概率统计条件概率.ppt
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1、2012年5月概率论与数理统计概率论与数理统计第一章第一章 随机事件及其概率随机事件及其概率主讲教师:李金波 第一章 二、二、乘法公式乘法公式一一、条件概率条件概率第四节第四节 条件概率条件概率三、三、全概率公式与贝叶斯公式全概率公式与贝叶斯公式 定义定义引例引例:取一副牌,随机地取一张取一副牌,随机地取一张(1)问抽中的是问抽中的是K的概率的概率(2)若已知抽中的是红桃,问抽中的是若已知抽中的是红桃,问抽中的是K的概率的概率解解 (1)一、条件概率一、条件概率B抽中的是抽中的是K(2)A抽中的是红桃抽中的是红桃B抽中的是抽中的是K定义定义 条件概率条件概率分析:分析:即求即求结论:结论:对一
2、般古典概型问题,设对一般古典概型问题,设分别表示分别表示试验试验E,事件事件AB,事件事件A所包含的基本事件数,则有:所包含的基本事件数,则有:定义:定义:(严格的数学定义严格的数学定义)设设A,B为两事件,且为两事件,且称称为事件为事件A发生条件下事件发生条件下事件B发生的发生的条件概率条件概率。条件概率的性质条件概率的性质条件概率条件概率满足概率公理化定义中的三个条件。满足概率公理化定义中的三个条件。3.(可列可加性可列可加性)设设是两两互不相容的事件是两两互不相容的事件则则证证互不相容互不相容另:另:条件概率也同时满足概率的条件概率也同时满足概率的6个性质个性质例如:例如:和事件和事件逆
3、事件逆事件 计算条件概率计算条件概率(1)在缩减样本空间中求事件概率在缩减样本空间中求事件概率(2)利用定义利用定义(公式公式)(4,1),(4,2),(4,3)(3,1),(3,2),(3,4)(2,1),(2,3),(2,4)S=(1,2),(1,3),(1,4)例例1 盒子里有盒子里有4只产品,其中只产品,其中3只一等品,一只二等品,只一等品,一只二等品,试验试验 E:依次取两只,做无放回抽样依次取两只,做无放回抽样.事件事件 A:第一次取第一次取得一等品;得一等品;事件事件 B:第二次取得一等品,求第二次取得一等品,求解解 法一(缩减样本空间)法一(缩减样本空间)间间S,将,将产品编号
4、,产品编号,1,2,3为一等品为一等品,4号为二等品号为二等品,表示第一次,第二次分别取到表示第一次,第二次分别取到 i号,号,j号。号。为了能具体写出为了能具体写出E的样本空的样本空由由引例的结论得:引例的结论得:法二(公式法)法二(公式法)由条件概率的公式由条件概率的公式例例2 设一批产品的一、二、三等品各占设一批产品的一、二、三等品各占60%,30%,10%,现从中任取一件,结果不是三等品,求取得是一等品现从中任取一件,结果不是三等品,求取得是一等品的的概率。概率。解解 则由则由已知得已知得定理定理 设设,则有则有,则有则有推广推广 三维三维n 维维其中其中其中其中二、乘法公式二、乘法公
5、式证明证明 左面左面n 维维其中其中右面右面例例3.假设某学校学生四级英语考试的及格率为假设某学校学生四级英语考试的及格率为98%,其中其中70%的学生通过六级英语考试的学生通过六级英语考试,试求从该校随机试求从该校随机的选出一名学生通过六级考试的概率。的选出一名学生通过六级考试的概率。解解 设设 A=“通过四级英语考试通过四级英语考试”B=“通过六级英语考试通过六级英语考试”由由题意题意,可知可知例例4.为了防止意外,在矿井中同时安装两种报警系统 A与B,每种系统单独使用时,其有效概率分别为A 为0.92,B 为0.93,在 A 失灵的条件下B 有效的概率为0.85,求1)B 失灵的条件下,
6、A 有效的概率2)发生意外时,A 与 B 至少有一个有效的概率解:设 A“A 系统有效”,B“B 系统有效”由题意:1)例例4.为了防止意外,在矿井中同时安装两种报警系统 A与B,每种系统单独使用时,其有效概率分别为A 为0.92,B 为0.93,在 A 失灵的条件下B 有效的概率为0.85,求1)B 失灵的条件下,A 有效的概率2)发生意外时,A 与 B 至少有一个有效的概率解:2)例例5.设一个班中设一个班中30名学生采用抓阄的办法分一张电影名学生采用抓阄的办法分一张电影票的机率是否相等?票的机率是否相等?解解 设设“第第 名学生抓到电影票名学生抓到电影票”所以抓阄决定谁去看电影是公平的。
7、所以抓阄决定谁去看电影是公平的。例例6.某人忘了电话号码的最后一个数字,因而随意拨某人忘了电话号码的最后一个数字,因而随意拨号,求他拨号不超过三次而接通所需电话的概率,若已号,求他拨号不超过三次而接通所需电话的概率,若已知知最后一个数字是奇数,那么此概率是多少?最后一个数字是奇数,那么此概率是多少?解解 设设表示第表示第i次次拨通所需电话;拨通所需电话;表示不超过三次而接通所需电话;表示不超过三次而接通所需电话;例例7.一批零件共100件,其中有10 件次品,每次从其中任取一个零件,取后不放回。试求:1)若依次抽取3 次,求第3 次才抽到合格品的概率2)如果取到一个合格品就不再取下去,求在3
