【精品】2019高考数学二轮复习专题二立体几何第2讲立体几何中的空间角问题学案.pdf
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1、第 2 讲立体几何中的空间角问题高考定位以空间几何体为载体考查空间角(以线面角为主)是高考命题的重点,常与空间线面关系的证明相结合,热点为空间角的求解,常以解答题的形式进行考查,高考注重以传统方法解决空间角问题,但也可利用空间向量来求解.真 题 感 悟(2018浙江卷)如图,已知多面体ABCA1B1C1,A1A,B1B,C1C均垂直于平面ABC,ABC120,A1A4,C1C 1,ABBCB1B2.(1)证明:AB1平面A1B1C1;(2)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值.法一(1)证明由AB 2,AA14,BB12,AA1AB,BB1AB得AB1A1B122,所以A1B21AB21
2、AA21,所以AB1A1B1.由BC2,BB12,CC11,BB1BC,CC1BC得B1C15,由ABBC2,ABC120得AC23,由CC1AC,得AC113,所以AB21B1C21AC21,故AB1B1C1,又A1B1B1C1B1,因此AB1平面A1B1C1.(2)解如图,过点C1作C1DA1B1,交直线A1B1于点D,连接AD.由AB1平面A1B1C1,AB1平面ABB1,得平面A1B1C1平面ABB1,由C1DA1B1得C1D平面ABB1,所以C1AD是AC1与平面ABB1所成的角.由B1C15,A1B122,A1C121得 cosC1A1B167,sin C1A1B117,所以C1D
3、3,故 sin C1ADC1DAC13913.因此,直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值是3913.法二(1)证明如图,以AC的中点O为原点,分别以射线OB,OC为x,y轴的正半轴,建立空间直角坐标系O-xyz.由题意知各点坐标如下:2A(0,3,0),B(1,0,0),A1(0,3,4),B1(1,0,2),C1(0,3,1).因此AB1(1,3,2),A1B1(1,3,2),A1C1(0,23,3).由AB1A1B10 得AB1A1B1.由AB1A1C10 得AB1A1C1.所以AB1平面A1B1C1.(2)解设直线AC1与平面ABB1所成的角为.由(1)可知AC1(0,23,1),A
4、B(1,3,0),BB1(0,0,2).设平面ABB1的法向量n(x,y,z).由nAB0,nBB10,即x3y0,2z0,可取n(3,1,0).所以 sin|cos AC1,n|AC1n|AC1|n|3913.因此,直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值是3913.考 点 整 合1.求异面直线所成角的方法方法一:几何法.用几何法求两条异面直线所成角的步骤为:利用定义构造角,可固定一条直线,平移另一条直线,或将两条直线同时平移到某个特殊的位置;证明找到(或作出)的角即为所求角;通过解三角形来求角.方法二:空间向量法.用空间向量法求两条异面直线a,b所成角 的步骤为:求出直线a,b的方向向量,
5、分别记为m,n;计算 cosm,nmn|m|n|;利用 cos|cos m,n|,以及(0,90,求出角.2.求直线与平面所成角的方法方法一:几何法.用几何法求直线l与平面 所成角的步骤为:找出直线l在平面 上的射影;证明所找的角就是所求的角;把这个平面角置于一个三角形中,通过解三角形来求角.方法二:空间向量法.用空间向量法求直线AB与平面 所成角 的步骤为:求出平面 的法向量n与直线AB的方向向量AB;计算 cosAB,nABn|AB|n|;利用sin|cos AB,n|,以及 0,90,求出角.33.求二面角的方法方法一:几何法.用几何法求二面角-l-的平面角 的步骤为:找出二面角的平面角
6、(以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角就是二面角的平面角);证明所找的角就是要求的角;把这个平面角置于一个三角形中,通过解三角形来求角.求二面角的平面角的口诀:点在棱上,边在面内,垂直于棱,大小确定.方法二:空间向量法.用空间向量法求二面角l 的平面角 的步骤为:求两个半平面,的法向量m,n;计算cosm,nmn|m|n|;根据图形和计算结果判断 是锐角、直角,还是钝角,从而得出 与m,n是相等关系还是互补关系.热点一求线线角【例 1】如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是矩形,PA底面ABCD,E是PC的中点.已知AB2,AD22,PA 2
