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1、.-20152015 届届本本科科毕毕业业论论文文(设设计计)题目:淺谈二次型的分类问题题目:淺谈二次型的分类问题所所在在学学院院:数数学学科科学学学学院院专专业业班班级级:数数学学与与应应用用数数学学 11-211-2 班班学学生生 XXXX:阿阿玛玛尼尼阿阿 不不力力木木指指导导教教师师:艾合买提艾合买提 老师老师答答辩辩日日期期:20152015 年年 5 5 月月 7 7 日日XXXX师师X X大大学学教教务务-可修编.处处.-目录前言31 1 认识二次型41.1二次型的来历41.2二次型的定义和矩阵表示41.3线性变换62 2 二次型的分类72.1二次型的标准型72.2实二次型和复二
2、次型112.3正定二次型和不定二次型132.4二次曲面的分类183 二次型分类的意义和应用203.1二次型分类的意义20结束语 22参考文献 22致-可修编.-摘摘要要:这篇文章主要研究二次型的分类问题。首先认识二次型的来历,概念与矩阵的关系,性质;其次了解二次型的各个分类实二次型复二次型正定二次型,二次型的标准型等等然后讨论二次型分类的方法意义和数学中的应用中间加了有关的典型例题。关关键键词词:二次型;复 二次型;实 二次型;正 定;半 定;不 半定;不 正定二次型;惯性定理;,二次曲面-可修编.-Abstract:This paper mainly studies the classifi
3、cation of the quadraticproblem.Firstly know the origin of quadratic form,concept and matrix,the relationship between properties;Second to understand the realquadratic form of each classification of quadratic plex quadraticpositive definite quadratic form,the standard quadratic etc.Thendiscuss quadra
4、tic classification among the significance and theapplication of mathematical method with relevant examples.Keywords:Quadratic form;plex quadratic form;Quadric form;Positivedefinite.Semidefinite;Not half;Not positive definite quadratic form;Theinertia theorem;The quadric surface-可修编.-1.1.认认识识二二次次型型1.
5、11.1 二二次次型型的的来来历历二次型(quadratic form)是线性代数中最为重要的内容之一。二次型的研究是从 18 世纪开始的,它起源于几何学中的二次曲线和二次曲面的分类问题的讨论,将二次曲线和二次曲面的方程进行变换,把有主轴方向的轴作为坐标轴以简化方程的形状。柯西在其著作中给出结论:当方程式标准型时,二次曲面用二次型的符号来进行分类。在-可修编.-化简成标准型时,为什么会得到同样数目的正项和负项,这个最初是一个未知的。西尔维斯特回答了这个问题,他给出了 n 个变数的二次型的惯性定理,但没有证明。这个定律后来被雅克比重新发现和证明。高斯在 1801 年算术研究中引进了二次型的正定、
6、负定,半正定以及半负定等一些概念。二次型化简的进一步研究涉及二次型或行列式的特征方程的概念。欧拉在以前的著作当中间接地提过特征方程这个概念,拉格朗日在著作中最先准确地提出这个概念。而三个变数的二次型的特征值的实性则是由阿歇特、蒙日和泊松建立的。二次型的应用涉及到物理学、几何学、概率论等学科甚至在这些科学中广泛的应用。在二次型的研究从浅到深的发展过程当中与代数论,数 的几何等都有密切的关系。此外,在 多重线性代数中使用二次型还可定义比外代数更广的克利福特代数。1.21.2二二次次型型的的定定义义和和矩矩阵阵表表示示二次型本质上是一个关于 n 个变量的函数。二次型在表达式中没有一次项和常数项就有平
