《数值计算方法地学幻灯片.ppt》由会员分享,可在线阅读,更多相关《数值计算方法地学幻灯片.ppt(69页珍藏版)》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。
1、数值计算方法地学第1页,共69页,编辑于2022年,星期六所谓函数逼近是求一个简单的函数所谓函数逼近是求一个简单的函数,例如例如是一个低次多项式是一个低次多项式,不要求不要求通过已知的这通过已知的这n1个点个点,而是要求在整体上而是要求在整体上“尽量尽量好好”的逼近原函数。这时的逼近原函数。这时,在每个已知点上就会有在每个已知点上就会有误差误差,函数逼近就是从整函数逼近就是从整体上使误差体上使误差尽量的小尽量的小一些。一些。2.数学描述数学描述“对函数类对函数类A中给定的函数中给定的函数,要求在另,要求在另一类较简单的便于计算的函数类一类较简单的便于计算的函数类B中,求函数中,求函数,使,使与
2、与之差在之差在某种度量某种度量意义意义下最小。下最小。”第2页,共69页,编辑于2022年,星期六第3页,共69页,编辑于2022年,星期六 函数类函数类 A A通常是区间上的连续函数,记作通常是区间上的连续函数,记作 ;函数类;函数类B B通常是代数多项式,分式有通常是代数多项式,分式有理函数或三角多项式。理函数或三角多项式。区间区间上的所有实连续函数组成一个空上的所有实连续函数组成一个空间,记作间,记作。的的范数定义为范数定义为:称其为称其为 范数,它满足范数的三个性质:范数,它满足范数的三个性质:I I),当且仅当,当且仅当时才有时才有;IIII)对任意对任意 成立,成立,为任意实数;为
3、任意实数;III)对任意)对任意 ,有,有 第4页,共69页,编辑于2022年,星期六度量标准最常用的有两种,一种是度量标准最常用的有两种,一种是 在这种度量意义下的函数逼近称为在这种度量意义下的函数逼近称为一致逼近一致逼近或或均匀逼近;均匀逼近;另一种度量标准是另一种度量标准是 用这种度量的函数逼近称为均方逼近或用这种度量的函数逼近称为均方逼近或平平方逼近方逼近。这里符号。这里符号 及及是范数。本章主要是范数。本章主要研究在这两种度量标准下用代数多项式研究在这两种度量标准下用代数多项式逼近逼近。第5页,共69页,编辑于2022年,星期六3.维尔斯特拉斯定理维尔斯特拉斯定理用用一致逼近一致逼近
4、,首先要解决存在性首先要解决存在性问题,即对问题,即对上的连续函数上的连续函数,是否存在是否存在多项式多项式一致收敛于一致收敛于?维尔斯特拉斯?维尔斯特拉斯(Weierstrass)给出了下面定理:)给出了下面定理:定理定理1设设,则对任何,则对任何,总总存在一个代数多项式存在一个代数多项式,使,使在在 上一致成立。上一致成立。证明:略。(伯恩斯坦构造性证明)证明:略。(伯恩斯坦构造性证明)第6页,共69页,编辑于2022年,星期六假定函数的定义区间是假定函数的定义区间是0,1,可通过线性代换可通过线性代换:把把映射到映射到。对给定的对给定的,构造伯恩斯坦多项式,构造伯恩斯坦多项式,此为此为n
5、次多项式次多项式:其中其中 ,且,且 这不但证明了定理这不但证明了定理1,而且给出了,而且给出了 的一个逼近的一个逼近多项式多项式 。多项式。多项式 有良好的逼近有良好的逼近性质,但它收敛太慢,比三次样条逼近效果差得性质,但它收敛太慢,比三次样条逼近效果差得多,实际中很少被使用。多,实际中很少被使用。第7页,共69页,编辑于2022年,星期六2最佳一致逼近多项式最佳一致逼近多项式2-1最佳一致逼近多项式的存在性最佳一致逼近多项式的存在性切比雪夫从另一观点研究一致逼近问题,他切比雪夫从另一观点研究一致逼近问题,他不让多项式次数不让多项式次数n趋于无穷,而是固定趋于无穷,而是固定n,记次数,记次数
