用该窗函数设计的FIR数字滤波器课件.ppt
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1、第第第第7 7章章章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 7.1 线性相位线性相位FIR数字滤波器的条件和特点数字滤波器的条件和特点 7.2 利用窗函数法设计利用窗函数法设计FIR滤波器滤波器 7.3 利用频率采样法设计利用频率采样法设计FIR滤波器滤波器 7.4 利用等波纹最佳逼近法设计利用等波纹最佳逼近法设计FIR数字滤波器数字滤波器 7.5 IIR和和FIR数字滤波器的比较数字滤波器的比较 7.6 几种特殊类型滤波器简介几种特殊类型滤波器简
2、介 第第第第7 7章章章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 IIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计方法是利用模拟滤波器成熟方法是利用模拟滤波器成熟 的理论进行设计的,因而保留了一些典型模拟滤波的理论进行设计的,因而保留了一些典型模拟滤波 器优良的幅度特性。但设计中器优良的幅度特性。但设计中只考虑了幅度特性只考虑了幅度特性,没考虑相位特性。没考虑相位特性。为了得到线性相位特性为了得到线性相位特性,对,对IIR 滤波器必须滤波器必须另外增加相位校正网络另外增加相位校正网络,使滤波器设计,使滤波器设计 变得复杂,成本也
3、高,又难以得到严格的线性相位变得复杂,成本也高,又难以得到严格的线性相位 特性。特性。有限脉冲响应有限脉冲响应(FIR)滤波器在保证幅度特性满足技滤波器在保证幅度特性满足技 术要求的同时,很容易做到有严格的线性相位特性。术要求的同时,很容易做到有严格的线性相位特性。用用N表示表示FIR滤波器单位脉冲响应滤波器单位脉冲响应h(n)的长度,其系的长度,其系 统函数统函数H(z)为为第第第第7 7章章章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 H(z)是是z1的的N1次多项式,它在次多项式,它在z平面上有平面上有N1 个零点
4、,在原点个零点,在原点z=0处有一个处有一个N1重极点。因此,重极点。因此,H(z)永远稳定。永远稳定。稳定和线性相位特性是稳定和线性相位特性是FIR滤波器滤波器 最突出的优点。最突出的优点。FIR滤波器的设计方法和滤波器的设计方法和IIR滤波器的设计方法有滤波器的设计方法有 很大差别。很大差别。FIR滤波器设计任务是选择有限长度的滤波器设计任务是选择有限长度的 h(n),使频率响应函数,使频率响应函数H(ej)满足技术指标要求。满足技术指标要求。本章主要介绍三种设计方法:本章主要介绍三种设计方法:窗函数法窗函数法、频率采、频率采 样法和切比雪夫等波纹逼近法。样法和切比雪夫等波纹逼近法。第第第
5、第7 7章章章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 7.1 线性相位线性相位FIR数字滤波器的条件和特点数字滤波器的条件和特点1 线性相位线性相位FIR数字滤波器数字滤波器对于长度为对于长度为N的的h(n),频率响应函数为,频率响应函数为 式中,式中,Hg()称为幅度特性称为幅度特性;()称为相位特性。注称为相位特性。注 意,这里意,这里Hg()不同于不同于|H(ej)|,Hg()为为的实函数的实函数 可能取负值,而可能取负值,而|H(ej)|总是正值。总是正值。线性相位线性相位FIR滤波滤波 器是指器是指()是是
6、的线性函数的线性函数,即,即(7.1.1)(7.1.2)第第第第7 7章章章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 如果如果()满足下式:满足下式:严格地说,此时严格地说,此时()不具有线性相位特性,但以上两不具有线性相位特性,但以上两 种情况都满足群时延是一个常数,即种情况都满足群时延是一个常数,即 也称这种情况为线性相位。也称这种情况为线性相位。一般称满足(一般称满足(7.1.3)式是第)式是第 一类线性相位;满足(一类线性相位;满足(7.1.4)式为第二类线性相位。)式为第二类线性相位。0=/2是第二类线性相位
