矩阵分析课程学习.pptx
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1、会计学1矩阵矩阵(j zhn)分析分析PPT第一页,共134页。第三章第三章 内积空间,正规矩阵内积空间,正规矩阵(j zhn)与与H-阵阵定义:定义:设设 是实数域是实数域 上的上的 维线性空间,维线性空间,对于对于 中的任意两个向量中的任意两个向量 按照某一确定按照某一确定法则对应着一个实数,这个实数称为法则对应着一个实数,这个实数称为 与与 的内积,记为的内积,记为 ,并且要求内积满足下,并且要求内积满足下列运算条件:列运算条件:第1页/共134页第二页,共134页。这里这里 是是 中任意向量,中任意向量,为任意实为任意实数数(shsh),只有当,只有当 时时 ,我们称带,我们称带有这样
2、内积的有这样内积的 维线性空间维线性空间 为欧氏空间。为欧氏空间。例例 1 在在 中,对于中,对于规定规定容易验证容易验证 是是 上的一个内积,上的一个内积,从而从而 成为一个欧氏空间。如果规定成为一个欧氏空间。如果规定第2页/共134页第三页,共134页。容易容易(rngy)验证验证 也是也是 上上的一个内积的一个内积,这样,这样 又成为另外一个欧氏空间。又成为另外一个欧氏空间。例例 2 在在 维线性空间维线性空间 中,规定中,规定容易容易(rngy)验证这是验证这是 上的一个内积,这上的一个内积,这样样 对于这个内积成为一个欧氏空间。对于这个内积成为一个欧氏空间。例例 3 在线性空间在线性
3、空间 中,规定中,规定第3页/共134页第四页,共134页。容易验证容易验证 是是 上的一个内积,上的一个内积,这样这样 对于这个内积成为一个欧氏空对于这个内积成为一个欧氏空间。间。定义:定义:设设 是复数域是复数域 上的上的 维线性空间,维线性空间,对于对于 中的任意两个向量中的任意两个向量 按照某一确按照某一确定法则对应着一个复数,这个复数称为定法则对应着一个复数,这个复数称为 与与 的内积,记为的内积,记为 ,并且要求内积满足,并且要求内积满足下列运算下列运算(yn sun)条件:条件:第4页/共134页第五页,共134页。这里这里(zhl)是是 中任意向量,中任意向量,为任意复数为任意
4、复数,只有当,只有当 时时 ,我们称带,我们称带有这样内积的有这样内积的 维线性空间维线性空间 为酉空间。欧为酉空间。欧氏空间与酉空间通称为内积空间。氏空间与酉空间通称为内积空间。例例 1 设设 是是 维复向量空间,任取维复向量空间,任取第5页/共134页第六页,共134页。规定规定容易验证容易验证 是是 上的一个内积,从而上的一个内积,从而 成为一个酉空间。成为一个酉空间。例例 2 设设 表示闭区间表示闭区间 上的所有连上的所有连续续(linx)复值函数组成的线性空间,定义复值函数组成的线性空间,定义第6页/共134页第七页,共134页。容易验证容易验证 是是 上的一个上的一个内积,于是内积
5、,于是 便成为一个酉空间。便成为一个酉空间。例例 3 在在 维线性空间维线性空间 中,规定中,规定其中其中 表示表示 中所有元素取共轭复数后再中所有元素取共轭复数后再转置,容易验证转置,容易验证 是是 上的上的一个内积,从而一个内积,从而 连同这个内积一起成连同这个内积一起成为酉空间。为酉空间。内积空间的基本内积空间的基本(jbn)性质:性质:第7页/共134页第八页,共134页。欧氏空间欧氏空间(kngjin)的性质:的性质:第8页/共134页第九页,共134页。酉空间的性质酉空间的性质(xngzh):第9页/共134页第十页,共134页。定义:设定义:设 是是 维酉空间,维酉空间,为其一组
6、基为其一组基底底(j d),对于,对于 中的任意两个向量中的任意两个向量那么那么 与与 的内积的内积令令第10页/共134页第十一页,共134页。称称 为基底为基底 的度量矩阵,而且的度量矩阵,而且定义:设定义:设 ,用,用 表示以表示以 的元素的元素(yun s)的共轭复数为元素的共轭复数为元素(yun s)组成的矩组成的矩阵,记阵,记第11页/共134页第十二页,共134页。则称则称 为为 的复共轭转置矩阵。不难验证的复共轭转置矩阵。不难验证复共轭转置矩阵满足下列复共轭转置矩阵满足下列(xili)性质:性质:第12页/共134页第十三页,共134页。定义:设定义:设 ,如果如果(rgu),
