概率论与数理统计完整公式以及各知识点梳理.pdf
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1、概率论与数理统计完整版公式概率论与数理统计完整版公式第第 1 1 章章随机事件及其概率随机事件及其概率nPmm!从 m 个人中挑出 n 个人进行排列的可能(m n)!(1)排列 组 合公式数。m!从 m 个人中挑出 n 个人进行组合的可能n!(m n)!nCm数。加法原理(两种方法均能完成此事)加法原理(两种方法均能完成此事):m+nm+n某件事由两种方法来完成,第一种方法可由 m 种方法完成,第二种方法可由 n 种方法来完成,则这件事可由m+n 种方(2)加法 和 乘法原理乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事)乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事):m mn n某件事由两个步骤来完成,第一个
2、步骤可由 m 种方法完成,第二个步骤可由 n 种方法来完成,则这件事可由 mn 种方法来完成。法来完成。(3)一重复排列和非重复排列(有序)些 常 见 对立事件(至少有一个)排列顺序问题(4)随如果一个试验在相同条件下可以重复进行,而每次试验的机 试 验可能结果不止一个,但在进行一次试验之前却不能断言它和 随 机出现哪个结果,则称这种试验为随机试验。事件试验的可能结果称为随机事件。在一个试验下,不管事件有多少个,总可以从其中找出这样一组事件,它具有如下性质:每进行一次试验,必须发生且只能发生这一组中的一个事件;(5)基任何事件,都是由这一组中的部分事件组成的。本事件、这样一组事件中的每一个事件
3、称为基本事件,用来表示。样 本 空间 和 事 基本事件的全体,称为试验的样本空间,用表示。件一个事件就是由中的部分点(基本事件)组成的集合。通常用大写字母A,B,C,表示事件,它们是的子集。为必然事件,为不可能事件。不可能事件()的概率为零,而概率为零的事件不一定是不可能事件;同理,必然事件()的概率为 1,而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。关系:如果事件 A 的组成部分也是事件B的组成部分,(A发生必有事件B发生):A B如果同时有A B,B A,则称事件A与事件B等价,或称A等于B:A=B。A、B中至少有一个发生的事件:AB,或者A+B。(6)事件 的 关系 与 运算属于A而不属于B
4、的部分所构成的事件,称为A 与 B的差,记为A-B,也可表示为A-AB或者AB,它表示A发生而B不发生的事件。A、B同时发生:AB,或者AB。AB=,则表示 A 与 B不可能同时发生,称事件A 与事件 B 互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。-A 称为事件 A 的逆事件,或称A 的对立事件,记为A。它表示 A 不发生的事件。互斥未必对立。运算:结合率:A(BC)=(AB)C A(BC)=(AB)C分配率:(AB)C=(AC)(BC)(AB)C=(AC)(BC)德摩根率:i1A Aii1iA B A B,A B A B设为样本空间,A为事件,对每一个事件A都有一个实数 P(A),若满足下列三
5、个条件:1 0P(A)1,(7)概率 的 公理 化 定义3 对于两两互不相容的事件A1,A2,有PAiP(Ai)i1i12 P()=1常称为可列(完全)可加性。则称 P(A)为事件A的概率。1 1,2n,(8)古典概型2P(1)P(2)P(n)。1n设任一事件A,它是由1,2m组成的,则有P(A)=(1)(2)(m)=P(1)P(2)P(m)mA所包含的基本事件数基本事件总数n若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀,同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个(9)几有界区域来描述,则称此随机试验为几何概型。对任一事何概型件 A,L(A)。其中 L 为几何度量(长度、面积、体积
