数学与思维发展的关系.pptx
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1、公理化方法的作用公理化方法的作用 一门学科实现公理化的标志是:1、它有一套基本术语/原始概念;2、它有一组基本命题/原始命题/公理;3、其余的概念全由原始概念出发定义,其余命题全由公理予以推理论证。公理化方法的作用公理化方法的作用 算术、几何、微积分、泛函分析、拓扑学、集合论、群论、概率论建立了公理化体系;力学、物理学、量子力学、热力学、统计力学利用了公理化方法;哲学、伦理学等也借鉴了公理化方法(康德、黑格尔、斯宾诺莎等)。我国教育理论也开始探讨教育科学的逻辑起点。目的:提高本学科的逻辑化水平和科学化水平。公理化方法的作用公理化方法的作用 徐利治教授认为公理化经历了三个阶段:实质公理化时期形式
2、公理化时期元数学时期公理化方法的作用公理化方法的作用 实质公理化:欧几里德几何的出现,是对已有的不证自明事实的高度概括,明显依赖经验或感性直观。牛顿力学的公理化体系(即其三大定律)也呈现实质公理化特征。形式公理化:非欧几何的出现,公里的起点进一步被形式化和符号化,籍此,希尔波特把欧氏几何也改造的更加形式化(点、线、面桌子、椅子、啤酒杯)公理化方法的作用公理化方法的作用 元数学:概念成为符号;命题成了公式;推理成了公式变形;形式系统成为研究对象,数学成为更加抽象和形式化的系统。元数学与形式公理化方法对于数学的更深入研究是必要的,但对于一般人来说,实质公理化方法就已足够。公理化方法的作用公理化方法
3、的作用 算术公理:1.1属于非空集合N(1只是一个符号);2.N的每个元素a有后继数a;3.1不是任何元素的后继数;4.若a=b,则a=b;5.设MN,若1M,又若当aM时,a M,则M=N原始概念只有1,后继数集合,从集合论来的。公理化方法的作用公理化方法的作用 所有的算术概念、命题都建立在这样一个简单的基础上。这体现了高度的概括性。物质:物质是独立存在于人的意识之外的客观存在。存在:不依赖人的意志为转移的客观世界,即物质。(现代汉语词典,商务出版社,1983年第二版)。这些是在某些人文社会学科中常见的逻辑毛病。公理化方法的作用公理化方法的作用 数学的推理是严格的、符合逻辑的。例如,我们要证
4、明圆内接四边形的两对角和为180度。如果承认该命题,你就不会在企图作一个非矩形的圆内接平行四边形,也不会试图作一个非正方形的圆内接菱形。公理化方法的作用公理化方法的作用公理化方法的作用公理化方法的作用公理化方法的作用公理化方法的作用实际上我们是依照如下的方式寻根:圆内接四边形两对角互补;圆周角等于对应圆心角的一半;等腰三角形两底角相等三角形一外角等于相邻两内角之和;三角形三内角和为180度;平行公理根公理化方法的作用公理化方法的作用这种严谨与清晰的逻辑与寻根问底的精神只有哲学才能相比。逻辑的起点无外乎两个方面:概念的起点与命题的起点。概念新概念;命题新命题。数学已经作出了表率,这也是其他学科(
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