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1、初中所学习的锐角三角函数分别是怎样规定的?初中所学习的锐角三角函数分别是怎样规定的?对对边边邻边邻边斜边斜边ryxy x (x,y)MO OP对边邻边 斜边 .P你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗?锐角三角函数吗?锐角三角函数吗?锐角三角函数吗?oyxP(,)的终边 r在终边上移动点在终边上移动点P P的位置的位置,这三个比值会改变吗这三个比值会改变吗?P1 (x1,y1).P2.(x2,y2)yxOM1M2P.对于任意角对于任意角 的每一个确定值
2、,比值都是惟一确定的每一个确定值,比值都是惟一确定的,不会随点的,不会随点P在终边上的移动而变化。在终边上的移动而变化。oyxP(,)r=1点点P P在终边上的位置可以是任意的,能否找到一个特殊在终边上的位置可以是任意的,能否找到一个特殊的位置,使得三个三角函数值的等式更简洁?的位置,使得三个三角函数值的等式更简洁?在直角坐标系中在直角坐标系中,以原点以原点O O为为圆心圆心,以单位长度为半径的圆以单位长度为半径的圆为为单位圆单位圆。P(x,y)锐角三角函数可以用锐角三角函数可以用锐角三角函数可以用锐角三角函数可以用单位圆上的点的坐标来表示。单位圆上的点的坐标来表示。单位圆单位圆x xy yo
3、 o人教版高一数学必修人教版高一数学必修4 4第一章第一章1.2.1 1.2.1 任意角的三角函数任意角的三角函数 (共(共3535张张PPTPPT)人教版高一数学必修人教版高一数学必修4 4第一章第一章1.2.1 1.2.1 任意角的三角函数任意角的三角函数 (共(共3535张张PPTPPT)yxO设设设设是一个任意角是一个任意角是一个任意角是一个任意角,它的终边与单它的终边与单它的终边与单它的终边与单位圆交于点位圆交于点位圆交于点位圆交于点P(x,y),P(x,y),P(x,y),P(x,y),那么那么那么那么:(1 1)y y 叫做叫做叫做叫做的正弦,记作的正弦,记作的正弦,记作的正弦,
4、记作 ,即即即即(2 2)x x叫做叫做叫做叫做 的余弦,记作的余弦,记作的余弦,记作的余弦,记作 ,即即即即(3 3)叫做叫做叫做叫做 的正切,记作的正切,记作的正切,记作的正切,记作 ,即即即即三角函数的定义三角函数的定义人教版高一数学必修人教版高一数学必修4 4第一章第一章1.2.1 1.2.1 任意角的三角函数任意角的三角函数 (共(共3535张张PPTPPT)人教版高一数学必修人教版高一数学必修4 4第一章第一章1.2.1 1.2.1 任意角的三角函数任意角的三角函数 (共(共3535张张PPTPPT)正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位
5、圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,统上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,统称它们为三角函数。称它们为三角函数。人教版高一数学必修人教版高一数学必修4 4第一章第一章1.2.1 1.2.1 任意角的三角函数任意角的三角函数 (共(共3535张张PPTPPT)人教版高一数学必修人教版高一数学必修4 4第一章第一章1.2.1 1.2.1 任意角的三角函数任意角的三角函数 (共(共3535张张PPTPPT)求下列各角的正弦、余弦、正切值。求下列各角的正弦、余弦、正切值。角(角度)角(弧度)001010不存在0-10-10不存在010人教版高一数学必修人教版高一数学必修4 4第一章第一章1.