7、方项和交叉项的特殊的二次齐次函数。定定义义 1 1 设 F 是一个数域,F 上 n 元二次齐次多项式qx1,x2,xn a11x1a22x2annxn2a12x1x22a13x1x32an1,nxn1xn222(1)叫作 F 上一个 n 元二次型。F 上n元多项式总可以看成 F 上n个变量的函数。二 次型(1)定 义了-可修编.-一个函数q:FnF.n元二次型也称为n个变量的二次型。在(1)中 令aijaji(1i,jn)。因 为xixj xjxi,所 以(1)式可以写成一下形式:nnq(x1,x2,xn)aijxixj,aij aji.(2)i1 j1设n阶对称矩阵a11aA=12a1na1
8、2a22a2na1na2nann则n元二次型可表示为下列矩阵形式:a11a12a1na12a22a2na1n x1a2nx2annxn=XTAXf(x1,x2,xn)=(x1,x2,xn)其中X=(x1,x2,xn)T。对 称矩阵A称为二次型的系数矩阵,简称为二次型的矩阵。矩 阵A的秩称为二次型f(x1,x2,xn)的秩。二次型与非零对称矩阵一一对应。如果给定一个二次型,那么可以为其系数矩阵确定一个非零的对称矩阵作;相反,假如给定一个非零的对称矩阵,则对称矩阵为系数矩阵确定一个二次型。二次型的秩指的就是矩阵A的秩.222例如:f(x1,x2,.xn)4x1是二次型,把它写成6x1x24x2x3
9、8x1x3 x2 x3矩阵形式,把6x1x2这一项改写成了3x1x23x2x1两项,x1x2,x2x1项作同样处理,即222f(x1,x2,.xn)4x13x1x24x1x33x2x1 x22x2x34x3x12x3x2 x3-可修编.-434 x1xx1,x2,x3这样就可以用矩阵表示:f(x1,x2,x3)=3122421x 3434 或简单的就用对称矩阵3124211.31.3 线性变换线性变换设x1,x2,xn和y1,y2,yn为两组变量,关系式x1 c11y1 c12y2 c1nynx c y cy cy22112222nnxn cn1y1 cn2y2 cnnyn其中cij(i,j=
10、1,2,n)为实数域R(或复数域C)中的数,称为由x1,x2,xn到y1,y2,yn线性变换,简称线性变换。c11c线性变换的矩阵表示,设n阶矩阵C=21cn1c12c22cn2c1nc2ncnn则从x1,x2,xn到y1,y2,yn线性变换可表示为下列矩阵形式:X=CY其中X=(x1,x2,xn)T和Y=(y1,y2,yn)T,C称为线性变换的系数矩阵。1)当|C|0 时,线性变换X=CY称为非退化的线性变换。2)当C是正交矩阵时,称X=CY为正交线性变换,简称正交变换。3)线性变换的乘法。-可修编.-设X=C1Y是由x1,x2,xn到y1,y2,yn的非退化的线性变换,而Y=C2Z是由y1
11、,y2,yn到z1,z2,zn的非退化的线性变换,则由x1,x2,xn到z1,z2,zn的非退化的线性变换为:X=(C1C2)Z二次型f(x1,x2,xn)=XTAX经过非退化的线性变换X=CY化为f(x1,x2,xn)=YTBY(其中B=CTAC)仍是一个二次型。2.2.二二次次型型的的分分类类二次型分类的方法主要是有三种,合同时一种分类方法,正定是另一种分类方法还有一种是几何分类法。2.12.1 二二次次型型的的标标准准型型实数域R(或复数域C)上的任意给定的一个二次型,通常都可经过系数在实数域R(或复数域C)中的非退化线性变换化成平方和形式:d1y12+d2y22+dnyn2其中非零系数
12、的个数唯一确定,等于该二次型的秩。上述形式的二次型称为二次型的标准形。标准形中只有系数不是零与系数中正的平方的个数都是唯一确定的,然而二次型的标准形并不是唯一确定的。化标准形的方法1)配方法。2)初等变换法,其要点可简单表示为:-可修编.-A初等变换DEC其中A为二次形的矩阵,D为对角矩阵,其对角元素依次为d1,d2,dn。在初等变换过程中,作完一次列变换,接着作一次相应的行变换,那么矩阵A的对称性质是不变的。当A化为对角矩阵D的同时,即可得到由变量x1,x2,xn到y1,y2,yn的非退化线性变换系数矩阵C。于是当作线性变换X=CY时,则可使二次型f=XTAX化为标准形2.1.22.1.2
13、利用正交变换化实二次型为标准形利用正交变换化实二次型为标准形设A是n阶实对称矩阵,按照以下几个步骤来进行:特征值的求解:特征值的求解:解特征方程|E-A|=0,求出A的全部特征值。特征向量的求解:特征向量的求解:解齐次线性方程组(E-A)X=0,求出基础解系,得到r重特征值的r个线性无关的特征向量。正交化:正交化:利用施密特正交化方法,使得属于r重特征值的r个线性无关向量组正交化,并使其单位化。单位化单位化:将求得的n个单位化正交特征向量组作为矩阵Q的列向量,就可以得到正交矩阵Q。作正交矩阵:作正交矩阵:Q-1AQ为对角矩阵,对角元素为A的全部实特征值,它们在对角矩阵的排列顺序,与其特征向量在
