(浙江专用)2019高考数学二轮复习 专题二 立体几何 第3讲 空间角学案.doc
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1、1第第 3 3 讲讲 空间角空间角考情考向分析 以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点,热点为异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角的求解,向量法作为传统几何法的补充,为考生答题提供新的工具热点一 异面直线所成的角(1)几何法:按定义作出异面直线所成的角(即找平行线),解三角形(2)向量法:设直线l,m的方向向量分别为a a(a1,b1,c1),b b(a2,b2,c2)设l,m的夹角为,则 cos .(0 2)|a ab b| |a a|b b|a1a2b1b2c1c2|a2 1b2 1c2 1 a2 2b2 2c2 2例 1 (1)(2018全国)在长方体ABCDA1B1C1D
2、1中,ABBC1,AA1,则异面直线3AD1与DB1所成角的余弦值为( )A. B. C. D.1 5565522答案 C解析 方法一 如图,在长方体ABCDA1B1C1D1的一侧补上一个相同的长方体ABBAA1B1B1A1.连接B1B,由长方体性质可知,B1BAD1,所以DB1B为异面直线AD1与DB1所成的角或其补角连接DB,由题意,得DB,BB12,DB1.12112512 321212 325在DBB1中,由余弦定理,得DB2BBDB2BB1DB1cosDB1B,2 12 1即 54522cosDB1B,cosDB1B.555故选 C.方法二 如图,以点D为坐标原点,分别以DA,DC,
3、DD1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系Dxyz.2由题意,得A(1,0,0),D(0,0,0),D1(0,0,),B1(1,1,),33(1,0,),AD13(1,1,),DB131101()22,AD1DB13|2,|,AD1DB15cos,.AD1DB1AD1DB1|AD1|DB1|22 555故选 C.(2)(2018浙江省杭州二中月考)已知异面直线a,b所成的角为 50,过空间一定点P最多可作n条直线与直线a,b均成角,则下列判断不正确的是( )A当65时,n3 B当n1 时,只能为 25C当30时,n2 D当75时,n4答案 B解析 将空间直线平移,异面直线的夹角不变,则可将
4、异面直线a,b平移到同一平面内,使得点P为平移后的直线a,b的交点,则当 0 B D|,BPPCBPPCBC所以 cos ,故选 A.(0, 2)热点二 直线与平面所成的角(1)几何法:按定义作出直线与平面所成的角(即找到斜线在平面内的投影),解三角形(2)向量法:设直线l的方向向量为a a(a1,b1,c1),平面的法向量为(a2,b2,c2),设直线l与平面的夹角为,则 sin |cosa a,|.(0 2)|a a| |a a|例 2 (2018浙江省名校协作体联考)在如图所示的几何体中,平面DAE平面ABCD,四边形ABCD为等腰梯形,四边形DCFE为菱形已知ABCD,ABC60,CD
5、AB1.1 24(1)线段AC上是否存在一点N,使得AE平面FDN?证明你的结论;(2)若线段FC在平面ABCD上的投影长度为 ,求直线AC与平面ADF所成角的正弦值1 2解 (1)在线段AC上存在点N,使得AE平面FDN,且N是AC的中点如图,取AC的中点N,连接NF,DN,连接EC交DF于点O,连接ON.四边形CDEF为菱形,O为EC的中点在ACE中,由中位线定理可得ONAE.ON平面FDN,AE平面FDN,AE平面FDN,在线段AC上存在点N,使得AE平面FDN,且N是AC的中点(2)方法一 DECF,DE在平面ABCD上的投影长度为 ,1 2过点E作EOAD于点O,平面DAE平面ABC
6、D,且平面DAE平面ABCDAD,EO平面DAE,EO平面ABCD,则OD ,1 2在等腰梯形ABCD中,由已知易得ADBC1,点O为线段AD的中点设点C到平面FDA的距离为h,VCFDAVFADC,hSFDAEOSADC,易知SADC,EO,3432取AB的中点M,连接CM,取CM的中点P,连接AP,DP,FP,OP.5O,P分别为AD,MC的中点,AMDCEF,且AMDCEF,OPEF且OPEF,四边形OPFE为平行四边形,OEFP,OEFP,FP平面ABCD.易求得AP,DPFP,7232AF,DF,10262DF2AD2AF2,ADF为直角三角形,SFDA.h.64EOSADC SFD
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