备战2019年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题05 函数的对称性、周期性及其应用.doc
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1、1专题专题 0505 函数的对称性、周期性及其应用函数的对称性、周期性及其应用【热点聚焦与扩展热点聚焦与扩展】高考对函数性质的考查往往是综合性的,如将奇偶性、周期性、单调性及函数的零点综合考查,因此,复习过程中应注意在掌握常见函数图象和性质的基础上,注重函数性质的综合应用的演练.(一)函数的对称性1、对定义域的要求:无论是轴对称还是中心对称,均要求函数的定义域要关于对称轴(或对称中心)对称2、轴对称的等价描述:(1)f axf ax f x关于xa轴对称(当0a 时,恰好就是偶函数)(2) f axf bxf x关于2abx轴对称在已知对称轴的情况下,构造形如f axf bx的等式只需注意两点
2、,一是等式两侧f前面的符号相同,且括号内x前面的符号相反;二是, a b的取值保证2abx为所给对称轴即可。例如: f x关于1x 轴对称 2f xfx,或得到31fxfx 均可,只是在求函数值方面,一侧是 f x更为方便(3)f xa是偶函数,则f xafxa ,进而可得到: f x关于xa轴对称. 要注意偶函数是指自变量取相反数,函数值相等,所以在f xa中,x仅是括号中的一部分,偶函数只是指其中的x取相反数时,函数值相等,即f xafxa ,要与以下的命题区分:若 f x是偶函数,则f xafxa: f x是偶函数中的x占据整个括号,所以是指括号内取相反数,则函数值相等,所以有f xaf
3、xa 本结论也可通过图像变换来理解,f xa是偶函数,则f xa关于0x 轴对称,而 f x可视为f xa平移了a个单位(方向由a的符号决定) ,所以 f x关于xa对称.2、中心对称的等价描述:(1)f axf ax f x关于,0a中心对称(当0a 时,恰好就是奇函数)(2) f axf bxf x 关于,02ab 中心对称2在已知对称中心的情况下,构造形如f axf bx 的等式同样需注意两点,一是等式两侧f和x前面的符号均相反;二是, a b的取值保证2abx为所给对称中心即可。例如: f x关于1,0中心对称 2f xfx ,或得到35fxfx 均可,同样在求函数值方面,一侧是 f
4、x更为方便(3)f xa是奇函数,则f xafxa ,进而可得到: f x关于,0a中心对称。 要注意奇函数是指自变量取相反数,函数值相反,所以在f xa中,x仅是括号中的一部分,奇函数只是指其中的x取相反数时,函数值相反,即f xafxa ,要与以下的命题区分:若 f x是奇函数,则f xafxa : f x是奇函数中的x占据整个括号,所以是指括号内取相反数,则函数值相反,所以有f xafxa 本结论也可通过图像变换来理解,f xa是奇函数,则f xa关于0,0中心对称,而 f x可视为f xa平移了a个单位(方向由a的符号决定) ,所以 f x关于,0a对称。4、对称性的作用:最突出的作用
5、为“知一半而得全部” ,即一旦函数具备对称性,则只需要分析一侧的性质,便可得到整个函数的性质,主要体现在以下几点:(1)可利用对称性求得某些点的函数值(2)在作图时可作出一侧图像,再利用对称性得到另一半图像(3)极值点关于对称轴(对称中心)对称 (4)在轴对称函数中,关于对称轴对称的两个单调区间单调性相反;在中心对称函数中,关于对称中心对称的两个单调区间单调性相同(二)函数的周期性1、定义:设 f x的定义域为D,若对xD ,存在一个非零常数T,有 f xTf x,则称函数 f x是一个周期函数,称T为 f x的一个周期2、周期性的理解:可理解为间隔为T的自变量函数值相等3、若 f x是一个周
6、期函数,则 f xTf x,那么 2f xTf xTf x,即2T也是 f x的一个周期,进而可得:kT kZ也是 f x的一个周期4、最小正周期:正由第 3 条所说,kT kZ也是 f x的一个周期,所以在某些周期函数中,往往寻找周期3中最小的正数,即称为最小正周期。然而并非所有的周期函数都有最小正周期,比如常值函数 f xC5、函数周期性的判定:(1)f xaf xb:可得 f x为周期函数,其周期Tba(2) f xaf xf x 的周期2Ta分析:直接从等式入手无法得周期性,考虑等间距再构造一个等式:2f xaf xa 所以有: 2f xaf xaf xf x ,即周期2Ta注:遇到此
7、类问题,如果一个等式难以推断周期,那么可考虑等间距再列一个等式,进而通过两个等式看能否得出周期(3) 1f xaf xf x的周期2Ta分析: 1121f xaf xf xa f x(4) f xf xak(k为常数) f x的周期2Ta分析: ,2f xf xak f xaf xak,两式相减可得: 2f xaf x(5) f xf xak(k为常数) f x的周期2Ta(6)双对称出周期:若一个函数 f x存在两个对称关系,则 f x是一个周期函数,具体情况如下:(假设ba) 若 f x的图像关于,xa xb轴对称,则 f x是周期函数,周期2Tba分析: f x关于xa轴对称2fxfax
8、 f x关于xb轴对称2fxfbx22faxfbx f x的周期为222Tbaba 若 f x的图像关于 ,0 ,0ab中心对称,则 f x是周期函数,周期2Tba 若 f x的图像关于xa轴对称,且关于,0b中心对称,则 f x是周期函数,周期4Tba7、函数周期性的作用:简而言之“窥一斑而知全豹” ,只要了解一个周期的性质,则得到整个函数的性质。4(1)函数值:可利用周期性将自变量大小进行调整,进而利用已知条件求值(2)图像:只要做出一个周期的函数图象,其余部分的图像可利用周期性进行“复制+粘贴”(3)单调区间:由于间隔kT kZ的函数图象相同,所以若 f x在, a bbaT上单调增(减
