极值和最小二乘法(精品).ppt
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1、1 极值和最小二乘法 一、极值 本节讨论二元函数的极值问题,对于多元情况可类似地讨论.若函数 在点 的某个领域内成立不等式则称 在点 取到极大值 ,点 称为函数 的极大点;类似地,若在点 的某个领域内成立不等式则称 在点 取到极小值 ,点 称为函数 的极小点.极大值与极小值统称为极值;极大点与极小点统称为极值点.从定义可见,若 在点 有一极值,则固定 后的一元函数 必在点 有极值.于是由一元函数在极值点的必要条件,可知有同理可知这就是说,对偏导数存在的函数 来说,在点 有极值的必要条件是对于可谓函数,也就是 这个条件并非充分的.例如函数 在点 此外,函数在偏导数不存在的点仍然可能有极值.例如
2、由此可见,函数的极值点必为 及 同时为零或至少有一个偏导数不存在的点.综上所述,要求函数的极值,首先要求出所有使函数的偏导数等于零或偏导数不存在的点,然后根据该点周围函数的变化情形,进一步判定是否有极值,为此我们讨论函数 的改变量 ,若 的一切二阶偏导数都连续,则由泰勒公式并注意到在极值点必须 就有由于 的一切二阶偏导数在 连续,记 那么有于是当二次形式 不为零时,注意到 时,都是无穷小量,所以存在点 的一个邻域,使得在这个邻域内,的符号与 的符号相同,而当 时,的符号便取决于 的符号了.对于二次型它的判别式为那么有以下结论1、函数有极大值.2、函数有极小值.3、函数无极值.4、需进一步判定.
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