8、次内取到合格品的概率“第 次抽到合格品”解解:设1)2)设“三次内取到合格品”则且互不相容例例7.一批零件共100件,其中有10 件次品,每次从其中任取一个零件,取后不放回。试求:1)若依次抽取3 次,求第3 次才抽到合格品的概率2)如果取到一个合格品就不再取下去,求在3 次内取到合格品的概率 解解:(方法二)利用对立事件“三次都取到次品”下利用条件概率求做321解解即即且且西西如图所示如图所示。有三个有三个箱子,分别编号为箱子,分别编号为1,2,3,箱内所放东箱内所放东球,求取得红球的概率球,求取得红球的概率.某人从三箱中任取一箱,从中任意摸出一某人从三箱中任取一箱,从中任意摸出一1.引例引
9、例三、全概率公式与贝叶斯三、全概率公式与贝叶斯(Bayes)公式公式由于故2.事件的划分事件的划分定义定义 设设 S 是随机试验是随机试验E 的样本空间的样本空间若:若:(互斥性)互斥性)(完备性)完备性)则称则称是是样本空间样本空间 S 的一个的一个划分划分。例如例如 设试验设试验 E 为为“掷骰子观察其点数掷骰子观察其点数”。样本空间为。样本空间为其中其中,是是 S 的一个划分。的一个划分。不是不是 S 的一个划分。的一个划分。,而而3.全概率公式全概率公式设设随机试验随机试验 E 的样本空间的样本空间 S,A 为为 E 的任意一的任意一定理定理个事件个事件,为为 S 的一个划分的一个划分
10、,,则有,则有称为称为全概率公式全概率公式。去构造这一组去构造这一组 Bi 往往可以简化计算往往可以简化计算.全概率公式的理论和实用意义在于全概率公式的理论和实用意义在于:在较复杂情况下计在较复杂情况下计算算P(A)不易不易,但但 A 总是伴随着某个总是伴随着某个Bi 出现,出现,所以适当地所以适当地例例8 假设有甲、乙两袋,甲袋中有假设有甲、乙两袋,甲袋中有3个白球个白球2个红球,乙个红球,乙袋中有袋中有2个个红球红球3个白球,今从甲中任意取一只放入乙中,个白球,今从甲中任意取一只放入乙中,再从再从乙中任取一球,问取到白球的概率为多少?乙中任取一球,问取到白球的概率为多少?解解 设设 A 表
11、示从乙中取到白球,表示从乙中取到白球,B1 表示从甲中取到白表示从甲中取到白 球,球,B2 表示从甲中取到红球表示从甲中取到红球,B1,B2 为为S的一个划分,的一个划分,由全概率公式得由全概率公式得某厂生产的仪器每台以某厂生产的仪器每台以 0.7 的概率可以出厂,的概率可以出厂,以以 0.3 的概率需要进一步调试,的概率需要进一步调试,经经调试后以调试后以 0.8 的概率的概率可以出厂,可以出厂,以以 0.2 的概率为不合格品,不能出厂。的概率为不合格品,不能出厂。求每求每台台仪器能出厂的概率。仪器能出厂的概率。例例9解解设设 B “仪器能出厂仪器能出厂”A1 “仪器需要调试仪器需要调试”A
12、2 “仪器不需要调试仪器不需要调试”引例引例从如图所示的箱子中任取一球,发现是红球,问它是取自一号箱的概率.解解 设=“球取自i 号箱”=“取得红球”运用全概率公式计算P(A)4.4.贝叶斯贝叶斯BayesBayes公式公式321运用全概率运用全概率公式计算公式计算P(A)定理定理设设随机试验随机试验 E 的样本空间为的样本空间为S,A 为为 E 的任意的任意一个事件一个事件,为为S 的一个划分的一个划分,且且则则,称此式为,称此式为贝叶斯公式贝叶斯公式。例例10.解解:分别表示他乘火车,汽车,轮船,飞机设 A=“他来迟了”由题意,则某人从外地来参加会议,他乘火车,汽车,轮船或飞机来的概率为如
13、果他乘飞机来不会迟到;而乘火车,轮船或汽车来迟的概率为试求:1)他来迟的概率2)如果他来迟了,试推断他是怎样来的?下求例例10.1)由全概率公式2)由贝叶斯公式乘火车的可能性最大已知已知“结果结果”求求“原因原因”全概率公式全概率公式寻找导致寻找导致 A 发生的每个原因的概率发生的每个原因的概率.贝叶斯公式贝叶斯公式是在观察到事件是在观察到事件 A 已发生的条件下,已发生的条件下,注:注:全概率公式全概率公式是在已知导致事件是在已知导致事件A 的每个原因发的每个原因发生的概率的条件下,求事件生的概率的条件下,求事件A 发生的概率。发生的概率。已知已知“原因原因”求求“结结果果”贝叶斯公式贝叶斯
14、公式例例11.设某设某工厂甲工厂甲,乙乙,丙丙 3 个车间生产同一种产品个车间生产同一种产品,产量产量依次占全厂的依次占全厂的45,35,20,且各车间的合格品率为且各车间的合格品率为0.96,0.98,0.95,现在从待出厂的产品中检查出现在从待出厂的产品中检查出1个次品个次品,问该产品是由哪个车间生产的可能性最大?问该产品是由哪个车间生产的可能性最大?解解分别表示该产品是由甲、乙、丙车间生产,分别表示该产品是由甲、乙、丙车间生产,设设 A 表示表示“任取一件产品为次品任取一件产品为次品”由由题意得题意得由由贝叶斯贝叶斯公式公式所以该产品是甲车间生产的可能性最大。所以该产品是甲车间生产的可能
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