释许利用量子隧道效应,可以解释许多现象,放射性原子核的多现象,放射性原子核的粒子粒子衰变现象就是一种隧道效应衰变现象就是一种隧道效应.热核反应所释放的核能是两个带正热核反应所释放的核能是两个带正电的核,如电的核,如2 2H H和和3 3H H,聚合时聚合时产生的产生的.隧道效应在高新技术也有着广泛隧道效应在高新技术也有着广泛的重要应用。例如,隧道二极管的重要应用。例如,隧道二极管就是通过控制势垒高度,利用电
13、就是通过控制势垒高度,利用电子的隧道效应制成的微电子器件子的隧道效应制成的微电子器件,它具有极快,它具有极快(5(5psps以内以内)的开关速的开关速度,被广泛地用于需要快速响应度,被广泛地用于需要快速响应过程。过程。第20页,共62页,编辑于2022年,星期五l经典经典l量子量子第21页,共62页,编辑于2022年,星期五扫扫描描隧隧道道显显微微镜镜(STM)也也是是应应用用隧隧道道效效应应的的例例子子,如如图图3.3.3,设设法法在在一一个个导导体体针针尖尖顶顶端端再再制制备备一一个个由由少少量量原原子子组组成成的的小小尖尖端端.此此针针尖尖距距待待测测平平面面非非常常近近,约约1nm量量
14、级级。在在一一般般情情况况下下,金金属属或或介介质质中中的的电电子子,不不能能自自由由逸逸出出表表面面,因因为为它它的的能能量量低低于于表表面面外外的的空空间间的的势势能能(零零)。而而现现在在针针尖尖与与待待测测物物之之间间距距离离极极近近,这这空空隙隙相相当当于于一一个个高高度度有有限限而而宽宽度度很很小小的的势势垒垒。在在针针尖尖与与平平面面间间加加一一个个小小于于几几伏伏的的电电压压,在在这这电电压压下下,针针尖尖中中的的电电子子还还不不能能越越过过“空空隙隙”这这一一势势垒垒进进入入平平面面,但但有有一一定定的的概概率率穿穿越越势势垒垒,形形成成“隧隧道道电电流流”。隧隧道道电电流流
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