备战2019年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题19 利用函数模型解决实际问题.doc
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1、1专题专题 1919 利用函数模型解决实际问题利用函数模型解决实际问题【热点聚焦与扩展热点聚焦与扩展】在近几年的高考试卷中,以基本函数为背景的应用题和综合题是高考命题的新趋势注重在知识的交汇点命题,与三角函数、解三角形、不等式、导数、解析几何、概率统计、数列等相结合,综合考查函数方程思想及数学应用意识,考查转化与化归思想、分类讨论思想及数形结合思想的理解运用;考查分析与解决问题的能力、应用意识及创新能力.1、使用函数模型解决实际问题(1)题目特点:叙述中体现两个变量之间的关系(涉及的量也许有多个,但均能够用两个核心变量进行表示).以其中一个为自变量,则另一个变量可视为自变量的函数,进而搭建出函
2、数模型,再根据导数,均值不等式等工具求出最值(2)需用到的数学工具与知识点: 分段函数:当自变量的不同取值导致解析式不同时,可通过建立分段函数来体现两个变量之间的关系,在题目中若有多种情况,且不同的情况对应不同的计算方式,则通常要用分段函数进行表示. 导数:在求最值的过程中,若函数解析式不是常见的函数(二次函数,对勾函数等) ,则可利用导数分析其单调性,进而求得最值 均值不等式:在部分解析式中(可构造和为定值或积为定值)可通过均值不等式迅速的找到最值. 分式函数的值域问题:可通过分离常数对分式进行变形,并利用换元将其转化为熟悉的函数求解(3)常见的数量关系: 面积问题:可通过寻底找高进行求解,
3、例如:平行四边形面积底高 梯形面积1 2(上底下底)高 三角形面积1 2底高 商业问题:总价单价数量 利润营业额成本货物单价数量成本 利息问题:利息本金利率 本息总和本金利息本金利率本金(4)在解决实际问题时要注意变量的取值范围应与实际情况相符,例如:涉及到个数时,变量应取正整数.涉及到钱,速度等问题,变量的取值应该为正数.2、使用线性规划模型解决实际问题(1)题目特点:叙述中也有两个核心变量,但条件多为涉及两核心变量的不等关系,且所求是关于两个2核心变量的表达式,这类问题通常使用线性规划模型来解决问题(2)与函数模型的不同之处 函数模型:体现两核心变量之间的等量关系,根据一个变量的范围求另一
4、个变量的范围(或最值) 线性规划模型:体现关于两变量的不等关系,从而可列出不等式组,要解决的是含两个变量的表达式的最值.(3)解题步骤:根据题目叙述确定未知变量(通常选择两个核心变量,其余变量用这两个进行表示) ,并列出约束条件和目标函数,然后利用数形结合的方式进行解决 (4)注意事项:在实际问题中,变量的取值有可能为整数,若最优解不是整数,则可在最优解附近寻找几对整点,代入到目标函数中并比较大小3、使用三角函数模型解决实际问题(1)题目特点:题目以几何图形(主要是三角形)作为基础,条件多与边角相关(2)需要用到的数学工具与知识点: 正弦定理:设ABC;三边, ,a b c所对的角分别为, ,
5、A B C,则有sinsinsinabc ABC 余弦定理(以a和对角A为例) ,2222cosabcbcA 三角函数表达式的化简与变形 函数sinyAx的值域(3)解题技巧与注意事项: 在求边角问题时,应把所求的边或角放在合适的三角形中 在直角三角形里,已知一条边,则其它边可用该边与内角的三角函数值进行表示 在图形中要注意变量的取值范围【经典例题经典例题】例 1 【2019 届上海市松江、闵行区高三下学期(二模) 】某公司利用线上、实体店线下销售产品 ,产品 在上市天内全部售完.据统计,线上日销售量、线下日销售量(单位:件)与上市时间 天的关系满足: ,产品 每件的销售利润为(单位:元)(日
6、销售量线上日销售量线下日销售量).(1)设该公司产品 的日销售利润为,写出的函数解析式;(2)产品 上市的哪几天给该公司带来的日销售利润不低于元?3【答案】(1)(2)第 5 天至第 15 天该公司日销售利润不低于元.【解析】试题分析:(1)由题意分类讨论,分别求得销售量,然后与相应的利润相乘可得利润函数的解析式为(2)结合(1)中的利润函数分类讨论求解二次不等式可得第 5 天至第 15 天给该公司带来的日销售利润不低于元.综上可得: (2)当时,由,解得;当时,由,解得;当时,由,无解.故第 5 天至第 15 天给该公司带来的日销售利润不低于元.点睛:(1)很多实际问题中,变量间的关系不能用
