(全国通用版)2019高考数学二轮复习 专题六 函数与导数 第3讲 导数及其应用学案 理.doc
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1、1第第 3 3 讲讲 导数及其应用导数及其应用考情考向分析 1.导数的意义和运算是导数应用的基础,是高考的一个热点.2.利用导数解决函数的单调性与极值(最值)问题是高考的常见题型.3.导数与函数零点、不等式的结合常作为高考压轴题出现热点一 导数的几何意义1函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0,f(x0)处的切线的斜率,曲线f(x)在点P处的切线的斜率kf(x0),相应的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)2求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的不同例 1 (1)(2018全国)设函数f(x)x3(a1)x2ax,若f(x)为奇函数,则曲线yf(x)在点(
2、0,0)处的切线方程为( )Ay2x ByxCy2x Dyx答案 D解析 方法一 f(x)x3(a1)x2ax,f(x)3x22(a1)xa.又f(x)为奇函数,f(x)f(x)恒成立,即x3(a1)x2axx3(a1)x2ax恒成立,a1,f(x)3x21,f(0)1,曲线yf(x)在点(0,0)处的切线方程为yx.故选 D.方法二 f(x)x3(a1)x2ax为奇函数,f(x)3x22(a1)xa为偶函数,a1,即f(x)3x21,f(0)1,曲线yf(x)在点(0,0)处的切线方程为yx.故选 D.(2)若直线ykxb是曲线yln x1 的切线,也是曲线yln(x2)的切线,则实数b_.
3、答案 ln 2解析 设直线ykxb与曲线yln x1 和曲线yln(x2)的切点分别为(x1,ln x11),2(x2,ln(x22)直线ykxb是曲线yln x1 的切线,也是曲线yln(x2)的切线,即x1x22.1 x11 x22切线方程为y(ln x11)(xx1),1 x1即为yln x1或yln(x22)(xx2),x x11 x22即为yln x1,x x12x1 x10,则x12,2x1 x1bln 2.思维升华 (1)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异,过点P的切线中,点P不一定是切点,点P也不一定在已知曲线上,而在点P处的切线,必以点P为切点(2)
4、利用导数的几何意义解题,主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值,则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系,进而和导数联系起来求解跟踪演练 1 (1)(2018全国)曲线y2ln(x1)在点(0,0)处的切线方程为_答案 2xy0解析 y2ln(x1),y.令x0,得y2,由切线的几何意义得切线斜率2 x1为 2,又切线过点(0,0),切线方程为y2x,即 2xy0.(2)若函数f(x)ln x(x0)与函数g(x)x22xa(x0),则切线方程为yln x1(xx1)1 x1设公切线与函数g(x)x22xa切于点B(x2,x2x2a)(x
5、2h(2)ln 21ln ,1 2ea.(ln 1 2e,)热点二 利用导数研究函数的单调性1f(x)0 是f(x)为增函数的充分不必要条件,如函数f(x)x3在(,)上单调递增,但f(x)0.2f(x)0 是f(x)为增函数的必要不充分条件,当函数在某个区间内恒有f(x)0 时,则f(x)为常函数,函数不具有单调性例 2 (2018聊城模拟)已知函数f(x)2exkx2.(1)讨论函数f(x)在(0,)内的单调性;(2)若存在正数m,对于任意的x(0,m),不等式|f(x)|2x恒成立,求正实数k的取值范围解 (1)由题意得f(x)2exk,x(0,),因为x0,所以 2ex2.当k2 时,
6、f(x)0,此时f(x)在(0,)内单调递增当k2 时,由f(x)0 得xln ,此时f(x)单调递增;k 2由f(x)2 时,f(x)在内单调递减,(0,ln k 2)在内单调递增(ln k 2,)4(2)当 00.这时|f(x)|2x可化为f(x)2x,即 2ex(k2)x20.设g(x)2ex(k2)x2,则g(x)2ex(k2),令g(x)0,得xln 0,k2 2所以g(x)在内单调递减,且g(0)0,(0,ln k2 2)所以当x时,g(x)2 时,由(1)可得f(x)在内单调递减,且f(0)0,(0,ln k 2)所以存在x00,使得对于任意的x(0,x0)都有f(x)2x可化为