7、特性常用的情况,所以本是第二类线性相位特性常用的情况,所以本 章仅介绍这种情况。章仅介绍这种情况。为常数为常数(7.1.3)是起始相位是起始相位(7.1.4)第第第第7 7章章章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 2.线性相位线性相位FIR的时域约束条件的时域约束条件 线性相位线性相位FIR滤波器的时域约束条件是指满足滤波器的时域约束条件是指满足 线性相位时,对线性相位时,对h(n)的约束条件。的约束条件。1)第一类线性相位对第一类线性相位对h(n)的约束条件的约束条件 第一类线性相位第一类线性相位FIR数字滤波
8、器的相位函数数字滤波器的相位函数 ()=,由式(,由式(7.1.1)和()和(7.1.2)得到)得到:(7.1.5)第第第第7 7章章章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 由式(由式(7.1.5)得到)得到:将(将(7.1.6)式中两式相除得到:)式中两式相除得到:(7.1.6)第第第第7 7章章章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 即即 移项并用三角公式化简得到移项并用三角公式化简得到:函数函数h(n)sin(n)关于求和区间的中
9、心关于求和区间的中心(N1)/2奇对奇对称称,是满足(,是满足(7.1.7)式的一组解。因为)式的一组解。因为sin(n-)关于关于n=奇对称,如果取奇对称,如果取=(N1)/2,则要求,则要求h(n)关于关于(N1)/2偶对称,所以要求偶对称,所以要求和和h(n)满足如下条件满足如下条件:(7.1.7)第第第第7 7章章章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 由以上推导结论可知由以上推导结论可知:如果要求单位脉冲响应为如果要求单位脉冲响应为h(n)、长度为、长度为N的的FIR数字数字 滤波器具有第一类线性相位特性
10、(严格线性相位特滤波器具有第一类线性相位特性(严格线性相位特 性),则性),则h(n)应当关于应当关于n=(N1)/2点偶对称。点偶对称。当当N确确 定时,定时,FIR数字滤波器的相位特性是一个确知的线数字滤波器的相位特性是一个确知的线 性函数,即性函数,即()=(N1)/2。N为奇数和偶数时为奇数和偶数时,h(n)的对称情况分别如表的对称情况分别如表7.1.1中的情况中的情况1和情况和情况2所所 示。示。(7.1.8)第第第第7 7章章章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 表表7.1.1 线性相位线性相位FIR
11、数字滤波器的时域和频域特性一览数字滤波器的时域和频域特性一览 第第第第7 7章章章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 2)第二类线性相位对第二类线性相位对h(n)的约束条件的约束条件第二类线性相位第二类线性相位FIR数字滤波器的相位函数数字滤波器的相位函数 ()=/2,由式(,由式(7.1.1)和()和(7.1.2),),经经过同样的推导过程可得到过同样的推导过程可得到:函数函数h(n)cos(n)关于求和区间的中心关于求和区间的中心(N 1)/2奇对称奇对称,是满足式(,是满足式(7.1.9)的一组解,因为)的
12、一组解,因为 cos(n)关于关于n=偶对称,所以要求偶对称,所以要求和和 h(n)满足如下条件:满足如下条件:(7.1.9)第第第第7 7章章章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 由以上推导结论可知,如果要求单位脉冲响应由以上推导结论可知,如果要求单位脉冲响应 为为h(n)、长度为、长度为N的的FIR数字滤波器具有第二类数字滤波器具有第二类 线性相位特性,则线性相位特性,则h(n)应当关于应当关于n=(N1)/2点点 奇对称奇对称。N为奇数和偶数时为奇数和偶数时h(n)的对称情况分别的对称情况分别 如表如表7.
