新高考数学大一轮复习第六章数列与数学归纳法6-4数列求和教师用书.pdf
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1、欢迎您阅读并下载本文档,本文档来源于互联网,如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档!1/20新高考数学大一轮复习第六章数列与数学归纳法 6-4数列求和教师用书 1等差数列的前 n 项和公式 Snna1d.2 等比数列的前 n 项和公式 Sn na1,q1,a1 anq1q1q,q1.3 一些常见数列的前 n 项和公式(1)12 3 4 n.(2)13 5 7 2n1n2.(3)24 6 8 2nn(n1)(4)1222n2.【知识拓展】数列求和的常用方法(1)公式法 等差、等比数列或可化为等差、等比数列的可直接使用公式求和(2)分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项,使其转化为几个
2、等差、等比数列,再求解(3)裂项相消法 欢迎您阅读并下载本文档,本文档来源于互联网,如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档!2/20把数列的通项拆成两项之差求和,正负相消剩下首尾若干项 常见的裂项公式;.(4)倒序相加法 把数列分别正着写和倒着写再相加,即等差数列求和公式的推导过程的推广(5)错位相减法 主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和,即等比数列求和公式的推导过程的推广(6)并项求和法 一个数列的前 n 项和中,可两两结合求解,则称之为并项求和形如an(1)nf(n)类型,可采用两项合并求解 例如,Sn 10029929829722212(10099)(
3、9897)(2 1)5 050.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)如果数列an为等比数列,且公比不等于 1,则其前 n 项和 Sn.()(2)当 n2 时,()()(3)求 Sn a 2a2 3a3nan 之和时,只要把上式等号两边同时欢迎您阅读并下载本文档,本文档来源于互联网,如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档!3/20乘以 a 即可根据错位相减法求得()(4)数列 2n1 的前 n 项和为 n2.()(5)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法,利用此法可求得sin21 sin22 sin23 sin288 sin289 44.5.()1(20
4、16潍坊模拟)设an是公差不为 0 的等差数列,a12,且 a1,a3,a6 成等比数列,则an的前 n 项和 Sn 等于()A.B.n25n3 C.D n2n 答案 A 解析 设等差数列的公差为 d,则 a12,a322d,a625d.又a1,a3,a6 成等比数列,aa1a6.即(22d)2 2(25d),整理得 2d2d0.d0,d.Snna1dn.2(教材改编)数列an中,an,若an的前 n 项和 Sn,则 n 等于()A 2 016 B 2 017 C 2 018 D 2 019 答案 B 解析 an,欢迎您阅读并下载本文档,本文档来源于互联网,如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提
5、供优质的文档!4/20Sna1 a2 an(1)1.令,得 n2 017.3数列an的通项公式为 an(1)n 1(4n3),则它的前 100项之和 S100 等于()A 200 B 200 C 400 D 400 答案 B 解析 S100(413)(423)(433)(41003)4(12)(34)(99100)4(50)200.4数列an的通项公式为 an ncos,其前 n 项和为 Sn,则 S2 017_.答案 1 008 解析 因为数列 an ncos 呈周期性变化,观察此数列规律如下:a10,a2 2,a3 0,a4 4.故 S4a1 a2 a3 a4 2.a50,a66,a7 0
6、,a88,故 a5a6a7 a82,周期 T 4.S2 017S2 016 a2 017 22 017cos 1 008.题型一 分组转化法求和 欢迎您阅读并下载本文档,本文档来源于互联网,如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档!5/20例 1 已知数列an的前 n 项和 Sn,nN*.(1)求数列an的通项公式;(2)设 bn 2an(1)nan,求数列bn的前 2n 项和 解(1)当 n1 时,a1 S1 1;当 n2 时,an Sn Sn 1n.a1 也满足an n,故数列an的通项公式为 an n.(2)由(1)知 an n,故 bn 2n(1)nn.记数列bn的前 2n 项