6、2.1 1.2.1 任意角的三角函数任意角的三角函数 (共(共3535张张PPTPPT)人教版高一数学必修人教版高一数学必修4 4第一章第一章1.2.1 1.2.1 任意角的三角函数任意角的三角函数 (共(共3535张张PPTPPT)例例1 1 求求 的正弦、余弦、的正弦、余弦、正切的值正切的值.yxO小结:小结:求求角的角的角的角的三角函数值,可求三角函数值,可求终边与单位圆终边与单位圆终边与单位圆终边与单位圆交于点的纵横坐标交于点的纵横坐标交于点的纵横坐标交于点的纵横坐标或坐标的比值或坐标的比值.解:解:人教版高一数学必修人教版高一数学必修4 4第一章第一章1.2.1 1.2.1 任意角的
7、三角函数任意角的三角函数 (共(共3535张张PPTPPT)人教版高一数学必修人教版高一数学必修4 4第一章第一章1.2.1 1.2.1 任意角的三角函数任意角的三角函数 (共(共3535张张PPTPPT)例例2 2 已知角已知角 的终边经过点的终边经过点 求角求角 的正弦、余弦、正切的值的正弦、余弦、正切的值.P0(-3,-4)M0人教版高一数学必修人教版高一数学必修4 4第一章第一章1.2.1 1.2.1 任意角的三角函数任意角的三角函数 (共(共3535张张PPTPPT)人教版高一数学必修人教版高一数学必修4 4第一章第一章1.2.1 1.2.1 任意角的三角函数任意角的三角函数 (共(
8、共3535张张PPTPPT)例例2 已知角已知角 的终边经过点的终边经过点 ,求角,求角 的正弦、余弦和正切值的正弦、余弦和正切值.解解:由已知可得由已知可得设角设角 的终边与单位圆交于的终边与单位圆交于 ,分别过点分别过点 、作作 轴的垂线轴的垂线 、于是,于是,人教版高一数学必修人教版高一数学必修4 4第一章第一章1.2.1 1.2.1 任意角的三角函数任意角的三角函数 (共(共3535张张PPTPPT)人教版高一数学必修人教版高一数学必修4 4第一章第一章1.2.1 1.2.1 任意角的三角函数任意角的三角函数 (共(共3535张张PPTPPT)oyxP(,)的终边的终边 r 三角函数也
9、可三角函数也可定义为定义为:设设是一个任意角是一个任意角,它的终边经过点它的终边经过点P(x,y),则则()人教版高一数学必修人教版高一数学必修4 4第一章第一章1.2.1 1.2.1 任意角的三角函数任意角的三角函数 (共(共3535张张PPTPPT)人教版高一数学必修人教版高一数学必修4 4第一章第一章1.2.1 1.2.1 任意角的三角函数任意角的三角函数 (共(共3535张张PPTPPT)设角设角 是一个任意角,是一个任意角,是终边上的是终边上的任意一点,任意一点,点点 与原点的距离与原点的距离那么那么 叫做叫做 的正弦,即的正弦,即 叫做叫做 的余弦,即的余弦,即 叫做叫做 的正弦,
10、即的正弦,即 任意角任意角 的三角函数值仅与的三角函数值仅与 有关,而有关,而与点与点 在角的终边上的位置无关在角的终边上的位置无关.定义推广:定义推广:人教版高一数学必修人教版高一数学必修4 4第一章第一章1.2.1 1.2.1 任意角的三角函数任意角的三角函数 (共(共3535张张PPTPPT)人教版高一数学必修人教版高一数学必修4 4第一章第一章1.2.1 1.2.1 任意角的三角函数任意角的三角函数 (共(共3535张张PPTPPT)三角函数的定义域:三角函数的定义域:三角函数定义域RR人教版高一数学必修人教版高一数学必修4 4第一章第一章1.2.1 1.2.1 任意角的三角函数任意角
11、的三角函数 (共(共3535张张PPTPPT)人教版高一数学必修人教版高一数学必修4 4第一章第一章1.2.1 1.2.1 任意角的三角函数任意角的三角函数 (共(共3535张张PPTPPT)()()()()()()()()()()()()+-+-+-函数值在各象限的符号函数值在各象限的符号人教版高一数学必修人教版高一数学必修4 4第一章第一章1.2.1 1.2.1 任意角的三角函数任意角的三角函数 (共(共3535张张PPTPPT)人教版高一数学必修人教版高一数学必修4 4第一章第一章1.2.1 1.2.1 任意角的三角函数任意角的三角函数 (共(共3535张张PPTPPT)于是于是于是于是