13、1.1中情况中情况3和情况和情况4所示。所示。(7.1.10)第第第第7 7章章章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 表表7.1.1 线性相位线性相位FIR数字滤波器的时域和频域特性一览数字滤波器的时域和频域特性一览 第第第第7 7章章章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 2 线性相位线性相位线性相位线性相位FIRFIR滤波器幅度特性滤波器幅度特性滤波器幅度特性滤波器幅度特性HHg g()的特点的特点的特点的特点实质上,实质上,幅度
14、特性的特点就是线性相位幅度特性的特点就是线性相位FIR滤波器的频滤波器的频 域约束条件域约束条件。将时域约束条件。将时域约束条件h(n)=h(Nn1)代入式代入式 (7.1.1),设),设h(n)为实序列,即可推导出线性相位条件为实序列,即可推导出线性相位条件 对对FIR数字滤波器的幅度特性数字滤波器的幅度特性Hg()的约束条件。的约束条件。当当N取奇数和偶数时对取奇数和偶数时对Hg()的约束不同,因此,对于的约束不同,因此,对于 两类线性相位特性,下面两类线性相位特性,下面分四种情况讨论其幅度特性的分四种情况讨论其幅度特性的 特点特点。这些特点对正确设计线性相位。这些特点对正确设计线性相位F
15、IR数字滤波器具数字滤波器具 有重要的指导作用。为了推导方便,引入两个参数符号:有重要的指导作用。为了推导方便,引入两个参数符号:第第第第7 7章章章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 式中,表示取不大于式中,表示取不大于(N1)/2的最大整数。的最大整数。显然,仅当显然,仅当N为奇数时,为奇数时,M=(N1)/2。情况情况1:h(n)=h(Nn1),N为奇数。为奇数。将时域约束条件将时域约束条件h(n)=h(Nn1)和和()=代代 入式(入式(7.1.1)和()和(7.1.2),得到),得到:第第第第7 7章章
16、章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 第第第第7 7章章章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 所以所以因为因为cos(n-)关于关于=0,2三点偶对称,三点偶对称,所以由式(所以由式(7.1.11)可以看出,)可以看出,Hg()关于关于=0,2三点偶对称。三点偶对称。因此情况因此情况1可以实现各种(低通、高通、带通、带阻)可以实现各种(低通、高通、带通、带阻)滤波器。滤波器。对于对于N=13的低通情况,的低通情况,Hg()的一种例图
17、的一种例图 如表如表7.1.1中情况中情况1所示。所示。(7.1.11)第第第第7 7章章章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 情况情况2:h(n)=h(Nn1),N为偶数为偶数 仿照情况仿照情况1的推导方法得到的推导方法得到:(7.1.12)式中,式中,。因为。因为是偶数,所以当是偶数,所以当时时第第第第7 7章章章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 而且而且cos(n)关于过零点奇对称,关于关于过零点奇对称,关于 =0和和2偶对
18、称。所以偶对称。所以Hg()=0,Hg()关于关于 =奇对称,关于奇对称,关于=0和和2偶对称偶对称。因此,情况因此,情况2不能实现高通和带阻滤波器。对不能实现高通和带阻滤波器。对N=12 的低通情况,的低通情况,Hg()如表如表7.1.1中情况中情况2所示。所示。情况情况3:h(n)=h(Nn1),N为奇数。为奇数。将时域约束条件将时域约束条件h(n)=h(Nn1)和和()=-/2-代入式(代入式(7.1.1)和()和(7.1.2),),并考虑并考虑得到得到:第第第第7 7章章章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设
19、计 所以:所以:第第第第7 7章章章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 式中,式中,N是奇数,是奇数,=(N1)/2是整数。是整数。所以,当所以,当=0,2时,时,sin(n)=0,而且而且sin(n)关于过零点奇对称。关于过零点奇对称。因此因此Hg()关于关于=0,2三点奇对称。三点奇对称。由此可见,情况由此可见,情况3只能实现带通滤波器。对只能实现带通滤波器。对N=13的带的带 通滤波器举例,通滤波器举例,Hg()如表如表7.1.1中情况中情况3所示。所示。第第第第7 7章章章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