7、和为 T2n,则 T2n(21 2222n)(123 4 2n)记 A 212222n,B 123 4 2n,则 A 22n12,B(12)(3 4)(2n 1)2n n.故数列bn的前 2n 项和 T2n A B 22n1n2.引申探究 例 1(2)中,求数列bn的前 n 项和 Tn.解 由(1)知 bn 2n(1)nn.当 n 为偶数时,Tn(21 222n)123 4(n 1)n 2n12;当 n 为奇数时,Tn(21 222n)123 4(n 2)(n 1)n 欢迎您阅读并下载本文档,本文档来源于互联网,如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档!6/202n12n2n1.Tn
8、2n1n22,n为偶数,2n1n252,n为奇数.思维升华 分组转化法求和的常见类型(1)若 an bncn,且bn,cn为等差或等比数列,可采用分组求和法求an的前 n 项和(2)通项公式为 an 的数列,其中数列bn,cn是等比数列或等差数列,可采用分组求和法求和 提醒:某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差,从而求得原数列的和,注意在含有字母的数列中对字母的讨论 已知数列an的通项公式是 an 23n1(1)n(ln 2ln 3)(1)nnln 3,求其前 n 项和 Sn.解 Sn 2(133n1)111(1)n(ln 2ln 3)123(1)nnln 3,所以当 n
9、为偶数时,Sn 2ln 33nln 31;当 n 为奇数时,Sn 2(ln 2ln 3)(n)ln 3 3nln 3ln 21.综上所述,Sn 3nn2ln 31,n为偶数,3nn12ln 3ln 21,n为奇数.欢迎您阅读并下载本文档,本文档来源于互联网,如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档!7/20题型二 错位相减法求和 例 2(2016山东)已知数列an的前 n 项和 Sn3n28n,bn是等差数列,且 an bn bn 1.(1)求数列bn的通项公式;(2)令 cn,求数列cn的前 n 项和 Tn.解(1)由题意知,当 n2 时,an SnSn16n5,当 n1 时,a1
10、S111,满足上式,所以 an 6n5.设数列bn的公差为 d.由 a1 b1 b2,a2 b2 b3,即可解得所以 bn 3n1.(2)由(1)知,cn 3(n1)2n1,又 Tn c1 c2 cn,得 Tn 3222323(n1)2n1,2Tn 3223324(n1)2n2 两式作差,得Tn 322223242n1(n1)2n2 34122n2 3n2n2,所以 Tn 3n2n2.思维升华 错位相减法求和时的注意点(1)要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形;(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式;欢迎您阅
11、读并下载本文档,本文档来源于互联网,如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档!8/20(3)在应用错位相减法求和时,若等比数列的公比为参数,应分公比等于 1 和不等于 1 两种情况求解 设等差数列an的公差为 d,前 n 项和为 Sn,等比数列bn的公比为 q,已知 b1 a1,b2 2,q d,S10100.(1)求数列an,bn的通项公式;(2)当 d1 时,记 cn,求数列cn的前 n 项和 Tn.解(1)由题意得 10a1 45d100,a1d2 解得或 a1 9,d 29.故或 an 19,bn 929n1.(2)由 d1,知 an 2n1,bn 2n1,故 cn,于是 Tn
12、 1,12Tn .可得 12Tn 2 3,故 Tn 6.题型三 裂项相消法求和 命题点 1 形如 an 型 例 3(2015课标全国)Sn 为数列an的前 n 项和已知 an0,a2an 4Sn 3.欢迎您阅读并下载本文档,本文档来源于互联网,如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档!9/20(1)求an的通项公式;(2)设 bn,求数列bn的前 n 项和 解(1)由 a2an 4Sn3,可知 a2an 1 4Sn1 3.两式相减,得 aa2(an1 an)4an 1,即 2(an1 an)aa(an 1 an)(an1 an)由 an0,可得 an1 an2.又 a2a14a13,解
13、得 a1 1(舍去)或 a1 3.所以an是首项为 3,公差为 2 的等差数列,通项公式为 an2n 1.(2)由 an2n 1 可知 bn.设数列bn的前 n 项和为 Tn,则 Tn b1b2bn.命题点 2 形如 an型 例 4 已知函数 f(x)xa 的图象过点(4,2),令 an,nN*.记数列an的前 n 项和为 Sn,则 S2 017_.答案 1 解析 由 f(4)2,可得 4a 2,解得 a,则 f(x)12.x an,S2 017a1 a2 a3 a2 017(1)()()()欢迎您阅读并下载本文档,本文档来源于互联网,如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档!10/2
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