6、小于等于小于等于n的多项式集合为的多项式集合为,显然显然。记记是是上一上一组线性无关的函数组,是组线性无关的函数组,是中的一组基。中的一组基。中中的元素的元素可表示为可表示为其中其中为任意实数。要在为任意实数。要在中求中求逼近逼近,使其误差,使其误差第8页,共69页,编辑于2022年,星期六 这就是通常所谓这就是通常所谓最佳一致逼近最佳一致逼近或切比雪或切比雪夫逼近问题。夫逼近问题。第9页,共69页,编辑于2022年,星期六为了说明这一概念,先给出以下定义。为了说明这一概念,先给出以下定义。定义定义1,称,称为为在在上的偏差。上的偏差。显然显然的全体组成一个集合,的全体组成一个集合,记为记为,
7、它有下界它有下界0。若记集合的下确界为。若记集合的下确界为则称之则称之为在为在上最小偏差。上最小偏差。第10页,共69页,编辑于2022年,星期六定义定义2假定假定,若存在,若存在则称则称是是在在上的最佳一致逼近多上的最佳一致逼近多项式或最小偏差逼近多项式,简称最佳逼近多项项式或最小偏差逼近多项式,简称最佳逼近多项式。式。注意,定义并未说明最佳逼近多项式是否存注意,定义并未说明最佳逼近多项式是否存在,但可证明下面的存在定理。在,但可证明下面的存在定理。定理定理2若若,则总存在则总存在,使使.证明略。证明略。第11页,共69页,编辑于2022年,星期六2-2切比雪夫定理切比雪夫定理 为研究最佳逼
8、近多项式的特性,先引进偏差为研究最佳逼近多项式的特性,先引进偏差点定义。点定义。定义定义3设设,若在,若在上上有有则称则称是是的偏差点。的偏差点。若若 ,称,称 为为“正正”偏差点。偏差点。若若 ,称,称 为为“负负”偏差点。偏差点。由于函数由于函数在在上连续,因此上连续,因此,至至少存在一个点少存在一个点,使,使第12页,共69页,编辑于2022年,星期六也就是说也就是说的偏差点总是存在的。下面讨论的偏差点总是存在的。下面讨论最佳逼近多项式的偏差点性质。最佳逼近多项式的偏差点性质。第13页,共69页,编辑于2022年,星期六定理定理3若若是是的最佳逼的最佳逼近多项式,则近多项式,则同时存在正
9、负偏差点。同时存在正负偏差点。证明证明:因因 是是 的最佳逼近多项式,故的最佳逼近多项式,故 。由于。由于 在在 上总有偏差点存在上总有偏差点存在,用反证法,无妨假定只有正偏差点,没有负偏差用反证法,无妨假定只有正偏差点,没有负偏差点,于是对一切点,于是对一切 都有都有因因在在上连续,故有最小值大于上连续,故有最小值大于,用,用表示,其中表示,其中。于是对一。于是对一切切都有都有第14页,共69页,编辑于2022年,星期六故故,即即.它表示多项式它表示多项式 与与 的偏差小于的偏差小于 ,与与 是最小偏差的定义矛盾。同样可证是最小偏差的定义矛盾。同样可证明只有负偏差点没有正偏差点也是不成立的。
10、明只有负偏差点没有正偏差点也是不成立的。定理得证。定理得证。第15页,共69页,编辑于2022年,星期六 下面给出反映最佳逼近多项式特征的切比雪下面给出反映最佳逼近多项式特征的切比雪夫定理。夫定理。定理定理4.是是的最佳逼近的最佳逼近多项式的充分必要条件是多项式的充分必要条件是在在上至少上至少有有n+2个轮流为个轮流为“正正”、“负负”的偏差点,即有的偏差点,即有n+2个点个点,使,使,使,使这样的点组称为切比雪夫交错点组。这样的点组称为切比雪夫交错点组。证明证明:只证充分性。假定在只证充分性。假定在上有上有n+2个点个点使上式成立。要证明使上式成立。要证明是是在上的最佳逼在上的最佳逼近多项式
