传递过程原理作业题解(1 7章).pdf
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1、第二章1.对于在r平面内的不可压缩流体的流动,r 方向的速度分量为ur Acos/r2。试确定速度的分量。解:柱坐标系的连续性方程为1(rur)1(u)(uz)0r rr z对于不可压缩流体在r平面的二维流动,常数,uz 0,1 1 u(rur)0r rr uzz 0,故有即rrr2r2将上式积分,可得AcosAsind f(r)u 22rr式中,f(r)为积分常数,在已知条件下,任意一个f(r)都能满足连续性方程。令u(rur)(rAcos)Acosf(r)0,可得到u的最简单的表达式:uAsinr22对于下述各种运动情况,试采用适当坐标系的一般化连续性方程描述,并结合下述具体条件将一般化连
2、续性方程加以简化,指出简化过程的依据。(1)在矩形截面管道内,可压缩流体作稳态一维流动;(2)在平板壁面上不可压缩流体作稳态二维流动;(3)在平板壁面上可压缩流体作稳态二维流动;(4)不可压缩流体在圆管中作轴对称的轴向稳态流动;(5)不可压缩流体作球心对称的径向稳态流动。u u 0解:(1)在矩形截面管道内,可压缩流体作稳态一维流动uxuy yuz ux uy uz 0 xyzxyz稳态:0,一维流动:ux 0,uy0uz(uz)uz 0,即 0zzz(2)在平板壁面上不可压缩流体作稳态二维流动(ux)x(uy)y(uz)z 01/24稳态:0,二维流动:uz0(ux)x(uy)y 0,又 c
3、onst,从而uxuy0 xy(3)在平板壁面上可压缩流体作稳态二维流动在此情况下,(2)中 const(ux)x(uy)y 0(4)不可压缩流体在圆管中作轴对称的轴向稳态流动1 1 ruruuz 0r rr z稳态:0,轴向流动:ur0,轴对称:0uzu 0,z 0(不可压缩 const)zz(5)不可压缩流体作球心对称的径向稳态流动1 112(r2ur)(usin)(u)0r rrsinrsin 0,沿球心对称 0,0,不可压缩 const稳态1 2d2(r u)0(r ur)0,即rr2rdr3某粘性流体的速度场为u u=5x yi i 3xyzj j 8xz k k2已知流体的动力粘度
4、 0.144 Pa s,在点(2,4,6)处的法向应力yy 100N/m,22试求该点处的压力和其它法向应力和剪应力。解:由题设ux5x2y,uy3xyz,uz 8xz2u u 10 xy 3xz 16xz2/24uxx10 xy,uyy 3xz,uz 16xzz因yy p2uyuy2uxuyuz()y3xyz2uxuy故p yy 2u(z)y3xyz23在点(2,4,6)处,有p (100)20.144(36)所以xx p20.144236 67N/m2ux2uxuyuz()x3xyz2 67 20.144800.1442363 66.6N/m2uz2uxuyuzzz p2()z3xyz 3
5、4.4N/m2uxuyxyyx()yx 0.14452234(6)7.5N/m2yzzy(uzuy)yz 0.144324 3.5N/m2zxxz(uxuz)zx2 0.144(836)41.5N/m4.某不可压缩流体在一无限长的正方形截面的水平管道中作稳态层流流动,此正方形截面的边界分别为x a和y a,有人推荐使用下式描述管道中的速度分布uz x2y21()1()4zaaap2试问上述速度分布是否正确,即能否满足相关的微分方程和边界条件。3/24解:在壁面处,即x a和y a时,uz 0,故满足壁面不滑脱条件;在管道中心,x y 0时,可得a2puz umax(1)4z将所给速度分布式代入
6、不可压缩流体连续性方程(2-20),因uxuy0可得uz 0z将不可压缩流体的运动方程(2-45c)化简,可得2uz2uzp(22)(2)zxy将所给速度分布式分别对x 和 y 求偏导数,得uza2py2x 1()2(2)x4zaa2uz1 py21()(3)22zax2uz1 px21()(4)22zay将式(3)和(4)代入式(2)可知,仅当x给速度分布式不能完全满足运动方程。5某一流场的速度向量可以下式表述u u(x,y)5xi i 5yj j试写出该流场随体加速度向量解:2 y2 2a2时才满足运动方程。因此所Du uD的表达式。DuyDu uDuxi i j jDDD(uuuuuxu
