2019中考数学试题分类汇编 知识点20 二次函数几何方面的应用.doc
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1、1知识点知识点 2020 二次函数几何方面的应用二次函数几何方面的应用1.1. (20182018 贵州遵义,贵州遵义,1717 题,题,4 4 分)分)如图,抛物线 y=x2+2x-3 与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于点 C,点 P 是抛物线对称轴上任意一点,若点 D、E、F 分别是 BC、BP、PC 的中点,连接 DE、DF,则 DE+DF 的最小值为_第 17 题图【答案答案】3 2 2【解析解析】点点 D D、E E、F F 分别是分别是 BCBC、BPBP、PCPC 的中点,所以的中点,所以 DEDE、DFDF 是是PBCPBC 的中位线,的中位线,DE=DE=1 2PC
2、PC,DF=DF=1 2PBPB,所以,所以DE+DF=DE+DF=1 2(PC+PB)(PC+PB),即求,即求 PC+PBPC+PB 的最小值,因为的最小值,因为 B B、C C 为定点,为定点,P P 为对称轴上一动点,点为对称轴上一动点,点 A A、B B 关于对称轴对称,关于对称轴对称,所以连接所以连接 ACAC,与对称轴的交点就是点,与对称轴的交点就是点 P P 的位置,的位置,PC+PBPC+PB 的最小值等于的最小值等于 ACAC 长度,由抛物线解析式可得,长度,由抛物线解析式可得,A(-3,0)A(-3,0),C(0,-3)C(0,-3),AC=AC=3 2,DE+DF=DE
3、+DF=1 2(PC+PB)=(PC+PB)=3 2 2【知识点知识点】三角形中位线,勾股定理,二次函数,最短距离问题三角形中位线,勾股定理,二次函数,最短距离问题2.2. (20182018 江苏淮安,江苏淮安,1414,3 3) 将二次函数 y=x2 -1 的图像向上平移 3 个单位长度,得到的图像所对应的函数表达式是 .【答案答案】y=x】y=x2 2+2+2【解析解析】由平移规律“左加右减” 、 “上加下减” ,可得平移后的解析式.解:. 由平移规律,直线 y=x2 -1 向上平移 3 个单位长度,则平移后直线为 y=x2 -1+32即 y=x2 +2故答案为 y=x2 +2【知识点知
4、识点】二二次函数图象与几何变换3.3. (20182018 山东省泰安市,山东省泰安市,1717,3 3)如图,在ABC中,6AC ,10BC ,3tan4C ,点D是AC边上的动点(不与点C重合) ,过D作DEBC,垂足为E,点F是BD的中点,连接EF,设CDx, DEF的面积为S,则S与x之间的函数关系式为 【答案答案】233 252Sxx 【解析解析】 ,由3tan4C 可以知道线段DE、EC的数量关系, CDx,则由勾股定理,可以将DE、EC用含x的代数式来表示,由点F是BD的中点,则1=2DEFBDESS,从而列出S与x之间关系式.解:3tan4C 设3 ,4 .DEk ECk,由勾
5、股定理得:5DCk.CDx,34,.55DEk ECk 410.5BEk点F是BD的中点 21113433=(10)22255252DEFBDES SSxxxx 故答案是:233 252Sxx 【知识点知识点】三角函数,勾股定理,三角形中线性质,二次函数.4.4.35.5.6.6.7.7.8.8.9.9.10.10.11.11.12.12.13.13.14.14.15.15.16.16.17.17.18.18.19.19.20.20.21.21.22.22.23.23.24.24.25.25.26.26.27.27.28.28.29.29.430.30.31.31.32.32.33.33.34