11、。用反证法,若存在近多项式。用反证法,若存在 第16页,共69页,编辑于2022年,星期六在点在点上的符号与上的符号与一致,故一致,故也在也在n+2个个点点上上轮轮流流取取“+”、“”号号。由由连连续续函函数数性性质质,它它在在内有内有n+1个零点。但因个零点。但因是是不超过不超过n次的多项式,它的零点不超过次的多项式,它的零点不超过n。这矛。这矛盾说明假设不对,故盾说明假设不对,故就是所求最佳逼近多就是所求最佳逼近多项式。项式。充分性得证。充分性得证。必要性证明较繁,思想类似定理必要性证明较繁,思想类似定理3,此处略,此处略.第17页,共69页,编辑于2022年,星期六定理定理4说明用说明用
12、逼近逼近的误差曲线的误差曲线是均匀分布的。由这定理可得是均匀分布的。由这定理可得以下重要推论。以下重要推论。推论推论1若若,则在则在中存在唯一中存在唯一的最佳逼近多项式。的最佳逼近多项式。推论推论2若若,则其最佳逼近多项,则其最佳逼近多项式式就是就是的一个拉格朗日插值多的一个拉格朗日插值多项式。项式。证明证明由定理由定理4可知,可知,在在 上要么上要么恒恒为为0,要要么么有有n+2n+2个个轮轮流流取取“正正”、“负负”的的偏偏差点差点,于是存在,于是存在n+1n+1个点个点 ,使,使 。第18页,共69页,编辑于2022年,星期六以以为插值节点的拉格朗日插值多项式就为插值节点的拉格朗日插值多
13、项式就是是。第19页,共69页,编辑于2022年,星期六2-3最佳一次逼近多项式最佳一次逼近多项式定理定理4给出了最佳逼近多项式给出了最佳逼近多项式的特性,但要的特性,但要求求出出却却相相当当困困难难。下下面面先先讨讨论论n=1的的情情形形。假定假定,且,且在在内不变号内不变号,求最佳一次逼近多项式,求最佳一次逼近多项式。根据。根据定理定理4可知至少有可知至少有3个点个点,使,使第20页,共69页,编辑于2022年,星期六第21页,共69页,编辑于2022年,星期六代入方程代入方程2,得,得这就得到最佳一次逼近多项式这就得到最佳一次逼近多项式。几何意义。几何意义。第22页,共69页,编辑于20
14、22年,星期六第23页,共69页,编辑于2022年,星期六第24页,共69页,编辑于2022年,星期六最佳一致逼近多项式最佳一致逼近多项式定理定理4.充分必要条件是至少有充分必要条件是至少有n+2个轮流为个轮流为“正正”、“负负”的偏差点的偏差点第25页,共69页,编辑于2022年,星期六3函数平方逼近函数平方逼近 用均方误差最小作为度量标准,研究函数用均方误差最小作为度量标准,研究函数 的逼近多项式,就是最佳平方逼近的逼近多项式,就是最佳平方逼近问题。问题。若存在若存在 ,使,使 就是就是在在上的最佳平方逼近多项式上的最佳平方逼近多项式.第26页,共69页,编辑于2022年,星期六第27页,
15、共69页,编辑于2022年,星期六由于由于是关于是关于的二次函的二次函数,利用多元函数求极值的必要条件数,利用多元函数求极值的必要条件于是有于是有(内积定义内积定义)第28页,共69页,编辑于2022年,星期六这是关于这是关于的线性方程组,称为法的线性方程组,称为法方程,由于方程,由于线性无关,故系数行列线性无关,故系数行列式式,于是此方程组有唯一,于是此方程组有唯一解解,从而得到,从而得到第29页,共69页,编辑于2022年,星期六定理定理5.在在上线性无关上线性无关的充分必要条件是它的克来姆(的充分必要条件是它的克来姆(Gramer)行列)行列式式,其中,其中证:证:在在 上线性无关,则上