6、)。L()P(A)(10)加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当 P(AB)0 时,P(A+B)=P(A)+P(B)P(A-B)=P(A)-P(AB)(11)减当 BA 时,P(A-B)=P(A)-P(B)法公式当 A=时,P(B)=1-P(B)(12)条定义 设 A、B 是两个事件,且 P(A)0,则称P(AB)为事件P(A)件概率A 发生条件下,事件 B 发生的条件概率,记为P(B/A)P(AB)。P(A)条件概率是概率的一种,所有概率的性质都适合于条件概率。例如 P(/B)=1P(B/A)=1-P(B/A)乘法公式:P(AB)P(A)P(B/A)(13)乘更一般地,对事件
7、 A1,A2,An,若 P(A1A2An-1)0,则有法公式P(A1A2An)P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(An|A1A2An 1)。两个事件的独立性两个事件的独立性设事件A、B满足P(AB)P(A)P(B),则称事件A、B是相互独立的。(14)独立性若事件A、B相互独立,且P(A)0,则有P(AB)P(A)P(B)P(B)P(A)P(A)P(B|A)若事件A、B相互独立,则可得到A与B、A与B、A与B也都相互独立。必然事件和不可能事件 与任何事件都相互独立。与任何事件都互斥。多个事件的独立性多个事件的独立性设 ABC 是三个事件,如果满足两两独立的条件,P(AB)=P(A
8、)P(B);P(BC)=P(B)P(C);P(CA)=P(C)P(A)并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么 A、B、C 相互独立。对于 n 个事件类似。设事件B1,B2,Bn满足1B1,B2,Bn两两互不相容,P(Bi)0(i 1,2,n),(15)全概公式2nA Bii1,则有P(A)P(B1)P(A|B1)P(B2)P(A|B2)P(Bn)P(A|Bn)。设事件B1,B2,Bn及A满足P(Bi)0,i 1,Bn两两互不相容,B2,1B1,2,n,2(16)贝叶 斯 公式则A Bii1n,P(A)0,P(Bi/A)P(Bi)P(A/Bi)P(B)P(A/B)jjj1n,i
9、=1,2,n。此公式即为贝叶斯公式。n)2,P(Bi),(i 1,通常叫先验概率。P(Bi/A),(i 1,2,n),通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律,并作出了“由果朔因”的推断。我们作了n次试验,且满足每次试验只有两种可能结果,A发生或A不发生;(17)伯努 利 概型n次试验是重复进行的,即A发生的概率每次均一样;每次试验是独立的,即每次试验A发生与否与其他次试验A发生与否是互不影响的。这种试验称为伯努利概型,或称为n重伯努利试验。用p表示每次试验A发生的概率,则A发生的概率为1 p q,用Pn(k)表示n重伯努利试验中A出现k(0 k n)次的概率,Pn(k)Cnpkq
10、nkk,k 0,1,2,n。第二章第二章随机变量及其分布随机变量及其分布设离散型随机变量X的可能取值为 Xk(k=1,2,)且取各个值的概率,即事件(X=Xk)的概率为P(X=xk)=pk,k=1,2,,(1)离散型随机变量的分布律显然分布律应满足下列条件:则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出:Xx1,x2,xk,|P(X xk)p1,p2,pk,。(1)pk 0,k 1,2,,(2)k1pk1。设F(x)是随机变量X的分布函数,若存在非负函数f(x),对任意实数x,有F(x)f(x)dxx(2)连续型随机变量的分布密度,则称X为连续型随机变量。f(x)称为X
11、的概率密度函数或密度函数,简称概率密度。密度函数具有下面 4 个性质:1f(x)0。2f(x)dx 1。P(X x)P(x X x dx)f(x)dx(3)离散与连积分元f(x)dx在连续型随机变量理论中所起的作用与续型随机变量的关系P(X xk)pk在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。设X为随机变量,x是任意实数,则函数F(x)P(X x)称为随机变量 X 的分布函数,本质上是一个累积函数。P(a X b)F(b)F(a)可以得到 X 落入区间(a,b的概率。分布函数F(x)表示随机变量落入区间(,x内的概率。分布函数具有如下性质:(4)分布函数2F(x)是 单 调 不 减 的 函 数,