6、.34.35.35.36.36.37.37.38.38.39.39. 三、解答题三、解答题1.1. (20182018 湖北鄂州,湖北鄂州,2323,1212 分)分)如图,已知直线1122yx与抛物线2yaxbxc相交于A(-1,0),B(4,m)两点,抛物线2yaxbxc交y轴于点C(0,3 2) ,交x轴正半轴于D点,抛物线的顶点为M(1)求抛物线的解析式及点 M 的坐标;(2)设点P为直线AB下方的抛物线上一动点,当PAB的面积最大时,求此时PAB的面积及点P的坐标;(3)点Q为 x 轴上一动点,点N是抛物线上一点,当QMNMAD(点Q与点M对应) ,求Q点的坐标【思路分析思路分析】
7、(1)将B(4,m)一次函数的关系式即可解得点B的坐标,再将A、B、C三点的坐标代入二次函5数关系式即可求出其关系式,再将其化为顶点式就能得到点M的坐标;(2)过点P作PEx轴,交AB于点E,交x轴与点G,过点B作BFx轴于点F,则SCDE12PEAF,求出直线AB的关系式,设点P的坐标为(m,132 22mm) ,则点E的坐标为(m,1122m ) ,即可得到SCDE的函数关系式,将其化为顶点式即可求出最大值;(3)由勾股定理的逆定理可证得MAD 是等腰直角三角形,则QMN也是等腰直角三角形,从而得到点Q的坐标【解析解析】解:(1)将B(4,m)代入1122yx得, 1154222m ,B(
8、4,52) ,将A(-1,0),B(4, 52) ,C(0,32)代入2yaxbxc得051642 32abcabcc ,解得12 132abc ,抛物线的解析式为132 22yxx,1311312222112222222yxxxx,故顶点M的坐标为(1,2) ;(2)如下图(1) ,过点P作PEx轴,交AB于点E,交x轴与点G,过点B作BFx轴于点F,A(-1,0),B(4,52) ,AF4(1)5,设直线AB的关系式为ykxb,设点P的坐标为(m,132 22mm) ,则点E的坐标为(m,1122m ) ,点P为直线AB下方,PE(1122m )(132 22mm)132222mm,SCD
9、ESAPE SBPE12PEAG12PEFG 12PE(AGFG)12PEAF125(132222mm)2531254216x,当32m 时,PAB的面积最大,且最大面积为12516,当32m 时,2131333152 2222228mm ,故此时点P的坐标为(32,158) ;(3)抛物线的解析式为132 22yxx,12122yx,抛物线的对称轴为:直线x1,又A(-1,0),点D的坐标为(3,0) ,又M的坐标为(1,2) ,AD3(1)4,AD24216,AM2(13)2(13)28,DM2(31)2(20)28,AD2AM2DM2,且AMDM,MAD 是等腰直角三角形,AMD90,又
10、QMNMAD,QMN也是等腰直角三角形且QMQN,MQN90,QMN45,又AMD90,AMQQMD45,此时点D(或点A)与点N重合, (如下图(2) )此时MQx轴,故点Q的坐标为(1,0) 6【知识点知识点】二次函数关系式;顶点式;一次函数;相似三角形的性质;等腰直角三角形的性质和判定;勾股定理的逆定理;三角形面积公式2.2. (20182018 湖北黄冈,湖北黄冈,2424 题,题,1414 分)分)如图,在直角坐标系 XOY 中,菱形 OABC 的边 OA 在 x 轴正半轴上,点B,C 在第一象限,C=120,边长 OA=8.点 M 从原点 O 出发沿 x 轴正半轴以每秒 1 个单位
11、长的速度作匀速运动,点 N 从 A 出发沿边 AB-BC-CO 以每秒 2 个单位长的速度作匀速运动.过点 M 作直线 MP 垂直于 x 轴并交折线 OCB与 P,交对角线 OB 与 Q,点 M 和点 N 同时出发,分别沿各自路线运动,点 N 运动到原点 O 时,M 和 N 两点同时停止运动.(1)当 t=2 时,求线段 PQ 的长;(2)求 t 为何值时,点 P 与 N 重合;(3)设APN 的面积为 S,求 S 与 t 的函数关系式及 t 的取值范围.第 24 题图【思路分析思路分析】 (1 1)由题可知)由题可知 RtPOMRtPOM 中,中,POMPOM6060,RtQOMRtQOM
