2019-2020年高考数学大一轮复习热点聚焦与扩展专题66含有条件概率的随机变量问题.pdf
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1、推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料专题 66 含有条件概率的随机变量问题【热点聚焦与扩展】纵观近几年的高考试题,离散型随机变量的分布列及其数字特征是高考命题的热点.往往以实际问题为背景考查离散型随机变量的数字特征在实际问题中的应用,其中不乏含有条件概率的问题考查数据处理能力以及分析问题解决问题的能力.此类问题,概率统计问题一同考查.难度控制在中等本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上,举例说明.1、条件概率:事件B在事件A已经发生的情况下,发生的概率称为B在A条件下的条件概率,记为|B A2、条件概率的计算方法:(1)按照条件概率的计算公式:|P ABP B AP A(2)考虑
2、事件A发生后,题目产生了如何的变化,并写出事件B在这种情况下的概率例如:5 张奖券中有一张有奖,甲,乙,丙三人先后抽取,且抽完后不放回,已知甲没有中奖,则乙中奖的概率:按照(1)的方法:设事件A为“甲没中奖”,事件B为“乙中奖”,则所求事件为|B A,按照公式,分别计算,P ABP A,利用 古典概型可得:25415P ABA,45P A,所以1|4P ABP B AP A按照(2)的方法:考虑甲已经抽完了,且没有中奖,此时还有4 张奖券,1 张有奖.那么轮到乙抽时,乙抽中的概率即为143、含条件概率的乘法公式:设事件,A B,则,A B同时发生的概率|P ABP AP B A,此时|P B
3、A通常用方案(2)进行计算4、处理此类问题要注意以下几点:(1)要分析好几个事件间的先后顺序,以及先发生的事件对后面事件的概率产生如何的影响(即后面的事件算的是条件概率)(2)根据随机变量的不同取值,事件发生的过程会有所不同,要注意区别(3)若随机变量取到某个值时,情况较为复杂,不利于正面分析,则可以考虑先求出其它取值时的概率,然后用间接法解决.【经典例题】例 1.【2018 届江西省新余市高三第二次模】从中不放回地依次取个数,事件“第一次取到的是奇数”“第二次取到的是奇数”,则()推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料A.B.C.D.【答案】A【解析】由题意得,选 A例 2.【2018 届
4、青海省西宁市一模】先后掷一枚质地均匀骰子(骰子的六个面上分别标有1,2,3,4,5,6 个点)两次,落在水平桌面后,记正面朝上的点数分别为,x y,设事件A为“xy为偶数”,事件B为“,x y中有偶数,且xy”,则概率(|)P BA()A.13 B.14 C.15 D.16【答案】A 例 3.【2018 届江西省南昌市三模】质检部门对某工厂甲、乙两个车间生产的个零件质量进行检测甲、乙两个车间的零件质量(单位:克)分布的茎叶图如图所示零件质量不超过克的为合格(1)质检部门从甲车间个零件中随机抽取件进行检测,若至少件合格,检测即可通过,若至少件合格,检测即为良好,求甲车间在这次检测通过的条件下,获
5、得检测良好的概率;(2)若从甲、乙两车间个零件中随机抽取个零件,用表示乙车间的零件个数,求的分布列与数学期望【答案】(1)(2)见解析【解析】分析:(1)设事件表示“件合格,件不合格”;事件表示“件合格,件不合格”;事件表示推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料“件全合格”;事件表示“检测通过”;事件表示“检测良好”.格”;事件表示“检测通过”;事件表示“检测良好”.故所求概率为.(2)可能取值为分布列为所以,.例 4.【2018 届安徽省合肥市第一中学冲刺】深受广大球迷喜爱的某支欧洲足球队.在对球员的使用上总是进行数据分析,为了考察甲球员对球队的贡献,现作如下数据统计:球队胜球队负总计甲参
6、加甲未参加总计(1)求的值,据此能否有的把握认为球队胜利与甲球员参赛有关;(2)根据以往的数据统计,乙球员能够胜任前锋、中锋、后卫以及守门员四个位置,且出场率分别为:,当出任前锋、中锋、后卫以及守门员时,球队输球的概率依次为:.则:推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料1)当他参加比赛时,求球队某场比赛输球的概率;2)当他参加比赛时,在球队输了某场比赛的条件下,求乙球员担当前锋的概率;3)如果你是教练员,应用概率统计有关知识.该如何使用乙球员?附表及公式:.【答案】(1)有的把握(2)1)0.32,2)0.32,3)多让乙球员担当守门员,场次.详解:(1),有的把握认为球队胜利与甲球员参赛有