16、线性无关,则由方程由方程 知知第30页,共69页,编辑于2022年,星期六 将此方程两边分别乘以将此方程两边分别乘以 之之后再积分,便得到下列方程组:后再积分,便得到下列方程组:即即 此齐次方程组只有零解,故其系数行列式的值此齐次方程组只有零解,故其系数行列式的值一定不为一定不为0,即,即。反之,若反之,若,同样对可经过适当变换,同样对可经过适当变换得得到到在在上上线线性性无无关关。证毕证毕第31页,共69页,编辑于2022年,星期六 证明证明 为最佳平方逼近函数为最佳平方逼近函数,即对任何即对任何 ,有,有 为此只考虑为此只考虑第32页,共69页,编辑于2022年,星期六由于由于的系数的系数
17、是方程是方程的解,故的解,故从而上式第二个积分为从而上式第二个积分为0,于是,于是这就证明了这就证明了 是是 在在 中的最佳平方逼中的最佳平方逼近函数。近函数。第33页,共69页,编辑于2022年,星期六若令若令 ,则平方误差为,则平方误差为由于由于 所以所以第34页,共69页,编辑于2022年,星期六若取若取,则要在,则要在中求中求n次最佳平方逼近多项式次最佳平方逼近多项式若用若用H表示表示对应的矩阵,对应的矩阵,即即第35页,共69页,编辑于2022年,星期六此为希尔伯特(此为希尔伯特(Hilbert)矩阵,)矩阵,记记,则,则的解的解 即为所求。即为所求。第36页,共69页,编辑于202
18、2年,星期六例例:设设 ,求,求0,10,1上的一次最佳平方上的一次最佳平方逼近多项式。逼近多项式。解解:利用公式利用公式得得 方程组为方程组为解出解出第37页,共69页,编辑于2022年,星期六平方误差平方误差最大误差最大误差用用做基,求最佳平方逼近多项做基,求最佳平方逼近多项式,当式,当n较大时,系数矩阵是高度病态的,求法较大时,系数矩阵是高度病态的,求法方程的解,舍入误差很大,这时要用正交多项方程的解,舍入误差很大,这时要用正交多项式做基,才能求得最小平方逼近多项式。式做基,才能求得最小平方逼近多项式。第38页,共69页,编辑于2022年,星期六4正交多项式正交多项式若首项系数若首项系数
19、的的n次多项式次多项式,满足满足就称多项式序列就称多项式序列 ,在,在a,ba,b上带上带权权 正交,并称正交,并称 是是 a,ba,b上带权的上带权的n次次正交多项式。正交多项式。第39页,共69页,编辑于2022年,星期六构造正交多项式的格拉姆施密特(构造正交多项式的格拉姆施密特(Gram-Schmidt)方法方法定理:按以下方式定义的多项式集合定理:按以下方式定义的多项式集合 是区是区间间a,ba,b上关于权函数上关于权函数 的正交函数族。的正交函数族。第40页,共69页,编辑于2022年,星期六例:求例:求在在0,1上的二次最佳平上的二次最佳平方逼近多项式。方逼近多项式。解:解:构造正
20、交多项式构造正交多项式 第41页,共69页,编辑于2022年,星期六第42页,共69页,编辑于2022年,星期六最佳一致逼近最佳一致逼近:最佳平方逼近最佳平方逼近第43页,共69页,编辑于2022年,星期六4-1勒让德多项式勒让德多项式当区间为当区间为1,1,权函数,权函数时,由时,由正交化得到的多项式就称为勒让正交化得到的多项式就称为勒让德德(Legendre)多项式,并用多项式,并用表示。表示。是是n次多项式,对其次多项式,对其n次求导后得次求导后得第44页,共69页,编辑于2022年,星期六首项首项 的系数的系数 显然最高项系数为显然最高项系数为1的勒让德多项式为的勒让德多项式为 第45