7、uuuxxuyxuzx)i i(yuxyuyyuzy)j jxyzxyz 25xi i(-5y)(5)j j 25xi i 25yj j4/24第三章1.如本题附图所示,两平行的水平平板间有两层互不相溶的不可压缩流体,这两层流体的密度、动力粘度和厚度分别为1、1、h1和为2、2、h2,设两板静止,流体在常压力梯度作用下发生层流运动,试求流体的速度分布。解:将直角坐标下的连续性方程和运动方程化简,可得d2ux1 pdy2x积分得upx1 2xy2C1y C2因此,两层流体的速度分布可分别表示为upx11 2xy2C1yC21u1px22xy2 D1y D22由下列边界条件确定积分常数:(1)y
8、h1,ux10;(2)y h2,ux20;(3)y 0,ux1ux2;(4)y 0,dux1x21dydu2dy将以上 4 个边界条件代入式(1)与(2),得1 p2xh21C1h1C20;11p2xh22 D1h2 D20;2C2 D2;1C12C21h22解得Chp212h11121x11h22h15/241)2)(1h221h12ph12p2h12C2 D2h21x21x1122h12h1212hp1h2D1 222x12h11h22h12122h2ph2p1h22 C2D2 2h122x22x11h2最后得速度分布方程为1h221h12py22h12y21(1)ux1 1h221xh1
9、h112h1ux22h1212h21h22ypy2 21(1)h22xh2121h21h22.粘性流体沿垂直圆柱体的外表面以稳态的层流液膜向下流动,如本题附图所示。试求该流动的速度分布。该液体的密度和粘度分别为和。由柱坐标系连续性方程解:由题给条件,有 0,uru0,Xz g1(rur)1(u)(uz)0r rr z简化得 0z由柱坐标系 N-S 方程uz(uruzuuzuuzz)rr z1 uzp1 2uz2uzg(r)222zr rrrz简化得g 1 uz(r)0r rr6/24由于uzz 0,uz 0(轴对称),故uzuz(r),即1 dduz(r)0r drdrg2r C1lnr C2
10、(1)积分得uz 4g 边界条件为(1)(2)r r0,uz0duz 0drr R,将边界条件代入式(1),得C1g2R2g r02C2(Rlnr0)22故速度分布为uzg2r122R ln(r0r)2r023.半径为 r0的无限长圆柱体以恒定角速度在无限流体中绕自身轴作旋转运动。设流体不可压缩,试从一般柱坐标系的运动方程出发,导出本流动问题的运动方程,并求速度分布与压力分布的表达式。解:柱坐标系的运动方程为ururuuru2uuruzrr 方向:rr rz1 1 2ur2 u2ur Xr(rur)222(2-47a)2rrzrrr r1 p方向:uuu uu uuurruzrr rz221
11、1 u2 ur u X(ru)222(2-47b)2r rzrrr r1 1 pz 方向:uzuu uuurzzuzzrr z1 uz1 2uz2uz Xz(r)22(2-47c)2zr rrrz1 p由于该流动具有稳态、对称及一维特性,故有7/24 0,uruz0z利用上述特点,运动方程(2-47)简化为u2prr2u1 uu2 02rr rr由于流动为一维,上式可写成常微分方程2udp(1)drrd2u1 duu20(2)2drr drr式(2)的通解为u利用边界条件可得C1rC2r1r r0,ur0r,u0C10,C2 r02r02因此ur如果令 r022r则u压力分布为由2p 22C8
12、rr,p p0可得C p021因此p p0228r4.试求与速度势 2x 5xy 3y 4相对应的流函数,并求流场中点(2,5)的压力梯度(忽略质量力)。8/24解:(1)流函数 2x 5xy 3y 4uxx 25y 52y 2y uyg y2 g(x)y52 35x x gxx23x C5y25x23x C 2y 22(2)流场中点(2,5)的压力梯度忽略质量力,平面稳态流动的Euler 方程为uxuxxuyuxy 1 pxux写成向量形式为uyxuyuyy 1 pyp (uxuxx uyuxy)i i+(uxuyxuyuyy)j j(35x)(5)i i(2 5y)(5)j j 5(35x