7、那,那么称么称 为为Hermite矩阵;如果矩阵;如果(rgu),那么称那么称 为反为反Hermite矩阵。矩阵。例例 判断下列矩阵是判断下列矩阵是H-阵还是反阵还是反H-阵。阵。第13页/共134页第十四页,共134页。第14页/共134页第十五页,共134页。第15页/共134页第十六页,共134页。(5)实对称矩阵实对称矩阵(6)反实对称矩阵反实对称矩阵(7)欧氏空间的度量矩阵欧氏空间的度量矩阵(8)酉空间的度量矩阵酉空间的度量矩阵内积空间的度量内积空间的度量定义定义(dngy):设:设 为酉(欧氏)空间,为酉(欧氏)空间,向量向量 的长度定义的长度定义(dngy)为非负实数为非负实数例
8、例 在在 中求下列向量的长度中求下列向量的长度第16页/共134页第十七页,共134页。解:解:根据上面的公式可知根据上面的公式可知(k zh)一般地,我们有一般地,我们有:对于对于 中的任意向量中的任意向量其长度为其长度为第17页/共134页第十八页,共134页。这里这里 表示复数表示复数 的模。的模。定理:向量定理:向量(xingling)长度具有如下性质长度具有如下性质 当且仅当当且仅当 时,时,第18页/共134页第十九页,共134页。例例 1:在线性空间在线性空间 中,证明中,证明例例 2 设设 表示闭区间表示闭区间 上的所有上的所有(suyu)连续复值函数组成的线性空间,证明:连续
9、复值函数组成的线性空间,证明:对于任意的对于任意的 ,我们有,我们有第19页/共134页第二十页,共134页。定义:设定义:设 为欧氏空间,两个非零向量为欧氏空间,两个非零向量(xingling)的夹角定义为的夹角定义为于是有于是有定理:定理:第20页/共134页第二十一页,共134页。因此我们引入下面的概念因此我们引入下面的概念;定义:在酉空间定义:在酉空间 中,如果中,如果(rgu),则称,则称 与与 正交。正交。定义:定义:长度为长度为1的向量称为单位向量,对于任何的向量称为单位向量,对于任何一个非零的向量一个非零的向量 ,向量,向量总是单位向量,称此过程为单位化。总是单位向量,称此过程
10、为单位化。第21页/共134页第二十二页,共134页。标准正交基底与标准正交基底与Schmidt正交化方法正交化方法定义:设定义:设 为一组不含有零向量的向量组,如果为一组不含有零向量的向量组,如果(rgu)内的任意两个向量彼此正交,则称其内的任意两个向量彼此正交,则称其为正交的向量组。为正交的向量组。定义:如果定义:如果(rgu)一个正交向量组中任何一个向量一个正交向量组中任何一个向量都是单位向量,则称此向量组为标准的正交向量组。都是单位向量,则称此向量组为标准的正交向量组。例例 在在 中向量组中向量组第22页/共134页第二十三页,共134页。与向量与向量(xingling)组组都是标准正
11、交向量都是标准正交向量(xingling)组。组。第23页/共134页第二十四页,共134页。定义:在定义:在 维内积空间中,由维内积空间中,由 个正交向量个正交向量组成的基底称为正交基底;由组成的基底称为正交基底;由 个标准的正个标准的正交向量组成的基底称为标准正交基底。交向量组成的基底称为标准正交基底。注意:标准正交基底不唯一。在上面的例题中注意:标准正交基底不唯一。在上面的例题中可以发现可以发现(fxin)这一问题。这一问题。定理:向量组定理:向量组 为正交向量组的充分必要为正交向量组的充分必要条件是条件是;向量组向量组 为标准正交向量组的充分必要条为标准正交向量组的充分必要条件是件是第
12、24页/共134页第二十五页,共134页。定理:正交的向量组是一个线性无关的向量组。定理:正交的向量组是一个线性无关的向量组。反之,由一个线性无关的向量组出发可以构造一反之,由一个线性无关的向量组出发可以构造一个正交向量组,甚至是一个标准个正交向量组,甚至是一个标准(biozhn)正交正交向量组。向量组。Schmidt正交化与单位化过程正交化与单位化过程:设设 为为 维内积空间维内积空间 中中的的 个线性无关的向量,利用这个线性无关的向量,利用这 个向量完全个向量完全可以构造一个标准可以构造一个标准(biozhn)正交向量组。正交向量组。第25页/共134页第二十六页,共134页。第一步第一步