12、,巩固巩固 提高提高练习练习练习练习 已知角已知角已知角已知角 的终边过点的终边过点的终边过点的终边过点 ,求求求求 的三个三角函数值的三个三角函数值的三个三角函数值的三个三角函数值.解:由已知可得:解:由已知可得:解:由已知可得:解:由已知可得:()()()()()()()()()()()探究:探究:三角函数定义域1.1.三角函数的定义域三角函数的定义域三角函数的定义域三角函数的定义域2.2.三角函数值在各象限的符号三角函数值在各象限的符号三角函数值在各象限的符号三角函数值在各象限的符号 例例例例3 3 求证:当且仅当下列不等式组成立时,求证:当且仅当下列不等式组成立时,求证:当且仅当下列不
13、等式组成立时,求证:当且仅当下列不等式组成立时,角角角角 为第三象限角为第三象限角为第三象限角为第三象限角.证明:证明:因为因为式式 成立成立,所以所以 角的终边可角的终边可能位于第三能位于第三 或第四象限,也可能位于或第四象限,也可能位于y 轴的轴的非正半轴上;非正半轴上;又因为又因为式式 成立,所以角成立,所以角 的终的终边可能位于第一或第三象限边可能位于第一或第三象限.因为因为式都成立,所以角式都成立,所以角 的终边只能位的终边只能位于第三象限于第三象限.于是角于是角 为第三象限角为第三象限角.反过来请同学们自己证明反过来请同学们自己证明.如果两个角的终边相同,那么这两个角的如果两个角的
14、终边相同,那么这两个角的如果两个角的终边相同,那么这两个角的如果两个角的终边相同,那么这两个角的同一三角函数值有何关系?同一三角函数值有何关系?同一三角函数值有何关系?同一三角函数值有何关系?终边相同的角的同一三角函数值相终边相同的角的同一三角函数值相等(公式一)等(公式一)其中其中 利用公式一,可以把求任意角的三角函利用公式一,可以把求任意角的三角函数值,转化为求数值,转化为求 角的角的三角函数值三角函数值.?例例例例4 4 确定下列三角函数值的符号:确定下列三角函数值的符号:确定下列三角函数值的符号:确定下列三角函数值的符号:(1 1)(2 2)(3 3)解:解:解:解:(1)因为)因为
15、是第三象限角,所以是第三象限角,所以 ;(2)因为)因为 =而而 是第一象限角,所以是第一象限角,所以 ;练习练习练习练习 确定下列三角函数值的符号确定下列三角函数值的符号确定下列三角函数值的符号确定下列三角函数值的符号 (3)因为)因为 是第四象限角,所以是第四象限角,所以 .例例5 求下列三角函数值:求下列三角函数值:(1)(2)解:解:(1)练习练习 求下列三角函数值求下列三角函数值 (2)人教版高一数学必修人教版高一数学必修4 4第一章第一章1.2.1 1.2.1 任意角的三角函数任意角的三角函数 (共(共3535张张PPTPPT)人教版高一数学必修人教版高一数学必修4 4第一章第一章
16、1.2.1 1.2.1 任意角的三角函数任意角的三角函数 (共(共3535张张PPTPPT)练习:判断下列三角函数值的符号:练习:判断下列三角函数值的符号:人教版高一数学必修人教版高一数学必修4 4第一章第一章1.2.1 1.2.1 任意角的三角函数任意角的三角函数 (共(共3535张张PPTPPT)人教版高一数学必修人教版高一数学必修4 4第一章第一章1.2.1 1.2.1 任意角的三角函数任意角的三角函数 (共(共3535张张PPTPPT)根据三角函数的定义,终边相同的角的同一三角函根据三角函数的定义,终边相同的角的同一三角函数值相等数值相等?终边相同终边相同点的坐标相同点的坐标相同同一函
17、数值相同同一函数值相同终边相同的角的同一三角函数值相等!终边相同的角的同一三角函数值相等!0 xy P(x,y)人教版高一数学必修人教版高一数学必修4 4第一章第一章1.2.1 1.2.1 任意角的三角函数任意角的三角函数 (共(共3535张张PPTPPT)人教版高一数学必修人教版高一数学必修4 4第一章第一章1.2.1 1.2.1 任意角的三角函数任意角的三角函数 (共(共3535张张PPTPPT)公式一(弧度制)公式一(弧度制)与与 终边相同的角可以表示为:终边相同的角可以表示为:(角度制)(角度制)0 xy P(x,y)人教版高一数学必修人教版高一数学必修4 4第一章第一章1.2.1 1
18、.2.1 任意角的三角函数任意角的三角函数 (共(共3535张张PPTPPT)人教版高一数学必修人教版高一数学必修4 4第一章第一章1.2.1 1.2.1 任意角的三角函数任意角的三角函数 (共(共3535张张PPTPPT)练习:求下列三角函数值:练习:求下列三角函数值:人教版高一数学必修人教版高一数学必修4 4第一章第一章1.2.1 1.2.1 任意角的三角函数任意角的三角函数 (共(共3535张张PPTPPT)人教版高一数学必修人教版高一数学必修4 4第一章第一章1.2.1 1.2.1 任意角的三角函数任意角的三角函数 (共(共3535张张PPTPPT)与单位圆有关的有向线段与单位圆有关的