7、关.(2)1)设表示“乙球员担当前锋”;表示“乙球员担当中锋”;表示“乙球员担当后卫”;表3)因为,所以应该多让乙球员担当守门员,来扩大赢球场推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料次.例 5.【2018 届四川省成都市第七中学三诊】中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题,拟定出台“延迟退休年龄政策”.为了了解人们 对“延迟退休年龄政策”的态度,责成人社部进行调研.人社部从网上年龄在1565 岁的人群中随机调查100 人,调査数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下:年龄支持“延迟退休”的人数15 5 15 28 17(1)由以上统计数据填列联表,并判断能
8、否在犯错误的概率不超过0.05 的前提下认为以45 岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异;45 岁以下45 岁以上总计支持不支持总计(2)若以 45 岁为分界点,从不支持“延迟退休”的人中按分层抽样的方法抽取8 人参加某项活动.现从这 8 人中随机抽2 人抽 到 1 人是 45 岁以下时,求抽到的另一人是45 岁以上的概率.记抽到45 岁以上的人数为,求随机变量的分布列及数学期望.【答案】(1)见解析;(2)见解析.推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料详解:(1)由频率分布直方图知45 岁以下与45 岁以上各50 人,故可得列联表如下:45 岁以下45 岁以上总计支持3
9、5 45 80 不支持15 5 20 总计50 50 100 由列联表可得,所以在犯错误的概率不超过0.05 的前提下认为以45 岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异(2)设“抽到1 人是 45 岁以下”为事件A,“抽到的另一人是45 岁以上”为事件B,则,故随机变量的分 布列为:0 1 2 推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料所以.例 6.【2018 届河北省石家庄二中三模】某市为准备参加省中学生运动会,对本市甲、乙两个田径队的所有跳高运动员进行了测试,将全体运动员的成绩绘制成频率分布直方图.同时用茎叶图表示甲,乙两队运动员本次测试的成绩(单位:,且均为整数),由于某
10、些原因,茎叶图中乙队的部分数据丢失,但已知所有运动员中成绩在以上(包括)的只有两个人,且均在甲队.规定:跳高成绩在以上(包括)定义为“优秀”.(1)求甲,乙两队运动员的总人数及乙队中成绩在(单位:)内的运动人数;(2)在甲,乙两队所有成绩在以上的运动员中随机选取人,已知至少有人成绩为“优秀”,求两人成绩均“优秀”的概率;(3)在甲,乙两队中所有的成绩为“优秀”的运动员中随机选取人参加省中学生运动会正式比赛,求所选取运动员中来自甲队的人数的分布列及期望.【答案】(1),(2)(3)见解析【解析】分析:由频率分布直方图可知,成绩在以上的运动员频数为2,频率为,(3)由题设确定随机变量所有可能值为,
11、分别求三个概率,由此求出的分布列和数学期望.详解:(1)由频率直方图可知:成绩在以以上的运动员的频率为,全体运动馆总人数(人),成绩位于中运动员的频率为,人数为,由茎叶图可知:甲队成绩在的运动员有名,(人);推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料(2)由频率直方图可得:以上运动员总数为:,由茎叶图可得,甲乙队以上人数恰好人,所以乙在这部分数据不缺失,且优秀的人数为人,设事件为“至少有人成绩优秀”,事件为“两人成绩均优秀”,的分布列为:0 1 2.点睛:随机变量分布列及数学期望问题要善于灵活运用三个性质:一是pi0(i1,2,);二是,三是p1p2pn1 检验分布列的正误例 7.【2018 届
12、广东省佛山市检测二】单位计划组织55 名职工进行一种疾病的筛查,先到本单位医务室进行血检,血检呈阳性者再到医院进一步检测已知随机一人血检呈阳性的概率为 1%,且每个人血检是否呈阳性相互独立.()根据经验,采用分组检测法可有效减少工作量,具体操作如下:将待检人员随机等分成若干组,先将每组的血样混在一起化验,若结果呈阴性,则可断定本组血样全部为阴性,不必再化验;若结果呈阳性,则本组中至少有一人呈阳性,再逐个化验现有两个分组方案:方案一:将 55 人分成 11 组,每组 5 人;方案二:将 55 人分成 5 组,每组 11 人;试分析哪一个方案工作量更少?()若该疾病的患病率为 0.4%,且患该疾病