13、 正交化正交化容易容易(rngy)验证验证 是一个正交向是一个正交向量组。量组。第26页/共134页第二十七页,共134页。第二步第二步 单位单位(dnwi)化化显然显然 是一个标准的正交向量是一个标准的正交向量组。组。例例 1 运用正交化与单位运用正交化与单位(dnwi)化过程将向化过程将向量组量组化为标准正交向量组。化为标准正交向量组。解:先正交化解:先正交化 第27页/共134页第二十八页,共134页。再单位再单位(dnwi)化化 第28页/共134页第二十九页,共134页。那么那么 即为所求的标准正交向量即为所求的标准正交向量(xingling)组。组。例例 2 求下面齐次线性方程组求
14、下面齐次线性方程组第29页/共134页第三十页,共134页。其解空间的一个标准正交基底。其解空间的一个标准正交基底。解:解:先求出其一个基础先求出其一个基础(jch)解系解系下面对下面对 进行正交化与单位化:进行正交化与单位化:第30页/共134页第三十一页,共134页。即为其解空间的一个标准即为其解空间的一个标准(biozhn)正交基底。正交基底。第31页/共134页第三十二页,共134页。酉变换与正交变换酉变换与正交变换定义:设定义:设 为一个为一个 阶复矩阵,如果其满足阶复矩阵,如果其满足(mnz)则称则称 是酉矩阵,一般记为是酉矩阵,一般记为 设设 为一个为一个 阶实矩阵,如果其满阶实
15、矩阵,如果其满足足(mnz)则称则称 是正交矩阵,一般记为是正交矩阵,一般记为 第32页/共134页第三十三页,共134页。例:例:是一个是一个(y)正正交矩阵交矩阵第33页/共134页第三十四页,共134页。是一个是一个(y)正交矩阵正交矩阵是一个是一个(y)正交矩阵正交矩阵第34页/共134页第三十五页,共134页。(5)设)设 且且 ,如果,如果 则则 是一个是一个(y)酉矩阵。通常称为酉矩阵。通常称为Householder矩阵。矩阵。是一个是一个(y)酉矩阵酉矩阵第35页/共134页第三十六页,共134页。酉矩阵酉矩阵(j zhn)与正交矩阵与正交矩阵(j zhn)的性质:的性质:设设
16、 ,那么,那么设设 ,那么,那么第36页/共134页第三十七页,共134页。定理:定理:设设 ,是一个酉矩阵的充分是一个酉矩阵的充分必要条件为必要条件为 的的 个列(或行)向量组是标个列(或行)向量组是标准正交向量组。准正交向量组。定义:定义:设设 是一个是一个 维酉空间,维酉空间,是是 的的一个线性变换,如果一个线性变换,如果(rgu)对任意的对任意的 都有都有第37页/共134页第三十八页,共134页。则称则称 是是 的一个的一个(y)酉变换。酉变换。定理:设定理:设 是一个是一个(y)维酉空间,维酉空间,是是 的一个的一个(y)线性变换,那么下列陈述等价:线性变换,那么下列陈述等价:(1
17、)是酉变换;是酉变换;(3)将)将 的标准正交基底变成标准正交基底;的标准正交基底变成标准正交基底;(4)酉变换在标准正交基下的矩阵表示为酉矩)酉变换在标准正交基下的矩阵表示为酉矩阵。阵。注意:关于正交变换也有类似的刻划。注意:关于正交变换也有类似的刻划。第38页/共134页第三十九页,共134页。幂等矩阵幂等矩阵定义:设定义:设 ,如果,如果 满足满足(mnz)则称则称 是一个幂等矩阵。是一个幂等矩阵。例例是一个分块幂等矩阵。是一个分块幂等矩阵。第39页/共134页第四十页,共134页。幂等矩阵的一些性质:设幂等矩阵的一些性质:设 是幂等矩阵,那么有是幂等矩阵,那么有(1)都是幂等都是幂等矩
18、阵;矩阵;(2)(3)(4)的充分的充分(chngfn)必要条件是必要条件是(5)第40页/共134页第四十一页,共134页。定理:设定理:设 是一个是一个(y)秩为秩为 的的 阶矩阵,阶矩阵,那么那么 为一个为一个(y)幂等矩阵的充分必要条件幂等矩阵的充分必要条件是存在是存在 使得使得推论:设推论:设 是一个是一个(y)阶幂等矩阵,则有阶幂等矩阵,则有定义:设定义:设 为一个为一个(y)维维标准正交列向量组,那么称标准正交列向量组,那么称 型矩阵型矩阵 第41页/共134页第四十二页,共134页。为一个次酉矩阵。一般地将其记为为一个次酉矩阵。一般地将其记为定理:定理:设设 为一个为一个 阶矩
19、阵,则阶矩阵,则 的充分必要条件是存在一个的充分必要条件是存在一个 型次酉矩阵型次酉矩阵 使得使得(sh de)其中其中 。第42页/共134页第四十三页,共134页。引理:引理:的充分的充分(chngfn)必要条必要条件是件是证明:设证明:设 ,那么,那么第43页/共134页第四十四页,共134页。必要性:如果必要性:如果 为一个为一个 维维标准正交列向量标准正交列向量(xingling)组,那么组,那么第44页/共134页第四十五页,共134页。第45页/共134页第四十六页,共134页。充分性:设充分性:设 ,那么那么(n me)由由 ,可得,可得第46页/共134页第四十七页,共134