12、中,中,QOMQOM3030,当,当 t t2 2 时,时,OMOM2 2,可得,可得PMPM 和和 QMQM 的长度,进而求得的长度,进而求得 PQPQ;(;(2 2)根据点)根据点 P P 和点和点 N N 的运动速度,可知点的运动速度,可知点 P P 和点和点 N N 在边在边 BCBC 上相遇,因为上相遇,因为BC=8BC=8,用含有,用含有 t t 的代数式表示出的代数式表示出 PCPC 和和 NBNB 的长度,二者之和为的长度,二者之和为 8 8,解方程可得,解方程可得 t t 的值;(的值;(3 3)根据()根据(2 2)中的分)中的分7析,可以将运动的过程分为析,可以将运动的过
13、程分为 4 4 个阶段:个阶段:0t40t4,4t4t20 3,20 3t8t8,8 8t12t12,前,前 3 3 个阶段,边个阶段,边 PNPN 都都与与 x x 轴平行,求出轴平行,求出 PNPN 长度和点长度和点 P P 到到 x x 轴距离即可求出轴距离即可求出APNAPN 的面积,第的面积,第 4 4 个阶段,个阶段,APNAPN 的三边与坐标轴都不的三边与坐标轴都不平行,因此,由平行,因此,由APNAONCPNAPB=SSSSS菱形,其中菱形面积易求,三个三角形都有一边与,其中菱形面积易求,三个三角形都有一边与 x x 轴平行,轴平行,可以逐个求出面积,从而得到可以逐个求出面积,
14、从而得到APNAPN 的面积。的面积。【解析解析】 (1 1)菱形)菱形 OABCOABC 中,中,AOCAOC6060,所以,所以 RtPOMRtPOM 中,中,POMPOM6060,RtQOMRtQOM 中,中,QOMQOM3030,当,当t t2 2 时,时,OMOM2 2,可得,可得 PMPM2 3,QMQM2 3 3,所以,所以 PQPQ4 3 3;(2 2)当)当 t4t4 时,时,AN=PO=2OM=2tAN=PO=2OM=2t, 当当 t=4t=4 时,时,P P 到达到达 C C 点,点,N N 到达到达 B B 点,由此可推断,点点,由此可推断,点 P P、N N 在在 B
15、CBC 上相遇,上相遇,设设 t t 秒时,点秒时,点 P P 与与 N N 重合,则重合,则 PC=t-4PC=t-4,BN=2(t-4)BN=2(t-4),PC+BN=BC=8PC+BN=BC=8,即,即(t-4)+2(t-4)=8(t-4)+2(t-4)=8,t=t=20 3,即,即 t=t=20 3时,点时,点P P 与与 N N 重合;重合;(3 3)当当 0t40t4 时,时,PN=OA=8PN=OA=8,且,且 PNOAPNOA,PM=PM=3t t,11834 322APNSPN PMtt 当当 4 4tt20 3时,时,P P、N N 在边在边 BCBC 上,所以上,所以 P
16、NOAPNOA,PN=8-3(t-4)=20-3tPN=8-3(t-4)=20-3t,112034 340 36 322APNSPN PMtt当当20 3t8t8 时,时,P P、N N 相遇后还在相遇后还在 BCBC 边上运动,所以边上运动,所以 PNOAPNOA,PN=3(t-4)-8=3t-20PN=3(t-4)-8=3t-20,113204 36 340 322APNSPN PMtt当当 8 8t12t12 时,如图所示,时,如图所示,ON=24-2tON=24-2t,N N 到到 OMOM 距离为距离为12 33t,N N 到到 CPCP 距离为距离为 4 312 3338 3tt,
17、CP=t-4CP=t-4,BP=12-tBP=12-t,APNAONCPNAPB2=111=32 3812 33438 3124 3222 312 356 32SSSSStttttt 菱形综上所述,综上所述,S S 与与 t t 的函数关系式为:的函数关系式为:824 3 ,(0t4)2040 36 3 ,(4t)3 206 340 3,(t8)3312 356 3,(8t12)2ttSttt 第 24 题解图【知识点知识点】菱形,三角函数,一元一次方程,三角形面积,分段函数菱形,三角函数,一元一次方程,三角形面积,分段函数3.3. (20182018 湖南郴州,湖南郴州,2525,1010)