12、即x1 x2时,有F(x1)F(x2);10 F(x)1,x ;3F()lim F(x)0,F()lim F(x)1;xx4F(x 0)F(x),即F(x)是右连续的;5P(X x)F(x)F(x 0)。对于离散型随机变量,F(x)pk;xkxx对于连续型随机变量,F(x)f(x)dx。0-1 分布P(X=1)=p,P(X=0)=q设事件A发生的概率为p。二项分布在n重贝努里试验中,事件A发生的次数是随机变量,设为X,则X可能取值为0,1,2,n。(5)八大分布kP(X k)Pn(k)Cnpkqnk,其中q 1 p,0 p 1,k 0,1,2,n,则称随机变量X服从参数为n,p的二项分布。记为
13、X B(n,p)。P(X k)pkq1k,当n 1时,这就是(0-1)k 0.1,分布,所以(0-1)分布是二项分布的特例。泊松分布设随机变量X的分布律为kk!P(X k)e,0,k 0,1,2,则称随机变量X服从参数为的泊松分布,记为X()或者 P()。泊松分布为二项分布的极限分布(np=,n)。knkk 0,1,2,lCMCNMP(X k),nl min(M,n)CN超几何分布随机变量 X 服从参数为 n,N,M 的超几何分布,记为 H(n,N,M)。几何分布P(X k)qk1p,k 1,2,3,,其中 p0,q=1-p。随机变量X服从参数为p的几何分布,记为G(p)。X均匀分布设随机变量
14、的值只落在a,b内,其密度函数f(x)在a,b上为常数1,即b a1,f(x)b a其他,0,则称随机变量X在a,b上服从均匀分布,记为XU(a,b)。分布函数为0,xb。当 ax1x2b 时,X 落在区间(x1,x2)内的概率为x2 x1。b aP(x1 X x2)指数分布ex,x 0,f(x)0,其中 0,则称随机变量 X 服从参数为的指数分布。X 的分布函数为x1e,x 0,F(x)0,x0。记住积分公式:nxxedx n!0正态分布设随机变量X的密度函数为f(x)12e(x)222,x ,其中、0为常数,则称随机变量X服从参数为、的正态分布或高斯(Gauss)分布,2记为X N(,)。
15、f(x)具有如下性质:1f(x)的图形是关于x 对称的;2 当x 时,f()12212为最大值;2X的分布函数为若X N(,),则(t)F(x)xe22dt。参数 0、1时的正态分布称为标准正态分布,记为X N(0,1),其密度函数记为(x)1e2x22,x ,分布函数为(x)12xet22dt。(x)是不可求积函数,其函数值,已编制成表可供查用。(-x)1-(x)且(0)。如果XN(,2),则X 12 x x P(x1 X x2)21。N(0,1)。(6)分下分位表:P(X);位数上分位表:P(X)。离散型已知X的分布列为x1,x2,xn,X,P(X xi)p1,p2,pn,Y g(X)的分
16、布列(yi g(xi)互不相等)如下:(7)函数分布g(x1),g(x2),g(xn),Y,P(Y yi)p1,p2,pn,若有某些g(xi)相等,则应将对应的pi相加作为g(xi)的概率。先利用 X 的概率密度 fX(x)写出 Y 的分布函数FY(y)P(g(X)y),再利用变上下限积分的求导公式求出 fY(y)。连续型第三章二维随机变量及其分布离散型(1)联合分布如果二维随机向量(X,Y)的所有可能取值为至多可列个有序对(x,y),则称为离散型随机量。设=(X,Y)的 所 有 可 能 取 值 为(xi,yj)(i,j 1,2,),且事件=(xi,yj)的概率为pij,称P(X,Y)(xi,