13、)i i (2 5y)j j点(2,5)的压力梯度为p(2,5)(65i i 115 j j)5.粘性流体在两块无限大平板之间作稳态层流流动,上板移动速度为 U1,下板移动速度为 U2,设两板距离为 2h,试求流体速度分布式。提示:在建立坐标系时,将坐标原点取在两平行板的中心。解:流体作稳态流动,速度与时间无关。建立坐标系时,将坐标原点取在两平行板的中心,并设两板距离为 2h。运动方程可化简为d2ux1 px 方向0 (1)2xdyy 方向0 g 将式(2)对 y 积分得p gy f(x)(3)1 p(2)y9/24将式(3)对 x 求偏导数,得pdf(x)xdx由上式可知,p 对 x 的偏导
14、数与 y 无关。x 方向的运动方程(1)可改为d2ux1 p(4)dy2x容易看出,上式右边仅与x 有关,左边仅与 y 有关。因此上式两边应等于同一个常数,即d2ux1 p const2dyx积分上式得1 p y2uxC1yC2(5)x 2边界条件为(1)y h,uxU1;(2)y h,uxU2将边界条件代入式(5)得C1U1U2U U21 p2h,C212h22x于是速度分布式为U U2yU1U2h2pyux1()21()2xh2h2第四章第四章1.某粘性流体以速度u0稳态流过平板壁面形成层流边界层,在边界层内流体的剪应力不随y方向变化。(1)试从适当边界条件出发,确定边界层内速度分布的表达
15、式uxux(y);(2)试从卡门边界层积分动量方程dx0dux(u0ux)dy duxdyy0出发,确定x的表达式。解:(1)由于边界层内duxdy不随 y 变化,duxdy为常数,速度分布为直线。设ux a by。边界条件为10/24(1)y 0,ux 0;(2)y,ux u0由此可得边界层内速度分布为uxu0y(2)将边界层积分动量方程写成dx则dux0u0ux(1uxu0ux)dyuysu0ddxsu120dxd0u0(1uxyu0)dy(1)d01 d6dxsu20su0y0y()y0yu0故有1d6 dxu06u0即ddx边界条件为x 0,0,积分上式得 3.464xu0-1/2 3
16、.464xRex2.不可压缩流体稳态流过平板壁面形成层流边界层,在边界层内速度分布为uxu03y1y3()()221/2式中,为边界层厚度,4.64xRex。试求边界层内 y 方向速度分布的表达式uy。解:ux3u0 x1/2y24.64u0u0 x3/2y324.64u03二维稳态层流的连续性方程为uxxuyy 0(1)11/24ux3u0 x1y3u0 x1y33u0yy3 ()(2)x4434x将式(2)代入式(1)积分,得u3 u01 y21 y4()()uy xdy x4x241.74u02Re1/xy1 y()2()423.20的水以0.1m/s的流速流过一长为 3m、宽为 1m
17、的平板壁面。试求(1)距平板前缘 0.1m 位置处沿法向距壁面 2mm 点的流速ux、uy;(2)局部曳力系数CDx及平均曳力系数CD;(3)流体对平板壁面施加的总曳力。设Rex 510。c5已知水的动力粘度为100.5105Pas,密度为 998.2 kg/m3。解:距平板前缘0.1m处的雷诺数为:Rexu0 x0.10.1998.2 9932.3 21055100.510流动在层流边界层范围之内。(1)求y方向上距壁面 2mm 处的ux,uy已知x 0.1m,y 0.002m,由式(4-15)得 yu0 x 0.0020.1998.2100.5100.151.993查表 4-1,当1.99
18、3时f=0.6457,f=0.625,f=0.260由式(4-25)得uxu0f 0.10.625 0.0625m/s由式(4-26)得uy1u0(f f)2x120.1(100.5105/998.2)0.14(1.9930.6250.6457)3.0110 m/s(2)局部曳力系数CDx及平均曳力系数CD1 2CDx 0.664Rex 0.664(9932.3)1/2 0.0066612/24CD 2CDx 0.01332(3)流体对平板壁面施加的总曳力Fd CD2u02A 0.0133998.20.12213 0.199 N4.某粘性流体以速度u0稳态流过平板壁面时形成层流边界层,已知在边
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- 传递过程原理作业题解1 7章 传递 过程 原理 作业 题解
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