7、f(x)2x,即2exx20.(k2)设h(x)2exx2,(k2)则h(x)2ex.(k2)()若 24,令h(x)0,得x0,(0,ln k2 2)此时取mmin,则对于任意的x(0,m),不等式|f(x)|2x恒成立x0,ln k2 2综上可得k的取值范围为.(4,)思维升华 利用导数研究函数单调性的一般步骤(1)确定函数的定义域(2)求导函数f(x)(3)若求单调区间(或证明单调性),只要在函数定义域内解(或证明)不等式f(x)0 或5f(x)1 时,ln x0,要使f(x)0 恒成立,则xa0 恒成立xa1a,1a0,解得a1,当 0f(x),则关于x的不等式f(x2)的(x1 2)
8、1 ex解集为( )A(,3) B(3,)C(,0) D(0,)答案 B解析 f(x)是偶函数,f(x)f(x),f(x)f(x),fxf(x)f(x),f(x)f(x)f(x),即f(x)f(x)0,设g(x)exf(x),则ex0,exfxfxfxg(x)在(,)上单调递增,6由f f(x1)0,(x1 2)得f(x)f 0,f f0,(x3 2)(x3 2)(x3)相减可得f(x)f,f(x)的周期为 3,(x3)e3fe3f(2)1,g(2)e2f(2) ,f(x2),结合f(x)的周期为 3 可化为(2 018)1 e1 exex1f(x1) e2f(2),g(x1)g(2),x12
9、,x3,1 e不等式的解集为,故选 B.(3,)热点三 利用导数求函数的极值、最值1若在x0附近左侧f(x)0,右侧f(x)0,则f(x0)为函数f(x)的极小值2设函数yf(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,则f(x)在a,b上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得例 3 (2018北京)设函数f(x)ax2(4a1)x4a3ex.(1)若曲线yf(x)在点(1,f(1)处的切线与x轴平行,求a;(2)若f(x)在x2 处取得极小值,求a的取值范围解 (1)因为f(x)ax2(4a1)x4a3ex,所以f(x)ax2(2a1)x2ex.所以f(1)(1a)e.由题设知f(1)0,即(
10、1a)e0,解得a1.此时f(1)3e0.所以a的值为 1.(2)由(1)得f(x)ax2(2a1)x2ex(ax1)(x2)ex.若a ,则当x时,f(x)0.所以f(x)在x2 处取得极小值若a ,则当x(0,2)时,x20.所以 2 不是f(x)的极小值点综上可知,a的取值范围是.(1 2,)7思维升华 (1)求函数f(x)的极值,则先求方程f(x)0 的根,再检查f(x)在方程根的左右函数值的符号(2)若已知极值大小或存在情况,则转化为已知方程f(x)0 根的大小或存在情况来求解(3)求函数f(x)在闭区间a,b上的最值时,在得到极值的基础上,结合区间端点的函数值f(a),f(b)与f
11、(x)的各极值进行比较得到函数的最值跟踪演练 3 (2018江西省八所重点中学联考)已知f(x)ln x x.(e1 e)1 x(1)求函数f(x)的极值;(2)设g(x)ln(x1)axex,对于任意x10,),x21,),总有g(x1)f(x2)成立,求实数a的取值范围e 2解 (1)f(x)1,e1e x1 x2(xe)(x1e) x2令f(x)0,可得x 或xe.1 e当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如表所示:x(0,1 e)1 e(1 e,e)e(e,)f(x)00f(x)极小值极大值所以f(x)的极小值为f ,(1 e)2 e极大值为f(e) .2 e(2)由(1)可知,当
12、x1,)时,函数f(x)的最大值为 ,2 e对于任意x10,),x21,),总有g(x1)f(x2)成立,等价于对于任意x0,),g(x)1 恒成立,e 2g(x)exa(x0),1 x1当a2 时,因为 exx1,8所以g(x)exax1a2a0,1 x11 x1即g(x)在0,)上单调递增,g(x)g(0)1 恒成立,符合题意当a2 时,设h(x)exa(x0),1 x1h(x)ex0,1x12x12ex1x12所以g(x)在0,)上单调递增,且g(0)2a0,故正确2(2017全国改编)若x2 是函数f(x)(x2ax1)ex1的极值点,则f(x)的极小值为_答案 1解析 函数f(x)(
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