20、页。第47页/共134页第四十八页,共134页。即这表明 是一个 维标准(biozhn)正交列向量组。定理的证明:必要性:因 ,故 有 个线性无关的列向量,将这 个列向量用Schmidt方法得出 个两两正交的单位向量,以这 个向量为列构成一个 型次酉矩阵第48页/共134页第四十九页,共134页。注意到 的 个列向量(xingling)都可以由 的 个列向量(xingling)线性表出。即如果那么可得第49页/共134页第五十页,共134页。第50页/共134页第五十一页,共134页。其中(qzhng),由于向量(xingling)组 的秩为 ,所以 的秩为 。第51页/共134页第五十二页,
21、共134页。下面证明 。由 可得 ,即注意(zh y)到 ,所以即因为 ,所以 ,这样(zhyng)得到于是第52页/共134页第五十三页,共134页。充分性:若 ,则Schur引理与正规矩阵引理与正规矩阵定义:设定义:设 ,若存在,若存在 ,使得,使得则称则称 酉相似酉相似(或正交相似或正交相似)于于 定理定理(dngl)(Schur引理引理):任何一个:任何一个 阶复矩阵阶复矩阵 酉酉相似于一个上相似于一个上(下下)三角矩阵。三角矩阵。第53页/共134页第五十四页,共134页。证明:用数学归纳法。证明:用数学归纳法。的阶数为的阶数为1时定理显然成立。时定理显然成立。现设现设 的阶数为的阶
22、数为 时定理成立,考虑时定理成立,考虑 的阶数为的阶数为 时的情况。时的情况。取取 阶矩阵阶矩阵 的一个特征值的一个特征值 ,对应,对应(duyng)的单位特征向量为的单位特征向量为 ,构造以,构造以 为第一为第一列的列的 阶酉矩阵阶酉矩阵 ,因为 构成(guchng)的一个标准正交基,故第54页/共134页第五十五页,共134页。,因此(ync)其中 是 阶矩阵,根据(gnj)归纳假设,存在 阶酉矩阵 满足(上三角(snjio)矩阵)第55页/共134页第五十六页,共134页。令那么(n me)第56页/共134页第五十七页,共134页。注意注意:等号右端的三角矩阵主对角线上的元等号右端的三
23、角矩阵主对角线上的元素为矩阵素为矩阵 的全部特征值的全部特征值.定理定理(dngl)(Schur不等式不等式):设设 为矩阵为矩阵 的特征值的特征值,那么那么例例:已知矩阵已知矩阵 第57页/共134页第五十八页,共134页。试求酉矩阵试求酉矩阵 使得使得(sh de)为上为上三角矩阵三角矩阵.解解:首先求矩阵首先求矩阵 的特征值的特征值第58页/共134页第五十九页,共134页。所以所以(suy)为矩阵为矩阵 的三重特征值的三重特征值.当当 时时,有单位特征向量有单位特征向量再解与其内积为零的方程再解与其内积为零的方程求得一个单位解向量求得一个单位解向量第59页/共134页第六十页,共134
24、页。再解与再解与 内积为零的方程组内积为零的方程组求得一个求得一个(y)单位解向量单位解向量取取第60页/共134页第六十一页,共134页。计算计算(j sun)可得可得第61页/共134页第六十二页,共134页。令令第62页/共134页第六十三页,共134页。再求矩阵再求矩阵 的特征值的特征值所以所以 为矩阵为矩阵 的二重的二重(r zhn)特特征值征值.当当 时时,有单位特征向量有单位特征向量第63页/共134页第六十四页,共134页。再解与其内积为零的方程再解与其内积为零的方程求得一个求得一个(y)单位解向量单位解向量第64页/共134页第六十五页,共134页。取取计算计算(j sun)
25、可得可得第65页/共134页第六十六页,共134页。令令于是于是(ysh)有有第66页/共134页第六十七页,共134页。则则第67页/共134页第六十八页,共134页。矩阵矩阵 即为所求的酉矩阵即为所求的酉矩阵.正规矩阵正规矩阵定义定义(dngy):设设 ,如果如果 满足满足第68页/共134页第六十九页,共134页。那么那么(n me)称矩阵称矩阵 为一个正规矩阵为一个正规矩阵.设设 ,如果如果 同样满足同样满足那么那么(n me)称矩阵称矩阵 为一个实正规矩阵为一个实正规矩阵.例例:(1)为实正规矩阵为实正规矩阵 第69页/共134页第七十页,共134页。(2)其中其中(qzhng)是不
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