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1、- 1 -2.32.3 幂函数幂函数【选题明细表】知识点、方法题号幂函数的定义2,4,12 幂函数的图象3,6,7,10 幂函数的性质1,5,8,9,11,12,13,14,151.下列幂函数在(-,0)上为减函数的是( C )(A)y=(B)y=x3(C)y=x2(D)y=x解析:y=,y=x3,y=x 在(-,0)上都是增函数,故选 C.2.幂函数 f(x)=(m2-4m+4)在(0,+)为减函数,则 m 的值为( C )(A)1 或 3 (B)1 (C)3 (D)2解析:因为 f(x)=(m2-4m+4)为幂函数,所以 m2-4m+4=1, 解得 m=3 或 m=1. 由 x(0,+)时
2、幂函数为减函数,则 m2-6m+8m0 (D)mn0 解析:由题图及其单调性可得 mb=( ).因为函数 f(x)=在(0,+)上单调递减,所以 b=( )c=( ), 所以 abc.故选 B.6.已知幂函数 f(x)=x的图象经过点(2,),则 f(4)的值等于 . 解析:由 f(x)=x的图象经过点(2,),得=2,所以 =- ,则 f(4)=2-1= .答案: 7.函数 y=x+2(x0)的图象恒过定点 . 解析:由 x=1,y=3 得图象过定点(1,3). 答案:(1,3)8.若幂函数 f(x)的图象过点(4,),则 f(x)的值域为 . 解析:由题意设 f(x)=xm,由点(4,)在
3、函数图象上得 4m=,解得 m=-2.所以 f(x)=x-2=,故其值域为(0,+). 答案:(0,+)9.已知(m2+m(3-m,求实数 m 的取值范围.解:设函数 y=, 函数为 R 上的单调递增函数, 得 m2+m-m+3, 即 m2+2m-30, 得(m-1)(m+3)0, 所以 m 的取值范围为 m-3,1.10.下列结论中,正确的是( C )- 3 -(A)幂函数的图象都通过点(0,0),(1,1) (B)幂函数的图象可以出现在第四象限(C)当幂指数 取 1,3, 时,幂函数 y=x是增函数 (D)当幂指数 =-1 时,幂函数 y=x在定义域上是减函数 解析:当幂指数 =-1 时,
4、幂函数 y=x-1的图象不通过原点,故选项 A 不正确;因为所有的幂函数在 区间(0,+)上都有定义,且 y=x(R), y0,所以幂函数的图象不可能出现在第四象限,故选 项 B 不正确;当 =-1 时,y=x-1在区间(-,0)和(0,+)上是减函数,但在它的定义域上不是减函 数,故选项 D 不正确.故选 C.11.幂函数 f(x)=(m2-m-1)在(0,+)上为减函数,则 m 的取值是( B )(A)m=2 (B)m=-1 (C)m=2 或 m=-1 (D)-3m1解析:因为函数 f(x)=(m2-m-1)是幂函数,所以 m2-m-1=1,解得 m=2,或 m=-1. 又 x(0,+)时
5、 f(x)为减函数, 当 m=2 时,m2+2m-3=5,幂函数为 f(x)=x5,不满足题意; 当 m=-1 时,m2+2m-3=-4,幂函数为 f(x)=x-4,满足题意. 综上,m=-1.故选 B.12.已知幂函数 f(x)=(n2+2n-2)(nZ)的图象关于 y 轴对称,且在(0,+)上是减函数,则n 的值为 . 解析:由于 f(x)为幂函数,所以 n2+2n-2=1, 解得 n=1 或 n=-3,经检验只有 n=1 适合题意. 答案:113.已知,幂函数 f(x)=(mZ)为偶函数,且在(0,+)上是增函数,则 f(2)的值为 .解析:因为幂函数 f(x)=(mZ)为偶函数,且在(0,+)上是增函数,则指数是偶数且大于 0, 因为-m2-2m+3=-(m+1)2+44, 因此指数等于 2 或 4,当指数等于 2 时,求得 m 非整数, 所以 m=-1,即 f(x)=x4. 所以 f(2)=24=16. 答案:1614.若不等式 x2-logmxx10, 所以 x1+x20,x2-x10,(x1x2)20, 所以 f(x1)-f(x2)0,即 f(x1)f(x2), 所以函数 f(x)在区间(0,+)上是减函数. (2)由(1)知函数 f(x)在区间1,3上是减函数, 所以当 x=1 时,取最大值,最大值为 f(1)=2,当 x=3 时,取最小值,最小值为 f(3)=.
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