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1、解直角三角形的应用解直角三角形的应用本课内容本节内容4.4 在日常生活中,我们经常会碰到一些与直角在日常生活中,我们经常会碰到一些与直角三角形有关的实际问题三角形有关的实际问题.对于这些问题,我们可以对于这些问题,我们可以用所学的解直角三角形的知识来加以解决用所学的解直角三角形的知识来加以解决.动脑筋动脑筋某探险者某天到达如图所示的点某探险者某天到达如图所示的点A处时,他准处时,他准备估算出离他的目的地备估算出离他的目的地海拔为海拔为3500m的山峰顶点的山峰顶点B处的水平距离处的水平距离.你能帮他想出一个可行的办法吗你能帮他想出一个可行的办法吗?如右图所示,如右图所示,BD表示点表示点B的海
2、拔,的海拔,AE 表示点表示点A 的海拔,的海拔,ACBD,垂足为点,垂足为点C.先先测量出海拔测量出海拔AE,再测出仰角,再测出仰角BAC,然后用,然后用锐角三角函数的知识就可求出锐角三角函数的知识就可求出A,B两点之两点之间的水平距离间的水平距离AC做一做做一做如图,如果测得点如图,如果测得点A的海拔的海拔AE为为1600m,仰角,仰角 求出求出A,B两点之间的水平距离两点之间的水平距离AC(结果结果保留整数保留整数).,ACBD,如图,如图,在在RtABC中,中,即即因此,因此,A,B两点之间的水平距离两点之间的水平距离AC约为约为2264m.举举例例例例1 1 如图如图所示所示,在离上
3、海东方明珠塔,在离上海东方明珠塔1000m的的A处,处,用仪器测得塔顶的仰角用仪器测得塔顶的仰角 为为25(在视线与水平在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的叫作仰角,在线所成的角中,视线在水平线上方的叫作仰角,在水平线下方的叫作俯角水平线下方的叫作俯角),仪器距地面高为,仪器距地面高为1.7m.求上海求上海东方明珠塔的高东方明珠塔的高BD.(结果精确到结果精确到1m.)如图,在如图,在RtABC中,中,BAC=25,AC=100m,因此因此答:上海东方明珠塔的高度答:上海东方明珠塔的高度BD为为468 m.从而从而(m).因此,上海东方明珠塔的高度因此,上海东方明珠塔的高度 (m).练
4、习练习1.如图,一艘游船在离开码头如图,一艘游船在离开码头A后,以和河岸成后,以和河岸成 30角的方向行驶了角的方向行驶了500m到达到达B处,求处,求B处与河处与河 岸的距离岸的距离.解解 由图可知由图可知ACB=90.如图,在如图,在RtABC中,中,A=30,AB=500m,所以所以 BC=250(m).因此因此答:答:B处与河岸的距离为处与河岸的距离为250m.如图,某厂家新开发的一种电动车的大灯如图,某厂家新开发的一种电动车的大灯A射出的射出的光线光线AB,AC与地面与地面MN所形成的夹角所形成的夹角ABN,ACN分别为分别为8和和15,大灯,大灯A与地面的距离为与地面的距离为1m,
5、求该车大灯照亮地面的宽度求该车大灯照亮地面的宽度BC(不考虑其他因素,不考虑其他因素,结果精确到结果精确到0.1m)2.解解 作作ADMN于于D.D如图,在如图,在RtABD中,中,ABD=8,AD=1m,所以所以 BC=BD-CD3.4(m).同理同理 CD3.73m.因此因此从而从而D探究探究如图,从山脚到山顶有两条路如图,从山脚到山顶有两条路AB与与BD,问哪条路比较陡,问哪条路比较陡?右边的路右边的路BD陡些陡些如何用数量来刻画哪条路陡呢如何用数量来刻画哪条路陡呢?如上图所示,从山坡脚下点如上图所示,从山坡脚下点 A 上坡走到点上坡走到点B时,时,升高的高度升高的高度h(即线段(即线段
6、BC的长度)与水平前进的距离的长度)与水平前进的距离l(即线段(即线段AC 的长度)的比叫作坡度,用字母的长度)的比叫作坡度,用字母i表示,表示,即即(坡度通常写成(坡度通常写成1:m的形式)的形式)坡度越大,山坡越陡坡度越大,山坡越陡在上图中,在上图中,BAC 叫作坡角(即山坡与地平面的叫作坡角(即山坡与地平面的夹角),记作夹角),记作 ,显然,坡度等于坡角的正切,即,显然,坡度等于坡角的正切,即 举举例例例例2 2如图,一山坡的坡度为如图,一山坡的坡度为i=1:2.小刚从山脚小刚从山脚A出发,出发,沿山坡向上走了沿山坡向上走了240m到达点到达点C.这座山坡的坡角是多这座山坡的坡角是多少度
7、少度?小刚上升了多少米小刚上升了多少米?(角度精确到(角度精确到0.01,长,长度精确到度精确到0.1m)i=1:2如图,在如图,在RtABC中,中,B=90,A=26.57,AC=240m,因此因此解解用用 表示坡角的大小,由题意可得表示坡角的大小,由题意可得i=1 2因此因此 26.57.答:这座山坡的坡角约为答:这座山坡的坡角约为26.57,小刚上升了约,小刚上升了约107.3 m从而从而 (m)你还可以用其你还可以用其他方法求出他方法求出BC吗?吗?如如图图,一一艘艘船船以以40km/h的的速速度度向向正正东东航航行行,在在A处处测测得得灯灯塔塔C在在北北偏偏东东60方方向向上上,继继
