数学物理方程第零章矢量分析精品文稿.ppt
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1、数学物理方程第零章矢量分析第1页,本讲稿共31页教教 学学 目目 的的v介绍理论物理中出现的数学概念;v介绍一些处理理论物理问题常用的数学方法,如付里叶变换,拉普拉斯变换,留数付里叶变换,拉普拉斯变换,留数定理,保角变换定理,保角变换等等。v介绍求线性偏微分方程解的几个主要方法,分离变量法,格林函数方法,达朗贝耳公分离变量法,格林函数方法,达朗贝耳公式式等等。第2页,本讲稿共31页考察大学物理与理论物理间的区别考察大学物理与理论物理间的区别大学物理大学物理:均匀带电圆环,求轴上离圆心 x x 处电场强度。电动力学电动力学:求圆环周围的度。利用解拉普拉斯方程数学物理方法数学物理方法p.297,p
2、.297,第第9 9题。题。第3页,本讲稿共31页 求积分需要利用电荷分布的对称性,只能计算轴上各点的电势,拉普拉斯方程求解不受这个限制。所以理论物理可以给出复杂条件下更多更精确的结果。Grad的概念,拉普拉斯方程的解法。的概念,拉普拉斯方程的解法。第4页,本讲稿共31页复复 变变 函函 数数v矢量分析复习v复变函数v付利叶变换和拉普拉斯变换第5页,本讲稿共31页矢矢 量量 分分 析析v标量场的梯度(grad)v矢量场的散度(div)v矢量场的旋度(curl)v无散场和无旋场 v正交曲线座标系以复习为主第6页,本讲稿共31页标标 量量 场场 的的 梯梯 度度1.方向导数方向导数标量标量:一个自
3、由度的变量,它只具有一个值。如:密度,电量,质量,能量,温度等。矢量矢量:两个以上的自由度的变量,一个自由度 可取 为它的值,其它的自由度确定它的方向。如:速度,电场强度,力等。一般地,具有多自由度的量可以利用矢量来表示其特性,并进行推理第7页,本讲稿共31页 场场:二维或二维以上的空间中的一个范围,在其每一点,都定义一个标量,矢量或其它什么量。对应地称为标量场,矢量场,或者什么什么场。因此,场就是空间座标的就是空间座标的函数函数。自变量可以具有几个独立分量,函数也可以有几个独立分量。因此,有标量,场矢量场等。第8页,本讲稿共31页导数是函数的增量与自变量的增量的比的极限。对于一维的情况,函数
4、对于座标的导数,是沿自变量增加的方向进行。因此这个导数只有唯一的方向,而无需特别地强度导数的方向性方向性。场是二维以上空间的函数,其自变量具有两个以上的独立分量。故在求其导数时,几个自变量的增量确定了一个矢量,这个表示增量的矢量的方向可以是任意的。函数的增量随自变量增量矢量的方向变化而变化,导致场的导数有方向性。场的导数有方向性。第9页,本讲稿共31页左边是一个平面温度场,u(x,y)为温度。在点P,不同的方向温度的陡度是不同的。因此温度沿不同方向的导数是不同的。导数的大小与方向有关导数的大小与方向有关第10页,本讲稿共31页如左图:若极限存在,则称它为u在P点,沿PP的方向导数方向导数。计算
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