19、有向线段MP、OM、AT分别称为分别称为正弦线正弦线、余弦线余弦线、正切线,统称为三角函数线。、正切线,统称为三角函数线。xyoA(1,0)的的终边终边TPM()xyoA(1,0)的的终边终边TPM()xyoA(1,0)的的终边终边TPM()()xyoA(1,0)的的终边终边TPM三角函数线三角函数线人教版高一数学必修人教版高一数学必修4 4第一章第一章1.2.1 1.2.1 任意角的三角函数任意角的三角函数 (共(共3535张张PPTPPT)人教版高一数学必修人教版高一数学必修4 4第一章第一章1.2.1 1.2.1 任意角的三角函数任意角的三角函数 (共(共3535张张PPTPPT)1.2
20、.1 任意角的三角函数任意角的三角函数(1)探究:角探究:角与与2k(k Z)的同名三角函数值大小有何关)的同名三角函数值大小有何关系?为什么系?为什么?即即:sin与与 sin(2k),cos与与 cos(2k),tan与与 tan(2k).sin(2k)=sin,cos(2k)=cos,tan(2k)=tan,其中其中k Z.公式一公式一(诱导公式一诱导公式一):提问提问:你能用文字语言怎样描述公式一吗你能用文字语言怎样描述公式一吗?有何作用有何作用?终边相同的角的同一三角函数的值相等终边相同的角的同一三角函数的值相等 作用作用:利用公式一利用公式一,可以把求任意角的三角函数值都转化为求可
21、以把求任意角的三角函数值都转化为求02(或或0360)角的三角函数值。角的三角函数值。公式一从代数的角度揭示了三角函数值的周期变化规律,公式一从代数的角度揭示了三角函数值的周期变化规律,即即“角的终边绕原点角的终边绕原点每转动一周,函数值都重复出现每转动一周,函数值都重复出现”。人教版高一数学必修人教版高一数学必修4 4第一章第一章1.2.1 1.2.1 任意角的三角函数任意角的三角函数 (共(共3535张张PPTPPT)人教版高一数学必修人教版高一数学必修4 4第一章第一章1.2.1 1.2.1 任意角的三角函数任意角的三角函数 (共(共3535张张PPTPPT)1.2.1 任意角的三角函数
22、任意角的三角函数(1)例例4 4、确定下列三角函数值的符号、确定下列三角函数值的符号:例例5 5、求下列三角函数值:、求下列三角函数值:练习练习:(见见P15练习练习5、7)人教版高一数学必修人教版高一数学必修4 4第一章第一章1.2.1 1.2.1 任意角的三角函数任意角的三角函数 (共(共3535张张PPTPPT)人教版高一数学必修人教版高一数学必修4 4第一章第一章1.2.1 1.2.1 任意角的三角函数任意角的三角函数 (共(共3535张张PPTPPT)1.2.1 任意角的三角函数任意角的三角函数(1)设任意角设任意角 顶点在原点顶点在原点O,始边与,始边与x轴非负半轴重合,终轴非负半
23、轴重合,终边与单位圆相交与点边与单位圆相交与点P(x,y),过,过P作作x轴的垂线,垂足为轴的垂线,垂足为M;过;过点点A(1,0)作单位圆的切线,它与角作单位圆的切线,它与角 的终边或其反向延长线交的终边或其反向延长线交与点与点T.()xyoA(1,0)的的终边终边TPMxyoA(1,0)的的终边终边TPM()xyoA(1,0)的的终边终边TPM()xyoA(1,0)的的终边终边TPM()xyoA(1,0)的的终边终边TPM()()xyoA(1,0)的的终边终边TPM规定:与坐标轴方向一致时为正,与坐标方向相反时为负规定:与坐标轴方向一致时为正,与坐标方向相反时为负.有向线段:规定了方向的线
24、段有向线段:规定了方向的线段.ABxyoCD有向线段有向线段AB:方向:方向AB;记作;记作有向线段有向线段BA:方向:方向BA;记作;记作有向线段有向线段CD:方向:方向CD,等,等.值为值为正正值为负值为负在在 当当 为第一或二象限角时,为第一或二象限角时,y为为正,有正,有sin=y=|MP|,而当而当 为为第三或四象限角第三或四象限角时时,y为负为负,有,有sin=y=|MP|中,中,探究:能否去掉绝对值符号,使得线段,的值与的探究:能否去掉绝对值符号,使得线段,的值与的正负是一致呢?怎样规定?正负是一致呢?怎样规定?有向线段的书写有向线段的书写:有向线段的起点字母在前,终点字母在后面