8、续续航航行行1h到到达达B处处,这这时时测测得得灯灯塔塔C在在北北偏偏东东30方方向向上上.已已知知在在灯灯塔塔C的的四四周周30km内内有有暗暗礁礁问问这这艘艘船船继继续续向向东东航航行行是是否否安安全全?例例3 3举举例例作作CDAB,交,交AB延长线于点延长线于点D.设设CD=xkm.解解这艘船继续向东航行是否安全,取决于灯塔这艘船继续向东航行是否安全,取决于灯塔C到到AB航线的距离是否大于航线的距离是否大于30km如果大于如果大于30km,则安全,否则不安全则安全,否则不安全分析分析在在RtACD中,中,同理,在同理,在RtBCD中,中,因此,该船能继续安全地向东航行因此,该船能继续安
9、全地向东航行解得解得又又D1.一种坡屋顶的设计图如图所示一种坡屋顶的设计图如图所示.已知屋顶的宽度已知屋顶的宽度l为为10m,坡屋顶的高度,坡屋顶的高度h为为3.5m.求斜面求斜面AB的长度的长度和坡角和坡角 (长度精确到(长度精确到0.1m,角度精确到,角度精确到1).练习练习解解 设设CB中点为中点为D,则则由图可知由图可知ADBC.D在在RtABD中,中,AD=h=3.5m,又又由勾股定理得由勾股定理得所以所以某次军事演习中,有三艘船在同一时刻向指挥所报告:某次军事演习中,有三艘船在同一时刻向指挥所报告:A船说船说B船在它的正东方向,船在它的正东方向,C船在它的北偏东船在它的北偏东55方
10、向;方向;B船说船说C船在它的北偏西船在它的北偏西35方向;方向;C船说它到船说它到A船的距离船的距离比它到比它到B船的距离远船的距离远40km.求求A,B两船的距离(结果精两船的距离(结果精确到确到0.1km).2.解解 由图易知由图易知ACB=90,即,即ABC为直角三角形为直角三角形.在在RtABC中,中,CBA=55,CAB=35,所以所以所以所以CB=AB ,CA=AB .解得解得 AB162.9(km).又又 CA-CB=40,AB -AB =40.即即1.在直角三角形中,锐角的正弦、余弦、正切分别在直角三角形中,锐角的正弦、余弦、正切分别 是哪两条边的比是哪两条边的比?2.30,
11、45,60角的正弦值、余弦值、正切值角的正弦值、余弦值、正切值 分别是多少分别是多少?小结与复习小结与复习3.在直角三角形中,已知几个元素就可以解在直角三角形中,已知几个元素就可以解 直角三角形直角三角形?4.锐角三角函数在生活中有着广泛的应用,锐角三角函数在生活中有着广泛的应用,试结合实例谈谈如何将实际问题转化为试结合实例谈谈如何将实际问题转化为 解直角三角形的问题解直角三角形的问题.已知锐角求三角函数值已知锐角求三角函数值或已知三角函数值求对应的锐角或已知三角函数值求对应的锐角 特殊角(特殊角(30,45,60)的三角函数值的三角函数值锐角的正弦、余弦、正切的定义锐角的正弦、余弦、正切的定
12、义锐角三角函数锐角三角函数解直角三角形解直角三角形 1.在直角三角形中,任一锐角的三角函数只与角在直角三角形中,任一锐角的三角函数只与角 的大小有关,而与直角三角形的大小无关的大小有关,而与直角三角形的大小无关.2.在直角三角形中,已知一条边和一个角,或已知在直角三角形中,已知一条边和一个角,或已知 两条边,就可以求出其他的边和角两条边,就可以求出其他的边和角.有些关于图形的实际问题,我们可以结和已知条件,有些关于图形的实际问题,我们可以结和已知条件,恰当地构造出直角三角形,画出图形,将实际问题恰当地构造出直角三角形,画出图形,将实际问题 转化为解直角三角形的问题转化为解直角三角形的问题.3.
13、如图,从热气球如图,从热气球C处测得地面处测得地面A、B两点的俯角分别为两点的俯角分别为30、45,如果此时热气球,如果此时热气球C处的高度处的高度CD为为100米,点米,点A、D、B在同一直线上,求在同一直线上,求AB两点的距离两点的距离例例 中考中考 试题试题从热气球从热气球C处测得地面处测得地面A、B两点的俯角分别为两点的俯角分别为3030、4545,BCD=90=90-45-45=45=45,ACD=90=90-30-30=60=60,CDAB,CD=100=100米,米,BCD是等腰直角三角形,是等腰直角三角形,BD=CD=100100米,米,在在RtRtACD中,中,CD=100=100米,米,ACD=60=60,AD=CD tan60tan60=100=100 =100 =100 (米),(米),AB=AD+BD=100 +100=100=100 +100=100(+1)+1)(米)(米)答:答:AB两点的距离是两点的距离是100100(+1+1)米)米(解解结结 束束
限制150内