2019高中数学 第二章2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 2.3.3 平面向量的坐标运算学案4.doc
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1、12.3.22.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的正交分解及坐标表示2.3.32.3.3 平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算学习目标:1.了解平面向量的正交分解,掌握向量的坐标表示(难点)2.理解向量坐标的概念,掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则(重点)3.向量的坐标与平面内点的坐标的区别与联系(易混点)自 主 预 习探 新 知1平面向量的正交分解及坐标表示(1)平面向量的正交分解:把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解(2)平面向量的坐标表示:在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i i、j j作为基底对于平面内的一个向量a a,由
2、平面向量基本定理知,有且只有一对实数x,y,使得a axi iyj j,我们把有序数对(x,y)叫做向量a a的坐标,记作a a(x,y),其中x叫做a a在x轴上的坐标,y叫做a a在y轴上的坐标,a a(x,y)叫做向量的坐标表示显然,i i(1,0),j j(0,1),0(0,0)2平面向量的坐标运算设向量a a(x1,y1),b b(x2,y2),R R,则有:加法a ab b(x1x2,y1y2)减法a ab b(x1x2,y1y2)数乘a a(x1,y1)重要结论已知点A(x1,y1),B(x2,y2),则(x2x1,y2y1)AB基础自测1思考辨析(1)若(2,1),则点A的坐标
3、为(2,1)( )OA(2)若点A的坐标为(2,1),则以A为终点的向量的坐标为(2,1)( )(3)平面内的一个向量a a,其坐标是唯一的( )解析 (1)正确对于从原点出发的向量,其终点坐标与向量的坐标表示相同(2)错误以A为终点的向量有无数个,它们不一定全相等(3)正确由平面向量坐标的概念可知答案 (1) (2) (3)2已知向量(3,2),(5,1),则向量的坐标是( )OAOB1 2AB2A B(4,1 2)(4,1 2)C(8,1)D(8,1)A A ABOBOA(5,1)(3,2)(8,1),.1 2AB(4,1 2)3如图 2314,在平面直角坐标系中,分别取与x轴,y轴方向相
4、同的两个单位向量i i,j j作为基底,对于平面内的一个向量a a,若|a a|2,45,则向量a a的坐标为_图 2314(,) 由题意知22a a(2cos 45i,i,2sin 45j j)(i i,j j)22(,)22合 作 探 究攻 重 难平面向量的坐标表示如图 2315,在平面直角坐标系xOy中,OA4,AB3,AOx45,OAB105,a a,b b.四边形OABC为平行四边形OAAB图 2315(1)求向量a a,b b的坐标;(2)求向量的坐标;BA(3)求点B的坐标. 【导学号:84352220】解 (1)作AMx轴于点M,3则OMOAcos 4542,222AMOAsi
5、n 4542,222A(2,2),故a a(2,2)2222AOC18010575,AOy45,COy30.又OCAB3,C,(3 2,3 32),ABOC(3 2,3 32)即b b.(3 2,3 32)(2).BAAB(3 2,3 32)(3)OBOAAB(2,2)22(3 2,3 32).(2 23 2,2 23 32)规律方法 求点、向量坐标的常用方法:1求一个点的坐标:可利用已知条件,先求出该点相对应坐标原点的位置向量的坐标,该坐标就等于相应点的坐标.2求一个向量的坐标:首先求出这个向量的始点、终点坐标,再运用终点坐标减去始点坐标即得该向量的坐标.跟踪训练1已知O是坐标原点,点A在第
6、一象限,|4,xOA60,OA3(1)求向量的坐标;OA(2)若B(,1),求的坐标3BA解 (1)设点A(x,y),则x4cos 602,33y4sin 606,即A(2,6),(2,6)33OA3(2)(2,6)(,1)(,7).BA333平面向量的坐标运算4(1)已知a ab b(1,3),a ab b(5,7),则a a_,b b_.(2)已知A(2,4),B(3,1),C(3,4),且3,2,求M,N及的CMCACNCBMN坐标思路探究 (1)用加减消元法求a a,b b的坐标(2)法一:设点M,N的坐标,用向量相等的坐标表示列方程求值法二:用向量线性运算的几何意义直接计算,的坐标O
7、MON(1)(3,5) (2,2) 由a ab b(1,3),a ab b(5,7),所以 2a a(1,3)(5,7)(6,10),所以a a(3,5),2b b(1,3)(5,7)(4,4),所以b b(2,2)(2)解 法一:(待定系数法)由A(2,4),B(3,1),C(3,4),可得(2,4)(3,4)(1,8),CA(3,1)(3,4)(6,3),CB所以33(1,8)(3,24),CMCA22(6,3)(12,6)CNCB设M(x1,y1),N(x2,y2),则(x13,y14)(3,24),x10,y120;CM(x23,y24)(12,6),x29,y22,CN所以M(0,2
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