7、,求异面直线BC与AE所成角的大小.解法一如图 1,取PB的中点F,连接EF,AF,则EFBC,从而AEF(或其补角)是异面直线BC与AE所成的角.在AEF中,由EF2,AF2,AE2,知AEF是等腰直角三角形,所以AEF4.因此,异面直线BC与AE所成角的大小是4.图 1 图 2 法二如图 2,建立空间直角坐标系,则B(2,0,0),C(2,22,0),E(1,2,1),AE(1,2,1),BC(0,22,0).设AE与BC的夹角为,则 cos AEBC|AE|BC|422 222,所以 4.由此可知,异面直线BC与AE所成角的大小是4.探究提高求异面直线所成的角,可以应用向量法,也可以应用
8、异面直线的定义求解.【训练 1】(1)(2018 浙江卷)已知四棱锥SABCD的底面是正方形,侧棱长均相等,E是线4段AB上的点(不含端点).设SE与BC所成的角为1,SE与平面ABCD所成的角为2,二面角SABC的平面角为3,则()A.12 3B.321C.13 2D.231(2)(2016 浙江卷)如图,已知平面四边形ABCD,ABBC3,CD1,AD5,ADC90,沿直线AC将ACD翻折成ACD,直线AC与BD所成角的余弦的最大值是 _.解析(1)由题意知四棱锥S-ABCD为正四棱锥,如图,连接AC,BD,记ACBDO,连接SO,则SO平面ABCD,取AB的中点M,连接SM,OM,OE,
9、易得ABSM,则 2SEO,3SMO,易知 3 2.再根据最小角定理知,31,所以 231,故选 D.(2)设直线AC与BD所成角为,平面ACD翻折的角度为,设O是AC中点,由已知得AC6,如图,以OB为x轴,OA为y轴,过O与平面ABC垂直的直线为z轴,建立空间直角坐标系,则A0,62,0,B302,0,0,C0,62,0.作DHAC于H,翻折过程中,DH始终与AC垂 直,CHCD2CA1666,则OH63,DH156306,因 此 可 设D 306cos,63,306sin ,则BD 306cos 302,63,306sin ,与CA平行的单位向量为n(0,1,0),所以 cos|cos
10、BD,n|BDn|BD|n|6395cos,所以 cos 1 时,cos 取最大值66.5答案(1)D(2)66热点二求线面角【例 2】(2017浙江卷)如图,已知四棱锥PABCD,PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形,BCAD,CDAD,PCAD2DC2CB,E为PD的中点.(1)证明:CE平面PAB;(2)求直线CE与平面PBC所成角的正弦值.法一(1)证明如图,设PA中点为F,连接EF,FB.因为E,F分别为PD,PA中点,所以EFAD且EF12AD,又因为BCAD,BC12AD,所以EFBC且EFBC,即四边形BCEF为平行四边形,所以CEBF.又因为CE平面PAB,BF平面PAB,因
11、此CE平面PAB.(2)解分别取BC,AD的中点为M,N,连接PN交EF于点Q,连接MQ.因为E,F,N分别是PD,PA,AD的中点,所以Q为EF中点,在平行四边形BCEF中,MQCE.由PAD为等腰直角三角形得PNAD.由DCAD,N是AD的中点得BNAD.因为PNBNN,所以AD平面PBN.由BCAD得BC平面PBN,因为BC平面PBC,所以平面PBC平面PBN.过点Q作PB的垂线,垂足为H,则QH平面PBC.连接MH,则MH是MQ在平面PBC上的射影,所以QMH是直线CE与平面PBC所成的角.设CD 1.在PCD中,由PC2,CD1,PD2得CE2,6在PBN中,由PNBN1,PB3得Q
12、H14,在 RtMQH中,QH14,MQ2,所以 sin QMH28,所以,直线CE与平面PBC所成角的正弦值是28.法二过P作PHCD,交CD的延长线于点H.不妨设AD2,BCAD,CDAD,则易求DH12,过P作底面的垂线,垂足为O,连接OB,OH,易得OHBC,且OP,OB,OH两两垂直.故可以O为原点,以OH,OB,OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示.(1)证明由PCAD2DC2CB,E为PD的中点,则可得:D 1,12,0,C1,32,0,P0,0,32,A1,12,0,B0,32,0,E12,14,34,则CE12,54,34,PA 1,12,32,PB
13、 0,32,32.设平面PAB的法向量为n(x,y,z),则nPAx12y32z 0,nPB32y32z0.令y1,则x1,y1,z3,n(1,1,3),CEn1215413430.又CE平面PAB,CE平面PAB.(2)解由(1)得PC 1,32,32.设平面PBC的法向量m(x,y,z),7则mPB32y32z0,mPCx32y32z0.令y1,则x0,y1,z3,m(0,1,3).设直线CE与平面PBC所成的角为,则 sin|cosm,CE|mCE|m|CE|124228.直线CE与平面PBC所成角的正弦值为28.探究提高(1)传统法解决线面角问题的关键是先找出线面所成的角,再在三角形中