7、一个关系式给出,这时就需要构建分段函数模型.(2)求函数最值常利用基本不等式法、导数法、函数的单调性等方法在求分段函数的最值时,应先求每一段上的最值,然后比较得最大值、最小值例 2.【2019 年江苏省高考冲刺预测卷一】秸秆还田是当今世界上普通重视的一项培肥地力的增产措施,在杜绝了秸秆焚烧所造成的大气污染的同时还有增肥增产作用.某农机户为了达到在收割的同时让秸秆还田,花 137600 元购买了一台新型联合收割机,每年用于收割可以收入 6 万元(已减去所用柴油费) ;该收割机每年都要定期进行维修保养,第一年由厂方免费维修保养,第二年及以后由该农机户付费维修保养,4所付费用 (元)与使用年数 的关
8、系为:(,且) ,已知第二年付费 1800 元,第五年付费 6000 元. ()试求出该农机户用于维修保养的费用(元)与使用年数的函数关系;()这台收割机使用多少年,可使平均收益最大?(收益=收入-维修保养费用-购买机械费用)【答案】 ().()14.【解析】试题分析:根据第二年付费元,第五年付费元可得关于的方程组,解出即可得到则依题意, ,当且仅当,即时取等号.所以这台收割机使用 14 年,可使年均收益最大.例 3 【2019 届广东省六校(广州二中,深圳实验,珠海一中,中山纪念,东莞中学,惠州一中)高三下第三次联考】某小店每天以每份 5 元的价格从食品厂购进若干份食品,然后以每份 10 元
9、的价格出售.如果当天卖不完,剩下的食品还可以每份 1 元的价格退回食品厂处理.()若小店一天购进 16 份,求当天的利润 (单位:元)关于当天需求量 (单位:份,)的函数解析式;5()小店记录了 100 天这种食品的日需求量(单位:份) ,整理得下表:日需求量14151617181920频数10201616151310以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.(i)小店一天购进 16 份这种食品, 表示当天的利润(单位:元) ,求 的分布列及数学期望;(ii)以小店当天利润的期望值为决策依据,你认为一天应购进食品 16 份还是 17 份?【答案】();()(i)答案见解析;(i
10、i)17 份.的大小可得选择的结论X6271806P010207元 (ii)若小店一天购进 17 份食品,表示当天的利润(单位:元),那么的分布列为Y58677685P0102016054的数学期望为元 由以上的计算结果可以看出,即购进 17 份食品时的平均利润大于购进 16 份时的平均利润所以小店应选择一天购进 17 份例 4 【2019 届江苏省无锡市高三上期末】如图,点 为某沿海城市的高速公路出入口,直线为海岸线,是以 为圆心,半径为的圆弧型小路.该市拟修建一条从 通往海岸的观光专线,其中 为上异于的一点,与平行,设.(1)证明:观光专线的总长度随 的增大而减小;(2)已知新建道路的单位
11、成本是翻新道路的单位成本的 2 倍.当 取何值时,观光专线的修建总成本最低?请说明理由.【答案】 (1)见解析;(2).7,求出,分两区间 讨论的单调性,以证明为极小值点.试题解析:(1)由题意,所以,又,所以观光专线的总长度,因为当时,所以在上单调递减,当时,当时,.所以,当时,最小.8答:当时,观光专线的修建总成本最低.【点睛】在一定条件下“成本最低” 、 “用料最省” 、 “面积最大” 、 “效率最高“等问题,在生产、生活中经常遇到,在数学上这类问题往往归结为求函数的最值问题.除了常见的求最值的方法外,还可用求导法求函数的最值,但无论采取何种方法都必须在函数的定义域内进行.例 5.如图所
12、示,甲船以每小时30 2n mile的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于1A处时,乙船位于甲船的北偏西105方向的1B处,此时两船相距20n mile 当甲船航行 20min 到达2A处时,乙船航行到甲船的北偏西 120方向的2B处,此时两船相距10 2 milen ,问乙船每小时航行多少n mile?【答案】30 2n mile.【解析】试题分析:连接12AB,先得122A A B;是等边三角形,求出12AB,在121AB B;中使用余弦定理求出12B B的长,除以航行时间得出速度试题解析:如图,连结12AB,由题意知, 22122010 2nmile,30 210