13、者血检呈阳性的概率为99%,该单位有一职工血检呈阳性,求该职工推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料确实患该疾病的概率.(参考数据:5110990.951 0.990.895.,)【答案】(1)方案二工作量更少.(2)39.6%.【解析】分析:()方案一中化验次数为1 或者 6,方案二中化验次数为1 或 13,分别求出两种方案化验次数的分布列,求出期望,通过比较期望大小可得结论;()设事件A:血检呈阳性;事件B:患疾病则题意有P A0.01,PB)0.004,p A|B0.99(,利用条件概率公式可得,注意要求的概率是P(B|A).详解:()方法 1:设方案一中每组的化验次数为X,则X的取值
14、为1,6.所以5510.990.951,61 0.990.049P XP X,所以X的分布列为X1 6 P0.951 0.049 所以1 0.951 60.0491.245EX.故方案一的化验总次数的期望为:11 EX11 0.24513.695次.设方案二中每组的化验次数为Y,则Y的取值为1,12,所以1111P Y10.990.895,1210.990.105P Y,所以Y的分布列为Y1 12 P0.895 0.105 所以EY1 0.895 12 0.1052.155.推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料()设事件A:血检呈阳性;事件B:患疾病则由题意有P A0.01PB)0.004
15、p A|B0.99,(,,由条件概率公式P A|BP ABP B,得|0.004 0.99P ABP B P AB,故0.0040.99|0.3960.01PABP B AP A,所以血检呈阳性的人确实患病的概率为 39.6%.例 8.【2018 届吉林省长春市第十一高中、东北师范大学附属中学、吉林一中,重庆一中等五校1 月联合模拟】为了调查观众对电视剧风筝的喜爱程度,某电视台举办了一次现场调查活动.在参加此活动的甲、乙两地观众中,各随机抽取了8 名观众对该电视剧评分做调查(满分 100 分),被抽取的观众的评分结果如图所示()计算:甲地被抽取的观众评分的中位数;乙地被抽取的观众评分的极差;(
16、)用频率估计概率,若从乙地的所有观众中再随机抽取4 人进行评分调查,记抽取的4 人评分不低于90 分的人数为X,求X的分布列与期望;()从甲、乙两地分别抽取的8 名观众中各抽取一人,在已知两人中至少一人评分不低于90 分的条件下,求乙地被抽取的观众评分低于90 分的概率.【答案】(1)83,21(2)见解析(3)37推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料()设事件A为“从甲、乙两地分别抽取的8 名观众中各抽取一人,两人中至少一人评分不低于90 分”,事件B为“从甲、乙两地分别抽取的8 名观众中各抽取一人,乙地观众评分低于90 分”,则716P A316P AB根据条件概率公式,可求乙地被抽取
17、的观众评分低于90 分的概率.试题解析:()由茎叶图可知,甲地被抽取的观众评分的中位数是83,乙地被抽取的观众评分的极差是977621()记“从乙地抽取1 人进行评分调查,其评分不低于90 分”为事件M,则2184P M随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,4,且14,4XB所以4411144kkkP xkC,0,1,2,3,4k所以X的分布列为1414E x推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料所以在已知两人中至少一人评分不低于90 分的条件下,乙地被抽取的观众评分低于90 分的概率为37.例 9.一个盒子内装有8 张卡片,每张卡片上面写着1 个数字,这8 个数字各不相同,且奇数有3
18、个,偶数有5个每张卡片被取出的概率相等(1)如果从盒子中一次随机取出2 张卡片,并且将取出的2 张卡片上的数字相加得到一个新数,求所得新数是奇数的概率;(2)现从盒子中一次随机取出1 张卡片,每次取出的卡片都不放回盒子,若取出的卡片上写着的数是偶数则停止取出卡片,否则继续取出卡片设取出了次才停止取出卡片,求的分布列和数学期望【答案】(1)1528;(2)1234P581556556156期望32.【解析】(1)思路:本题可用古典概型解决,事件为“8 张卡片中取出2 张卡片”,所以28nC事件A为“所得新数为奇数”,可知需要一奇一偶相加即可,则1135n ACC,从而可计算出P A解:设A为“所
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