14、解此角.(2)利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”:第一,破“建系关”,构建恰当的空间直角坐标系;第二,破“求坐标关”,准确求解相关点的坐标;第三,破“求法向量关”,求出平面的法向量;第四,破“应用公式关”.【训练2】如图,在四棱锥P-ABCD中,ADBC,ADCPAB90,BCCD12AD,E为棱AD的中点,异面直线PA与CD所成的角为90.(1)在平面PAB内找一点M,使得直线CM平面PBE,并说明理由;(2)若二面角P-CD-A的大小为45,求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.解(1)在梯形ABCD中,AB与CD不平行.延长AB,DC,相交于点M(M平面PAB),点M即为所求的一
15、个点.理由如下:由已知,BCED,且BCED.所以四边形BCDE是平行四边形.从而CMEB.又EB平面PBE,CM平面PBE.所以CM平面PBE.(说明:延长AP至点N,使得APPN,则所找的点可以是直线MN上任意一点)(2)法一由已知,CDPA,CDAD,PAADA,所以CD平面PAD.从而CDPD.所以PDA是二面角P-CD-A的平面角.所以PDA45.设BC1,则在 RtPAD中,PAAD 2.8过点A作AHCE,交CE的延长线于点H,连接PH.易知PA平面ABCD,从而PACE.又PAAHA,于是CE平面PAH.又CE平面PCE,所以平面PCE平面PAH.过A作AQPH于Q,则AQ平面
16、PCE.所以APH是PA与平面PCE所成的角.在 RtAEH中,AEH45,AE1,所以AH22.在 RtPAH中,PHPA2AH2322.所以 sin APHAHPH13.法二由已知,CDPA,CDAD,PAADA,所以CD平面PAD.于是CDPD.从而PDA是二面角P-CD-A的平面角,所以PDA45.由PAAB,可得PA平面ABCD.设BC1,则在 RtPAD中,PAAD 2.作Ay平面PAD,以A为原点,以AD,AP的方向分别为x轴,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),P(0,0,2),C(2,1,0),E(1,0,0).所以PE(1,0,2),E
17、C(1,1,0),AP(0,0,2).设平面PCE的法向量为n(x,y,z).由nPE0,nEC0.得x2z 0,xy0.设x2,解得n(2,2,1).设直线PA与平面PCE所成角为,则 sin|nAP|n|AP|2222(2)21213.所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为13.热点三求二面角【例 3】(2016浙江卷)如图,在三棱台ABC-DEF中,平面BCFE平面ABC,ACB90,BEEFFC1,BC2,AC3.9(1)求证:BF平面ACFD;(2)求二面角B-AD-F的平面角的余弦值.(1)证明延长AD,BE,CF相交于一点K,如图所示.因为平面BCFE平面ABC,平面BCFE平
18、面ABCBC,且ACBC,所以AC平面BCK,因此BFAC.又因为EFBC,BEEFFC 1,BC 2,所以BCK为等边三角形,且F为CK的中点,则BFCK,且CKACC,CK,AC平面ACFD,所以BF平面ACFD.(2)解法一过点F作FQAK于Q,连接BQ.因为BF平面ACK,所以BFAK,则AK平面BQF,所以BQAK.所以BQF是二面角B-AD-F的平面角.在 RtACK中,AC3,CK2,得AK13,FQ31313.在 RtBQF中,FQ31313,BF3,得 cosBQF34.所以,二面角B-AD-F的平面角的余弦值为34.法二如图,延长AD,BE,CF相交于一点K,则BCK为等边
19、三角形.取BC的中点O,连接KO,则KOBC,又平面BCFE平面ABC,平面BCFE平面ABCBC,所以KO平面ABC.以点O为原点,分别以射线OB,OK的方向为x轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系O-xyz.由题意得B(1,0,0),C(1,0,0),K(0,0,3),A(1,3,0),E12,0,32,F12,0,32.因此,AC(0,3,0),AK(1,3,3),AB(2,3,0).设平面ACK的法向量为m(x1,y1,z1),平面ABK的法向量为n(x2,y2,z2).由ACm0,AKm0,得3y10,x13y13z10,取m(3,0,1);10由ABn0,AKn0,得2x23y20
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