20、有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 情况情况4:h(n)=h(Nn1),N为偶数。为偶数。式中,式中,N是偶数,是偶数,=(N1)/2=N/21/2。所以,当所以,当=0,2时,时,sin(n)=0;当;当=时,时,sin(n)=(1)nN/2,为峰值点。而且为峰值点。而且sin(n )关于过零点关于过零点=0和和2两点奇对称,关于峰值点两点奇对称,关于峰值点 =偶对称。偶对称。因此因此Hg()关于关于=0和和2两点奇对称,关于两点奇对称,关于=偶对偶对 称。称。由此可见,情况由此可见,情况4不能实现低通和带阻滤波器。对不能实现低通和带阻滤波器
21、。对 N=12的高通滤波器举例,的高通滤波器举例,Hg()如表如表7.1.1中情况中情况4所示。所示。(7.1.13)第第第第7 7章章章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 为了便于比较,将上面四种情况的为了便于比较,将上面四种情况的h(n)及其幅度特及其幅度特性需要满足的条件列于表性需要满足的条件列于表7.1.1中。应当注意,中。应当注意,对每一种对每一种情况仅画出满足幅度特性要求的一种例图。情况仅画出满足幅度特性要求的一种例图。例如,情况例如,情况1仅以低通的幅度特性曲线为例。当然也可以画出满足情仅以低通的幅
22、度特性曲线为例。当然也可以画出满足情况况1的幅度约束条件(的幅度约束条件(Hg()关于关于=0,2三点偶对称)三点偶对称)的高通、带通和带阻滤波器的幅度特性曲线。所以,仅的高通、带通和带阻滤波器的幅度特性曲线。所以,仅从表从表7.1.1就认为情况就认为情况1只能设计低通滤波器是错误的。只能设计低通滤波器是错误的。第第第第7 7章章章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 3.线性相位线性相位FIR数字滤波器的零点分布特点数字滤波器的零点分布特点 将将h(n)=h(N1n)代入上式代入上式,得到得到:(7.1.14)第
23、第第第7 7章章章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 由(由(7.1.14)式可以看出,如)式可以看出,如z=zi是是H(z)的零点,其的零点,其 倒数倒数也必然是其零点;又因为也必然是其零点;又因为h(n)是实序列,是实序列,H(z)的零点必定共轭成对,因此也是其零的零点必定共轭成对,因此也是其零 点。点。这样,线性相位这样,线性相位FIR滤波器零点必定是互为倒滤波器零点必定是互为倒 数的共轭对,确定其中一个,另外三个零点也就确数的共轭对,确定其中一个,另外三个零点也就确 定了定了,如图如图7.1.1中中。当然
24、,也有。当然,也有 一些特殊情况,如图一些特殊情况,如图7.1.1中中z1、z2和和z4情况。情况。第第第第7 7章章章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 图图7.1.1 线性相位线性相位FIR数字滤波器的零点分布数字滤波器的零点分布第第第第7 7章章章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 7.2 利用窗函数法设计利用窗函数法设计FIR滤波器滤波器7.2.1 窗函数法设计原理窗函数法设计原理 设希望逼近的滤波器频率响应函数为设希望逼近
25、的滤波器频率响应函数为Hd(ej),其单位,其单位 脉冲响应是脉冲响应是hd(n)。如果能够由已知的如果能够由已知的Hd(ej)求出求出hd(n),经过,经过Z变换可得变换可得到滤波器的系统函数。到滤波器的系统函数。第第第第7 7章章章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 但通常以理想滤波器作为但通常以理想滤波器作为Hd(ej),其,其幅度特性逐段恒幅度特性逐段恒 定定,在,在边界频率处有不连续点边界频率处有不连续点,因而,因而hd(n)是是无限时宽无限时宽 的的,且是,且是非因果序列非因果序列。例如,线性相位理想
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