高中数学1.3.1-二项式定理精品课件.ppt
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1、1.3.1 二项式定理(1)1.在在n=1,2,3时,写出并研究时,写出并研究(a+b)n的展开式的展开式.(a+b)1=,(a+b)2=,(a+b)3=,a+ba2+2ab+b2a3+3a2b+3ab2+b3结合左边的次数分析:结合左边的次数分析:展开式中的项数、次数展开式中的项数、次数(a、b各自次数)各自次数)每一项的系数规律每一项的系数规律提出问题提出问题:次数:各项的次数等于二项式的次数项数:次数+1(a+b)2(a+b)(a+b)展开后其项的形式为:a2,ab,b2 这三项的系数为各项在展开式中出现的次数。考虑b对对(a+b)(a+b)2 2展开式的分析展开式的分析每个都不取b的情
2、况有1种,即 ,则a2前的系数为恰有1个取b的情况有 种,则ab前的系数为恰有2个取b的情况有 种,则b2前的系数为(a+b)2 =a2+2ab+b2 a2+ab+b2(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+a2b+ab2+b32.在在n=4时,猜测时,猜测(a+b)的展开式的展开式.4(a+b)4(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)?问题:1)(a+b)4展开后各项形式分别是什么?2)各项前的系数代表着什么?3)你能分析说明各项前的系数吗?a4 a3b a2b2 ab3 b4各项前的系数 代表着这些项在展开式中出现的次数3)你能分析说明各项前的系数吗?a4 a3b a2b2
3、ab3 b4每个都不取b的情况有1种,即 则a4前的系数为恰有1个取b的情况有 种,则a3b前的系数为恰有2个取b的情况有 种,则a2b2前的系数为恰有3个取b的情况有 种,则ab3前的系数为恰有4个取b的情况有 种,则b4前的系数为则(a+b)4 a4 a3b a2b2 ab3 b4一一二二三三四四问题:问题:4个容器中有相同的红、黑玻璃个容器中有相同的红、黑玻璃球各一个,从每个容器中取一个球,球各一个,从每个容器中取一个球,有多少不同的结果?有多少不同的结果?4个红球个红球0个黑球个黑球3个红球个红球1个黑球个黑球2个红球个红球2个黑球个黑球1个红球个红球3个黑球个黑球0个红球个红球4个黑
4、球个黑球C40C41C42C43C44一一二二三三四四a4 a3b a2b2 ab3 b4都都不不取取b取取一一个个b 取取两两个个b 取取三三个个b 取取四四个个b 项项系数系数C40C41C42C43C44(a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)4=C4a4+C4a3b+C4a2b2+C4ab3+C4b401234结果:结果:发现规律:发现规律:对于对于(a+b)n=的展开式中的展开式中an-rbr的系数是在的系数是在n个括号中,恰有个括号中,恰有r个个括号中取括号中取b(其余括号中取其余括号中取a)的组合数的组合数 .那么,那么,我们能不能写出我们能不能写出(a+
5、b)n的展开式?的展开式?将将(a+b)n展开展开的结果的结果又又是是怎怎样样呢?呢?归纳提高归纳提高(a+b)n=一般地,对于n N*有二项式定理 这个公式表示的定理叫做这个公式表示的定理叫做二项式定理二项式定理,公式,公式右边的多项式叫做右边的多项式叫做(a+b)n的的 ,其中其中 (r=0,1,2,n)叫做)叫做 ,叫做二项展开式的叫做二项展开式的通项通项,用,用 Tr+1 表示,该项是指展开式的第表示,该项是指展开式的第 项,展开式共有项,展开式共有_个项个项.展开式展开式二项式系数二项式系数r+1n+12.系数规律:系数规律:3.指数规律:指数规律:(1)各项的次数均为各项的次数均为
6、n;(2)字母字母a按降幂排列按降幂排列,次数由次数由n递减到递减到0 字母字母b按升幂排列按升幂排列,次数由次数由0递增到递增到n1.项数规律:项数规律:展开式共有展开式共有n+1个项个项二项式定理二项式定理 二项式定理二项式定理 4.二项式系数可写成组合数的形式二项式系数可写成组合数的形式,组合数的下标组合数的下标为二项式的次数为二项式的次数,组合数的上标由组合数的上标由0 0递增到递增到n n5.展开式中的第展开式中的第 r+1 r+1 项,即通项项,即通项 T Tr+1r+1=_=_;6.二项式系数为二项式系数为 _;项的系数为项的系数为 二项式系数与数字系数的积二项式系数与数字系数的
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