17、yj)pij(i,j 1,2,)为=(X,Y)的分布律或称为 X 和 Y 的联合分布律。联合分布有时也用下面的概率分布表来表示:Yy1y2yjXx1p11p12p1jx2p21p22p2jxipi1pij连续型对于二维随机向量(X,Y),如果存在非负函数f(x,y)(x ,y ),使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域 D,即D=(X,Y)|axb,cyx1时,有 F(x2,y)F(x1,y);当 y2y1时,有 F(x,y2)F(x,y1);(3)F(x,y)分别对 x 和 y 是右连续的,即F(x,y)F(x 0,y),F(x,y)F(x,y 0);(1)0 F(x,y)1;(4)F
18、(,)F(,y)F(x,)0,F(,)1.(5)对于x1 x2,y1 y2,F(x2,y2)F(x2,y1)F(x1,y2)F(x1,y1)0.(4)离散型与连续型的关系P(X x,Y y)P(x X x dx,y Y y dy)f(x,y)dxdy离散型X 的边缘分布为Pi P(X xi)pij(i,j 1,2,);jY 的边缘分布为P j P(Y yj)pij(i,j 1,2,)。(5)边缘分布连续型iX 的边缘分布密度为fX(x)f(x,y)dy;Y 的边缘分布密度为fY(y)f(x,y)dx.离散型在已知X=xi的条件下,Y 取值的条件分布为pijpiP(Y yj|X xi);在已知Y
19、=yj的条件下,X 取值的条件分布为pijp jP(X xi|Y yj),(6)条件分布连续型在已知 Y=y 的条件下,X 的条件分布密度为f(x,y);fY(y)f(x|y)在已知 X=x 的条件下,Y 的条件分布密度为f(x,y)fX(x)f(y|x)一般型(7)独F(X,Y)=FX(x)FY(y)pij pip j立性离散型有零不独立连续型f(x,y)=fX(x)fY(y)直接判断,充要条件:可分离变量正概率密度区间为矩形 x22(x)(y)y1122122(12)1212二维正态分布f(x,y)121212e,0随机变量若 X1,X2,Xm,Xm+1,Xn相互独立,h,g 为连续的函数
20、函数,则:h(X1,X2,Xm)和 g(Xm+1,Xn)相互独立。特例:若X 与 Y 独立,则:h(X)和g(Y)独立。例如:若 X 与 Y 独立,则:3X+1 和 5Y-2 独立。设随机向量(X,Y)的分布密度函数为 1SDf(x,y)0,(8)二维均匀分布(x,y)D其他其中 SD为区域 D 的面积,则称(X,Y)服从D 上的均匀分布,记为(X,Y)U(D)。设随机向量(X,Y)的分布密度函数为 x22(x)(y)y11222122(1)1212f(x,y)121212e,其中1,2,1 0,2 0,|1是 5 个参数,则称(X,Y)服从二维正态分布,(9)二维正态分布2记为(X,Y)N(
21、1,2,12,2,).由边缘密度的计算公式,可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布,2即 XN(1,12),Y N(2,2).2但是若 XN(1,12),Y N(2,2),(X,Y)未必是二维正态分布。Z=X+Y根据定义计算:FZ(z)P(Z z)P(X Y z)对于连续型,fZ(z)f(x,z x)dx两个独立的正态分布的和仍为正态分布(12,1222)。n 个相互独立的正态分布的线性组合,仍服从(10)函数分布正态分布。Cii,2Ci2i2iiZ=max,mi若X1,X2Xn相互独立,其分布函数分别为n(X1,X2,Xn)Fx1(x),Fx2(x)Fxn(x),则 Z=max,mi
22、n(X1,X2,Xn)的分布函数为:Fmax(x)Fx1(x)Fx2(x)Fxn(x)Fmin(x)11 Fx1(x)1 Fx2(x)1 Fxn(x)2分布设 n 个随机变量X1,X2,Xn相互独立,且服从标准正态分布,可以证明它们的平方和nW Xi2i1的分布密度为nu11u2e2nnf(u)2220,u 0,u 0.我们称随机变量 W 服从自由度为 n 的2分布,记为 W2(n),其中n21x xedx.20n所谓自由度是指独立正态随机变量的个数,它是随机变量分布中的一个重要参数。2分布满足可加性:设Yi2(ni),则kZ Yi2(n1 n2 nk).i1t 分布设 X,Y 是两个相互独立
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