9、) ,则 f x在,akT bkTkZ上单调增(减)(4)对称性:如果一个周期为T的函数 f x存在一条对称轴xa (或对称中心) ,则 f x 存在无数条对称轴,其通式为2kTxakZ 证明: f x关于xa轴对称 2f xfax 函数 f x的周期为T f xkTf x 2f xkTfax f x关于2kTxa轴对称注:其中(3) (4)在三角函数中应用广泛,可作为检验答案的方法.【经典例题经典例题】例 1【2017 山东,文 14】已知f(x)是定义在 R R 上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当 3,0x 时,( )6xf x,则f(919)= .【答案】6【解析】【名师点睛
10、】与函数奇偶性有关问题的解决方法已知函数的奇偶性,求函数值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解已知函数的奇偶性求解析式将待求区间上的自变量,转化到已知区间上,再利用奇偶性求出,或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组),从而得到f(x)的解析式已知函数的奇偶性,求函数解析式中参数的值常常利用待定系数法:利用f(x)f(x)0 得到关于待求参数的恒等式,由系数的对等性得参数的值或方程求解应用奇偶性画图象和判断单调性利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性5例 2.对于函数 yf x,部分x与y的对应关系如表:数列 nx满足: 11x ,且对于任意*nN,点1,nn
11、xx都在函数 yf x的图象上,则12201620172018xxxxx的值为_.【答案】7564【名师点睛】周期数列是周期现象的应用,周期数列问题在高考中常出现这类试题综合性强一般会融汇数列,数论,函数等知识解题,方法灵活多变,具有较高的技巧性学生应进行相关的培训,才能在应付这些试题时有比较好的把握例 3.【2019 届山西省康杰中学高三上学期第一次月考】定义在 R 上的函数 f x满足 ,4fxf xf xf x ,且1,0x 时, 125xf x ,则2log 20f=A. 1 B. 4 5C. 1 D. 4 5【答案】C【解析】 fxf x ,则0,1x时, 1,0x 1122(01)
12、55xxf xfxx 45220224log 205,即20log 20416 4f xf x2log 20 4 22111log 20log 20421615205ff 故选 C.例 4.定义在R上的函数 f x对任意xR,都有 112,214f xf xff x,则2016f等于( )A. 1 4B. 1 2C. 1 3D. 3 5【答案】D【解析】由 121f xf xf x及所求2010f可联想到周期性,所以考虑 11121411211f x f xf xf xf xf xf x f x,所以 f x是周期为 4 的周期函数,故 20164ff,而由已知可得 1234125fff,所以
13、320165f.例 5【高考题】定义在R上的函数 f x满足 2log1,012 ,0xxf xf xf xx,则2009f的值为( )A. 1 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 200952fff ,而 21001011fffffff.7【名师点睛】 (1)本题的思路依然是将无解析式的自变量通过函数性质向含解析式的自变量靠拢,而2009x 数较大,所以考虑判断函数周期性。(2)如何快速将较大自变量缩至已知范围中?可利用带余除法除以周期,观察余数。则被除数的函数值与余数的函数值相同,而商即为被除数利用周期缩了多少次达到余数。例如本题中200963345,从而 20095ff(3)本题推
14、导过程中 3f xf x 也有其用处,其含义是间隔为 3 的自变量函数值互为相反数,相比周期,它的间隔更小,所以适用于利用周期缩小自变量范围后,进行“微调”从而将自变量放置已知区间内.例 6.已知 f x是定义在R上的函数,满足 0,11f xfxf xf x,当0,1x时, 2f xxx ,则函数 f x的最小值为( )A. 1 4B. 1 4 C. 1 2 D. 1 2【答案】B例 7.已知定义域为R的函数 f x满足4fxf x ,且函数 f x在区间2,上单调递增,如果122xx,且124xx,则 12f xf x的值( )A. 可正可负 B. 恒大于 0 C. 可能为 0 D. 恒小
15、于 0【答案】D【解析】思路一:题目中给了单调区间,与自变量不等关系,所求为函数值的关系,从而想到单调性,而124xx可得214xx,因为12x ,所以142x,进而将21,4xx装入了2,中,所以由214xx可得 214f xfx,下一步需要转化14fx,由4fxf x 可得 fx关于82,0中心对称,所以有 4fxf x .代入1x 可得 114fxf x ,从而 21120f xf xf xf x 思路二:本题运用数形结合更便于求解.先从4fxf x 分析出 fx关于2,0中心对称,令2x 代入到4fxf x 可得 20f。中心对称的函数对称区间单调性相同,从而可作出草图.而12 124
16、22xxxx,即12,x x的中点位于2x 的左侧,所以1x比2x距离2x 更远,结合图象便可分析出 12f xf x恒小于 0.【名师点睛】 (1)本题是单调性与对称性的一个结合,入手点在于发现条件的自变量关系,与所求函数值关系,而连接它们大小关系的“桥梁”是函数的单调性,所以需要将自变量装入同一单调区间内。而对称性起到一个将函数值等价转化的作用,进而与所求产生联系.(2)数形结合的关键点有三个:第一个是中心对称图像的特点,不仅仅是单调性相同,而且是呈“对称”的关系,从而在图像上才能看出 12f xf x的符号;第二个是 20f,进而可知 2,0;,2 ,0xf xxf x ;第三个是12
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