21、页,共69页,编辑于2022年,星期六勒让德勒让德(Legendre)多项式具体表达式为多项式具体表达式为第46页,共69页,编辑于2022年,星期六性质性质1正交性正交性证明:反复用分部积分公式,略。证明:反复用分部积分公式,略。性质性质2 2 奇偶性奇偶性n为偶数时为偶数时 为偶函数,为偶函数,n为奇数时为奇数时 为奇函数。为奇函数。性质性质3 3 递推关系递推关系证明略。证明略。第47页,共69页,编辑于2022年,星期六性质性质4在所有最高项系数为在所有最高项系数为1的的n次多项式中,勒让德次多项式中,勒让德多项式多项式 在在1,1上与零的平方误差最小。上与零的平方误差最小。证:设证:
22、设是任意一个最高项系数为是任意一个最高项系数为1 1的多项式,可的多项式,可表示为表示为于是于是 证毕。证毕。性质性质5在区间在区间1,1内有内有n个不同的实零点。个不同的实零点。第48页,共69页,编辑于2022年,星期六4-2第一类切比雪夫(第一类切比雪夫(Chebyshev)多项式)多项式 当区间为当区间为-1,1,权函数,权函数时,时,由序列由序列正交化得到的正交多项式正交化得到的正交多项式就是第一类切比雪夫(就是第一类切比雪夫(Chebyshev)多项式。它)多项式。它可表示为可表示为若令若令当当在在-1,1上变化时,对应上变化时,对应的的在在0,上变化,其可改写成上变化,其可改写成
23、第49页,共69页,编辑于2022年,星期六具体表达式为具体表达式为 是首项系数为是首项系数为 的的n n次多项式。次多项式。第50页,共69页,编辑于2022年,星期六性质性质1递推关系递推关系这只要由三角恒等式这只要由三角恒等式 性质性质2最高项系数为最高项系数为1的的 对零的偏差最小。对零的偏差最小。即在区间即在区间-1,1-1,1上所有最高项系数为上所有最高项系数为1的一切的一切n次多项式中,次多项式中,与零的偏差最小,与零的偏差最小,偏差为其偏差为其 第51页,共69页,编辑于2022年,星期六第52页,共69页,编辑于2022年,星期六例:求例:求在在-1,1上的最佳上的最佳2次次
24、逼近多项式。逼近多项式。解:最佳逼近多项式应满足解:最佳逼近多项式应满足由性质由性质2知,当知,当即即时,与零偏差最小,故时,与零偏差最小,故就是就是在在-1,1上的最佳上的最佳2次逼近多项式。次逼近多项式。第53页,共69页,编辑于2022年,星期六性质性质3切比雪夫多项式切比雪夫多项式在区间在区间-1,1上带上带权权正交,且正交,且第54页,共69页,编辑于2022年,星期六性质性质4只含只含的偶次幂,的偶次幂,只只含含的奇次幂的奇次幂.性质性质5在区间在区间-1,1上有个上有个n零点零点第55页,共69页,编辑于2022年,星期六可可用用的的线线性性组组合合表表示示,其其公公式为式为具体
25、表达式为具体表达式为 第56页,共69页,编辑于2022年,星期六4-3其他常用的正交多项式其他常用的正交多项式 一般说,如果区间一般说,如果区间-1,1及权函数及权函数不同不同,则得到的正交多项式也不同。除上述两种最重要则得到的正交多项式也不同。除上述两种最重要的正交多项式外,下面再给出三种较常用的正交的正交多项式外,下面再给出三种较常用的正交多项式。多项式。1、第二类切比雪夫多项式、第二类切比雪夫多项式在区间在区间-1,1上带权上带权的正交多项的正交多项式称为第二类切比雪夫多项式,其表达式为式称为第二类切比雪夫多项式,其表达式为第57页,共69页,编辑于2022年,星期六由由,可得,可得即