25、有向线段的起点字母在前,终点字母在后面.1.2.1 任意角的三角函数任意角的三角函数(1)有向线段:方向有向线段:方向,方向与,方向与y轴的轴的正方向一致正方向一致,其值为正,即其值为正,即|;有向线段:方向有向线段:方向,方向与,方向与y轴的轴的正方向相反正方向相反,其值为负,即其值为负,即=-|MP|;有向线段:方向有向线段:方向,方向与,方向与x轴的轴的正方向一致正方向一致,其值为正,即其值为正,即|OM|()xyoA(1,0)的的终边终边TPMxyoA(1,0)的的终边终边TPM()三角函数线定义三角函数线定义有向线段有向线段MP、OM、AT分别称为分别称为正弦线正弦线、余弦线余弦线、
26、正切线、正切线统称为三角函数线(它是三角函数值的一种几何表示法)统称为三角函数线(它是三角函数值的一种几何表示法)说明:说明:三条有向线段的位置:正弦线为三条有向线段的位置:正弦线为 的终边与单位圆的交点到的终边与单位圆的交点到x轴的垂直线段;轴的垂直线段;余弦线在余弦线在x轴上轴上;正切线在过单位圆与;正切线在过单位圆与x轴正方向的交点的切线上,三条有向线段中轴正方向的交点的切线上,三条有向线段中两条在单位圆内两条在单位圆内,一条在单位圆外一条在单位圆外。三条有向线段的方向:三条有向线段的方向:正弦线由垂足指向正弦线由垂足指向 的终边与单位圆的交点的终边与单位圆的交点;余弦线由原点指向余弦线
27、由原点指向垂足垂足;正切线由切点指向与正切线由切点指向与 的终边的交点的终边的交点。三条有向线段的正负:三条有向线段凡与三条有向线段的正负:三条有向线段凡与x轴或轴或y轴同向的为正值,与轴同向的为正值,与x轴或轴或y轴反向的轴反向的为负值。为负值。例例3、作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线、作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线.例例5、利用单位圆写出符合下列条件的角、利用单位圆写出符合下列条件的角 x 的范围的范围.例例4、若若,则比较,则比较的大小的大小.选讲选讲1下列各式为正号的是(下列各式为正号的是()A cos2-sin2 B cos2 sin2 C tan2 sec2 D sin2
28、 tan2C2 若若lg(sintan)有意义,则有意义,则 是(是()A 第一象限角第一象限角 B 第四象限角第四象限角 C 第一象限角或第四象限角第一象限角或第四象限角 D 第一或第四象限角或第一或第四象限角或x轴的正半轴轴的正半轴C3 已知已知 的终边过点的终边过点(3a-9,a+2),且且cos0,sin 0,则则a的取值范围是的取值范围是 。-2a 3例例3 若若 是是第二象限角是是第二象限角,且且|cos(/2)|=-cos(/2),问问/2是第几象限角?是第几象限角?练习练习 已知已知 是第三象限角,且是第三象限角,且sin(/2)0,则则()A cos(/2)0 C tan(/
29、2)0 D cot(/2)0B(1).单位圆定义任意角的三角函数;单位圆定义任意角的三角函数;(2).由终边上任一点求任意角的三角函数;由终边上任一点求任意角的三角函数;(3).各象限的符号情况各象限的符号情况.(4).利用诱导公式一求三角函数值利用诱导公式一求三角函数值(5)三角函数线的定义,会画任意角的三角函数线;)三角函数线的定义,会画任意角的三角函数线;(6)利用单位圆比较三角函数值的大小,求角的范围。)利用单位圆比较三角函数值的大小,求角的范围。本节主要知识:本节主要知识:小结小结:(1)(1)任意角的三角函数定任意角的三角函数定义 三角函数三角函数(正弦正弦,余弦余弦,正切正切)都是以角都是以角为自自变量量,以以单位位圆上点的坐上点的坐标或坐或坐标的比的比值为函数函数值的函数的函数.(由于角的集合与由于角的集合与实数集合之数集合之间可以建立一一可以建立一一对应关系关系,三角函数可以看成是自三角函数可以看成是自变量量为实数的函数数的函数.).)所以三角函数可以所以三角函数可以记为:定义域为定义域为R定义域为定义域为R定义域为定义域为小结小结3.公式一公式一(诱导公式诱导公式)应用应用(1)判断符号)判断符号(2)求值)求值()()()()()()()()()()()()+-+-+-小结小结三角函数在各象限内的符号三角函数在各象限内的符号
限制150内