备战2019年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题58 巧选数学模型解排列组合问题.doc
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1、1专题专题 5858 巧选数学模型解排列组合问题巧选数学模型解排列组合问题【热点聚焦与扩展热点聚焦与扩展】纵观近几年的高考试题,排列组合问题往往以实际问题为背景,考查排列数、组合数、分类分步计数原理,同时考查分类讨论的思想及解决问题的能力除了以选择、填空的形式考查,也往往在解答题中与古典概型概率计算相结合进行考查有一些问题如果直接从题目入手,处理起来比较繁琐.但若找到解决问题的合适模型,或将问题进行等价的转化.便可巧妙的解决问题.本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上,举例说明.(一)处理排列组合问题的常用思路:1、特殊优先:对于题目中有特殊要求的元素,在考虑步骤时优先安排,然后再去
2、处理无要求的元素.例如:用0,1,2,3,4组成无重复数字的五位数,共有多少种排法?2、寻找对立事件:如果一件事从正面入手,考虑的情况较多,则可以考虑该事的对立面,再用全部可能的总数减去对立面的个数即可.3、先取再排(先分组再排列):排列数m nA是指从n个元素中取出m个元素,再将这m个元素进行排列.但有时会出现所需排列的元素并非前一步选出的元素,所以此时就要将过程拆分成两个阶段,可先将所需元素取出,然后再进行排列.(二)排列组合的常见模型1、捆绑法(整体法):当题目中有“相邻元素”时,则可将相邻元素视为一个整体,与其他元素进行排列,然后再考虑相邻元素之间的顺序即可.2、插空法:当题目中有“不
3、相邻元素”时,则可考虑用剩余元素“搭台” ,不相邻元素进行“插空” ,然后再进行各自的排序注:(1)要注意在插空的过程中是否可以插在两边(2)要从题目中判断是否需要各自排序3、错位排列:排列好的n个元素,经过一次再排序后,每个元素都不在原先的位置上,则称为这n个元素的一个错位排列.例如对于, , ,a b c d,则, , ,d c a b是其中一个错位排列.3 个元素的错位排列有 2 种,4 个元素的错位排列有 9 种,5 个元素的错位排列有 44 种.以上三种情况可作为结论记住4、依次插空:如果在n个元素的排列中有m个元素保持相对位置不变,则可以考虑先将这m个元素排好位置,再将nm个元素一
4、个个插入到队伍当中(注意每插入一个元素,下一个元素可选择的空1)5、不同元素分组:将n个不同元素放入m个不同的盒中26、相同元素分组:将n个相同元素放入m个不同的盒内,且每盒不空,则不同的方法共有1 1m nC 种.解决此类问题常用的方法是“挡板法” ,因为元素相同,所以只需考虑每个盒子里所含元素个数,则可将这n个元素排成一列,共有1n 个空,使用1m 个“挡板”进入空档处,则可将这n个元素划分为m个区域,刚好对应那m个盒子. 7、涂色问题:涂色的规则是“相邻区域涂不同的颜色” ,在处理涂色问题时,可按照选择颜色的总数进行分类讨论,每减少一种颜色的使用,便意味着多出一对不相邻的区域涂相同的颜色
5、(还要注意两两不相邻的情况) ,先列举出所有不相邻区域搭配的可能,再进行涂色即可.【经典例题经典例题】例 1.【2019 届湖北省黄冈中学 5 月三模】对 33000 分解质因数得,则的正偶数因数的个数是( )A. 48 B. 72 C. 64 D. 96【答案】A由分步计数乘法原理可得的因数共有,不含 的共有,正偶数因数的个数有个,即的正偶数因数的个数是,故选 A.例 2.【2019 届贵州省凯里市第一中学四模】集合,从集合中各取一个数,能组成( )个没有重复数字的两位数?A. 52 B. 58 C. 64 D. 70【答案】B【解析】分析:分别从集合 A,B 取一个数字,再全排列,根据分步
6、计数原理即可得到答案详解:3故选:B例 3.【2019 届四川省 “联测促改” 】中国古代十进制的算筹计数法,在世界数学史上是一个伟大的创造,算筹实际上是一根根同样长短的小木棍,如图,算筹表示数 19 的方法的一种.例如:163 可表示为“”27 可表示为“”问现有 8 根算筹可以表示三位数的个数(算筹不能剩余)为( )A. 48 B. 60 C. 96 D. 120【答案】C对于2,2,4,组合出的可能的算筹为: 2,2,4 , 6,6,4 , 2,2,8 , 6,6,8 , 2,6,4 , 2,6,8共 6 种,可以组成的三位数的个数为: 3!2 3! 42 种,同理2,3,3可以组成的三
7、位数的个数为: 3!2 3! 42 种,利用加法原理可得:8 根算筹可以表示三位数的个数(算筹不能剩余)为3!12 3! 816 3!962 .本题选择C选项.例 4.已知集合22,|1, ,Ax yxyx yZ, ,|2,2, ,Bx yxyx yZ,定义集合 12121122,|,ABxxyyx yA xyB,则AB中元素个数为( )A. 77 B. 49 C. 45 D. 30【答案】C4例 5.如图所示 22 方格,在每一个方格中填入一个数字,数字可以是 1、2、3、4 中的任何一个,允许重复若填入 A 方格的数字大于 B 方格的数字,则不同的填法共有( )A. 192 种 B. 12
8、8 种 C. 96 种 D. 12 种【答案】C【解析】试题分析:根据题意,先分析 A、B 两个方格,由于其大小有序,则可以在 l、2、3、4 中的任选2 个,大的放进 A 方格,小的放进 B 方格,由组合数公式计算可得其填法数目,对于 C、D 两个方格,每个方格有 4 种情况,由分步计数原理可得其填法数目,最后由分步计数原理,计算可得答案根据题意,对于 A、B 两个方格,可在 l、2、3、4 中的任选 2 个,大的放进 A 方格,小的放进 B 方格,有2 46C 种情况,对于 C、D 两个方格,每个方格有 4 种情况,则共有 44=16 种情况,则不同的填法共有 166=96 种,故选 C例
9、 6.【2019 届黑龙江省牡丹江市第一高级中学高三上期末】将数字 1,2,3,4,填入右侧的表格内,要求每行、每列的数字互不相同,如图所示,则不同的填表方式共有( )种A. 432 B. 576 C. 720 D. 864【答案】B【解析】对符合题意的一种填法如图,行交换共有4 424A 种,列交换共有4 424A 种,所以根据分步计数原理得到不同的填表方式共有24 24=576种,故选 B. 5例 7. 设集合12345,|1,0,1 ,1,2,3,4,5iAx x x x xxi ,那么集合A中满足条件“1234513xxxxx”的元素个数为( )A. 60 B. 90 C. 120 D
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