13、2nmile60A BA A.所以1222A AA B.又12218012060A A B ,9答:乙船每小时航行 30 2nmile.例 6.【2019 届江苏省南通、徐州、扬州等六市高三二模】将一铁块高温融化后制成一张厚度忽略不计、面积为 100dm2的矩形薄铁皮(如图) ,并沿虚线 l1,l2裁剪成 A,B,C 三个矩形(B,C 全等) ,用来制成一个柱体现有两种方案:方案:以1l为母线,将 A 作为圆柱的侧面展开图,并从 B,C 中各裁剪出一个圆形作为圆柱的两个底面;方案:以1l为侧棱,将 A 作为正四棱柱的侧面展开图,并从 B,C 中各裁剪出一个正方形(各边分别与1l或2l垂直)作为
14、正四棱柱的两个底面(1)设 B,C 都是正方形,且其内切圆恰为按方案制成的圆柱的底面,求底面半径;(2)设1l的长为xdm,则当x为多少时,能使按方案制成的正四棱柱的体积最大?10【答案】(1) 52 12 1r;(2) 2 10.【解析】试题分析:(1)设所得圆柱的半径为rdm,根据矩形薄铁皮的面积为 1002dm,即可求得r的值;试题解析:(1)设所得圆柱的半径为rdm,则224100rrr,解得 52 12 1r(2)设所得正四棱柱的底面边长为adm,则2 1004xaaax,即2 20.xaax,方法一:所得正四棱柱的体积3202 104 4002 10.xx Va x xx ,记函数
15、 3 02 104 4002 10.xx p x xx ,则 p x在0 2 10,上单调递增,在2 10,上单调递减.当2 10x 时, max20 10px 当2 10x , 10a 时, maxV 20 10dm311(2)当x为2 10时,能使按方案制成的正四棱柱的体积最大例 7.【2019 届江苏省南通市高三上第一次调研】如图,某小区中央广场由两部分组成,一部分是边长为80cm的正方形ABCD,另一部分是以AD为直径的半圆,其圆心为O.规划修建的3条直道AD, PB, PC将广场分割为6个区域:、为绿化区域(图中阴影部分) ,、为休闲区域,其中点P在半圆弧上, AD分别与PB, PC
16、相交于点E, F.(道路宽度忽略不计) (1)若PB经过圆心,求点P到AD的距离;(2)设POD, 0,2.试用表示EF的长度;当sin为何值时,绿化区域面积之和最大.【答案】 (1)16 5m(2)最小值为2640021 m当sin2 22时,绿化区域、的面积之和最大12半圆O的方程为22240xy 0y ,由2222 , 400 ,yx xyy 得16 5y .所以,点P到AD的距离为16 5m.(2)由题意,得40cos ,40sinP.直线PB的方程为sin28040cos1yx ,令0y ,得80cos8040sin2Ex 80cos40sin sin2 .直线PC的方程为sin28
17、040cos1yx ,令0y ,得80cos8040sin2Fx 80cos40sin sin2 .13所以2121600sin6400 sin2SS (0)2.设sin2t,则23t ,212160026400tSSt.816004tt1600 2 84 640021.当且仅当2 2t ,即sin2 22时“”成立.所以,休闲区域、的面积12SS的最小值为2640021 m.答:当sin2 22时,绿化区域、的面积之和最大.例 8.【2019 届山东省枣庄市第八中学东校区高三 1 月月考】现有一块大型的广告宣传版面,其形状是右图所示的直角梯形ABCD.某厂家因产品宣传的需要,拟投资规划出一块
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- 备战 2019 年高 数学 一轮 复习 热点 聚焦 扩展 专题 19 利用 函数 模型 解决 实际问题
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