一元线性回归模型课件.ppt
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1、 从从浩浩瀚瀚无无垠垠的的宇宇宙宙到到微微小小的的分分子子、原原子子,从从无无机机界界到到有有机机界界,从从自自然然到到社社会会,无无一一事事物物不不处处在在与与其其他他事事物物的的联联系系之之中中.事事物物之之间间不不仅仅存存在在着着相相互互联联系系,而而且且还还具具有有一一定定的的内内部部规规律律.第第8章章 回归分析与方差分析回归分析与方差分析例例如如,矩矩形形的的面面积积S和和矩矩形形的的两两条条边边长长a和和b有关系有关系:又如著名的欧姆定律指出又如著名的欧姆定律指出,电压电压V、电阻电阻R与电流与电流I之间有关系之间有关系:S=a.babSV=I.R让我们来看一下有联系的变量之间的
2、关系让我们来看一下有联系的变量之间的关系:以上两例的共同点在于以上两例的共同点在于,三个量中任意三个量中任意两个已知两个已知,其余一个就可以完全确定其余一个就可以完全确定.也就也就是说是说,变量之间存在着确定性的关系变量之间存在着确定性的关系,并且并且可以用数学表达式来表示这种关系可以用数学表达式来表示这种关系.然而,在大量的实际问题中,变量之然而,在大量的实际问题中,变量之间虽有某种关系,但这种关系很难找到一间虽有某种关系,但这种关系很难找到一种精确的表示方法来描述种精确的表示方法来描述.例如例如,人的身高与体重之间有一定的关系人的身高与体重之间有一定的关系,知道一个人的身高可以大致估计出他
3、的体重知道一个人的身高可以大致估计出他的体重,但并不能算出体重的精确值但并不能算出体重的精确值.其原因在于人有较大的个体差异其原因在于人有较大的个体差异,因而身高因而身高和体重的关系和体重的关系,是既密切但又不能完全确定是既密切但又不能完全确定的函数关系的函数关系.类似的变量间的关系在大自然和社会中类似的变量间的关系在大自然和社会中屡见不鲜屡见不鲜.例例如如,小小麦麦的的穗穗长长与与穗穗重重的的关关系系;某某班班学学生生最最后后一一次次考考试试分分数数与与第第一一次次考考试试分分数数的的关关系系;温温度度、降降雨雨量量与与农农作作物物产产量量间间的的关关系系;人人的的年年龄龄与与血血压压的的关
4、关系系;最最大大积积雪雪深深度度与与灌灌溉溉面面积积间间的的关系关系;家庭收入与支出的关系等等家庭收入与支出的关系等等.从从数数量量的的角角度度去去研研究究这这种种关关系系,是是数数理理统统计计的的一一个个任任务务.这这包包括括通通过过观观察察和和试试验验数数据据去去判判断断变变量量之之间间有有无无关关系系,对对其其关关系系大大小小作作出出数数量量上上的的估估计计,对对互互有有关关系系的的变量通过其一去推断和预测其它变量通过其一去推断和预测其它,等等等等.回归分析就是研究相关关系的一种重回归分析就是研究相关关系的一种重要的数理统计方法要的数理统计方法.这种大量存在的变量间既互相联系但又不是这种
5、大量存在的变量间既互相联系但又不是完全确定的关系,称为完全确定的关系,称为相关关系相关关系.回归这一术语是回归这一术语是18861886年英国生年英国生物学家高尔顿在研究遗传现象物学家高尔顿在研究遗传现象时引进的时引进的.他发现他发现:虽然高个子的先代会有高个子的后虽然高个子的先代会有高个子的后代代,但后代的增高并不与先代的增高等量但后代的增高并不与先代的增高等量.他称这一现象为他称这一现象为“向平常高度的回归向平常高度的回归”.尔后尔后,他的朋友麦尔逊等人搜集了上千个他的朋友麦尔逊等人搜集了上千个家庭成员的身高数据家庭成员的身高数据:y=0.516x+33.73(英寸英寸)分析出儿子的身高分
6、析出儿子的身高y和父亲的身高和父亲的身高x大致为大致为如下关系:如下关系:这这意意味味着着,若若父父亲亲身身高高超超过过父父亲亲平平均均身身高高6英英寸寸,那那么么其其儿儿子子的的身身高高大大约约只只超超过过儿儿子子平平均均身高身高3英寸英寸,可见有向平均值返回的趋势可见有向平均值返回的趋势.诚然诚然,如今对回归这一概念的理解并不是高如今对回归这一概念的理解并不是高尔顿的原意尔顿的原意,但这一名词却一直沿用下来但这一名词却一直沿用下来,成为统计学中最常用的概念之一成为统计学中最常用的概念之一.6英寸英寸3英寸英寸 在在回回归归分分析析中中,当当变变量量只只有有两两个个时时,称称为为一一元元回回
7、归归分分析析;当当变变量量在在两两个个以以上上时时,称称为为多多元元回回归归分分析析.变变量量间间成成线线性性关关系系,称称线线性性回回归归,变量间不具有线性关系变量间不具有线性关系,称非线性回归称非线性回归.一元回归一元回归多元回归多元回归线性线性非线性非线性 在在这这一一讲讲里里,我我们们主主要要讨讨论论的的是是一一元元线线性性回回归归.它它是是处处理理两两个个变变量量之之间间关关系系的的最最简简单单的的模模型型.它它虽虽然然比比较较简简单单,但但我我们们从从中中可可以以了了解解到到回回归归分分析析的的基基本本思思想想、方方法法和和应应用用.8.1 一元线性回归模型一元线性回归模型 为了估
8、计山上积雪融化后对下游灌为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响溉的影响,在山上建立了一个观测站在山上建立了一个观测站,测量了最大积雪深度测量了最大积雪深度x与当年灌溉面积与当年灌溉面积 y,得到连续得到连续10年的数据如下表年的数据如下表:让我们用一个例子来说明如何建立让我们用一个例子来说明如何建立一元线性回归方程一元线性回归方程.8.1.1 一元回归模型的建立一元回归模型的建立年序 最大积雪深度x(米)灌溉面积y(公顷)1 5.1 1907 2 3.5 1287 3 7.1 2693 4 6.2 2373 5 8.8 3260 6 7.8 3000 7 4.5 1947 8 5.6 2273
9、 9 8.0 3113 10 6.4 2493 为了研究这些数据中所蕴含的规律性为了研究这些数据中所蕴含的规律性,我们由我们由10对数据作出散点图对数据作出散点图.从图看到从图看到,数据点大致落在一条直线数据点大致落在一条直线附近附近,这告诉我们变量这告诉我们变量x和和y之间大致可看之间大致可看作线性关系作线性关系.yxo40003000200010002 4 6 8 10 从图中还看到从图中还看到,这些点又不完全在这些点又不完全在一条直线上一条直线上,这表明这表明x和和y的关系并没有确切的关系并没有确切到给定到给定x就可以唯一确定就可以唯一确定y的程度的程度.事实上事实上,还有许多其它因素对
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