18、 如图,已知抛物线2yxbxc 与x轴交于 A(-1,0) ,B(3,0)两点,与y轴交于 C 点,点 P 是抛物线上在第一象限内的一个动点,且点 P 的横坐标为t.(1)求抛物线的表达式;(2)设抛物线的对称轴为l,与x轴的交点为 D,在直线l上是否存在点 M,使得四边形 CDPM 是平行四边形? 若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由;(3)如图 2,连接 BC,PB,PC,设PBC 的面积为 S,求 S 关于t的函数表达式;求 P 点到直线 BC 的距离 的最大值,并求出此时点 P 的坐标.9【解析解析】解:(1)2yxbxc 与x轴交于 A(-1,0) ,B(3,0) ,01
19、 093bc bc ,解得:23bc ,抛物线的表达式为:223yxx ;(2)抛物线的表达式为:223yxx ,抛物线的对称轴为12bxa ,C 点的坐标为(0,3) ,D 点的坐标为(1,0) ,点 P 的横坐标为t,且点 P 在抛物线223yxx 上,P 点的坐标为(t,223tt) ,设 M 点的坐标为(1,a) ,分两种情况讨论:M 点在x轴的上方,当四边形 CDPM 是平行四边形,且 C、P 和 D、M 分别是一组相对的顶点时,设平行四边形的对角线的交点为 N,根据平行四边形对角线互相平分,则 N 点的坐标可表示为(0 2t ,2323 2tt)或(1,0 2a) ,0 2t =1
20、,2323 2tt=0 2a,解得:t=2,a=6, M 点的坐标为(1,6) ;M 点在x轴的下方,当四边形 CDMP 是平行四边形,且 C、M 和 D、P 分别是一组相对的顶点时,设平行四边形的对角线的交点为 N,根据平行四边形对角线互相平分,则 N点的坐标可表示为(1 2,3 2a)或(1 2t ,223 2tt) ,1 2=1 2t ,3 2a=223 2tt,解得:t=0,a=0, M 点的坐标为(1,0) ,此时 M 点和 D点重合,且 P 点不在第一象限,C、D、M、P 四点不能形成平行四边形,故不存在;10综上,点 M 的坐标为(1,6) ;(3)B(3,0) ,C(0,3)
21、,OB=3,OC=3,设 P 点的坐标为(t,223tt) ,过点 P 分别作 PEx轴,PFy轴,垂足分别为 E、F,PE=223tt,PF=t,连结 OP,则:POCPOBBOCSSSS211133233 3222ttt 2132332ttt 223393222tttt S 关于t的函数表达式为 S=239 22tt;B(3,0) ,C(0,3) ,OB=3,OC=3,BC=3 2,设 P 点到直线 BC 的距离为h,则PBC 的面积 S=13 23 222hh=,S=239 22tt,3 2 2h=239 22tt,()2232htt=-2 2299239 23244228ttt=-+-
22、=-+,当t=3 2时,h有最大值为9 2 8,此时 P 点的坐标为(3 2,154).【知识点知识点】 二次函数,平行四边形的判定,三角形面积,二次函数的最值2626 (20182018 湖南郴州,湖南郴州,2626,1212)在矩形 ABCD 中,ADAB,点 P 是 CD 边上的任意一点(不含 C,D 两端点) ,过 点 P 作 PFBC,交对角线 BD 于点 F.(1)如图 1,将PDE 沿对角线 BD 翻折得到QDF,QF 交 AD 于点 E.求证:DEF 是等腰三角形;(2)如图 2,将PDF 绕点 D 逆时针方向旋转得到PDF,连接 PC,FB,设旋转角为a ()0180a 0)
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