26、即是是-1,1上带权上带权的正交多项的正交多项式族,还可得到递推关系式式族,还可得到递推关系式第58页,共69页,编辑于2022年,星期六2.拉盖尔多项式拉盖尔多项式在区间在区间 上带权上带权 的正交多项式称为的正交多项式称为拉盖尔(拉盖尔(Laguerre)多项式,其表达式为)多项式,其表达式为 它也具有正交性质它也具有正交性质 和递推关系和递推关系第59页,共69页,编辑于2022年,星期六3、埃尔米特多项式、埃尔米特多项式在区间在区间上带权上带权的正交多项式的正交多项式称为埃尔米特(称为埃尔米特(Hermite)多项式,其表达式为)多项式,其表达式为它满足正交关系它满足正交关系并有递推关
27、系并有递推关系第60页,共69页,编辑于2022年,星期六4-4函数按正交多项式展开函数按正交多项式展开设设,用正交多项式,用正交多项式作基,求最佳平方逼近多项式作基,求最佳平方逼近多项式由由的正交性及方程组求解,可求得系数的正交性及方程组求解,可求得系数于是,于是,的最佳平方逼近多项式为的最佳平方逼近多项式为第61页,共69页,编辑于2022年,星期六均方误差为均方误差为下面考虑函数下面考虑函数按勒让德多项式按勒让德多项式展开求最佳平方逼近多项式展开求最佳平方逼近多项式,根据上面公式有根据上面公式有其中其中 平方误差为平方误差为第62页,共69页,编辑于2022年,星期六例:求例:求 在在-
28、1,1-1,1上的三次最佳平方逼近多项式。上的三次最佳平方逼近多项式。(用用勒让德多项式勒让德多项式)第63页,共69页,编辑于2022年,星期六故三次最佳平方逼近多项式三次最佳平方逼近多项式 均方误差均方误差 最大误差最大误差 第64页,共69页,编辑于2022年,星期六如果如果,求,求上的最佳上的最佳平方逼近多项式,做变换平方逼近多项式,做变换于是于是在在-1,1上可用上可用勒让德多项式做最佳平方逼近多项式勒让德多项式做最佳平方逼近多项式,从而得到从而得到区间上的最佳平方逼近多项式区间上的最佳平方逼近多项式。第65页,共69页,编辑于2022年,星期六例:用Legendre正交多项式做基函
29、数,求 在区间0,1上的一次最佳平方逼近多项式。解:在区间-1,1上的一次最佳平方逼近多项式 ,由第66页,共69页,编辑于2022年,星期六可知第67页,共69页,编辑于2022年,星期六由于勒让德多项式由于勒让德多项式是在区间是在区间-1,1上由上由正交化得到的,因此利用函正交化得到的,因此利用函数的勒让德展开部分和得到最佳平方逼近多项数的勒让德展开部分和得到最佳平方逼近多项式与由式与由直接通过解法方程得到直接通过解法方程得到中的最佳平方逼中的最佳平方逼近多项式是一致的,只是当近多项式是一致的,只是当n较大时求法方程出较大时求法方程出现病态方程,计算误差较大,不能使用现病态方程,计算误差较大,不能使用,而用,而用勒让德展开不用解线性方程组勒让德展开不用解线性方程组,不存在病态问,不存在病态问题,计算公式也较方便题,计算公式也较方便,因此通常都用这种方,因此通常都用这种方法求最佳平方逼近多项式。法求最佳平方逼近多项式。第68页,共69页,编辑于2022年,星期六第69页,共69页,编辑于2022年,星期六
限制150内