14、Q中的排列顺序是相同。对于二次型fxTAx,令x Qy,将二次型f xTAx化成如下形式平方和:1y12+2y22+nyn2其中1,2,n为二次型的矩阵的全部特征值。-可修编.-典型例题:典型例题:把二次型f 2x1x22x1x32x1x42x2x32x2x42x3x4.化为标准形解 二次型的矩阵为0111A1011,1101 1110它的特征多项式为111111AE.111 111计算特征多项式:把二、三、四列都加在第一列上,有1111AE (1)111,111 111把二,三,四行分别减去第一行,有1111 AE (1)012202120001(1)21221(1)2(223)(3)(1)
15、3.于是 A A 的特征值为1 3,2341.当1 3时,解方程(A3E)x 0,由-可修编.-3111 1111A3E 1311r1r2r3r41311 1131 r 4111113 11311131111111r022011002201r00011r 02240000100101010011,0000得基础解系1 1 111,单位化即得P1,112111当2341时,解方程(A-E)x=0A-E)x=0 由11111111A E 11110001111r0 0000,11110000可得正交的基础解系10 1 1012,30,4 1,0111单位化即得10 1 P11101122,0P32
16、1,P42 1 011于是正交变换为-可修编.-111 2202x111x2201 y21x 231y201x1y34222y41201212且有f 3y22231 y2 y3 y4.如果要把二次型化为规 X 型,只需令1y13z1,y2 z2,y3 z3,y4 z4,即得f的规 X 型f z22221 z2 z3 z4.典型例题典型例题 2 2 用配方法化二次型为标准形用配方法化二次型为标准形,f(x1,x2,x3)x12 x22 3x32 4x1x2 2x1x3 2x2x3解先将含x1的各项合并在一起,配成完全平方,再接着处理x2,x3.f(x1,x2,x3)(x12 4x1x2 2x1x
17、3)x22 2x2x3 3x32(x12 4x1x2 2x1x3 4x22 x32 4x2x3)4x22 x324x2x3 x222x2x33x32(x1 x2 x3)2(3x22 2x2x3)2x32(x12x2 x3)23(x2112221223x2x39x3)3x32x3(x 2x3(x1712 x3)22x3)2233x3-可修编.-y1 x1 2x2 x31x2x3y23x3(6-1)y3令得二次型的标准形为22f(x1,x2,x3)y13y272y332.2 复二次型和实二次型复二次型和实二次型1 1)复二次型和实二次型的定义:复二次型和实二次型的定义:复数域上的二次型叫做复二次型
18、;实数域上的二次型分别叫做实二次型。定义(实二次型)定义(实二次型)设aij(i,j1,2,n;ij)均为实常数,称关于n个实变量x1,x2,xn的二次齐次多项式函数f(x1,x2,xn)a11x12 2a12x1x2 2a13x1x3 2a1nx1xn2a22x2 2a23x2x3 2a2nx2xn2annxnnnaiix 2aijxixj2ii1i,j1i j为一个n元实二次型,简称为n元二次型。矩阵的合同关系:矩阵的合同关系:如果数域P上的两个n阶矩阵A和B存在可逆矩阵C,使B=CTAC,那么叫做A和B是合同,记作AB。合同关系性质:1)反身性:AA;2)对称性:AB,则BA;3)传递性
19、:AB,且BC,则AC。-可修编.-定理定理 2.3.12.3.1 复数域上的两个n阶对称矩阵,有相同的秩是合同的充要条件。两个复二次型等价的充要条件是它们有相同的秩定理定理 2.3.22.3.2 实数域上每一n阶对称矩阵A都合同与如下形式的一个矩阵:IpoooIrpoooo这里r等于A的秩。定理定理 2.3.32.3.3 实数域R上的每一n元二次型如下形式的一个二次型等价:22x12.x2p xp1.xr,这里r所给二次型的秩。2 2)复二次型的规)复二次型的规 X X 形形任一复系数二次型都可以通过复数域C非退化线性变换化得到最简形式:y12+y22+yr2,其中r是唯一确定的等于该二次型
20、的秩。上述形式的复二次型称为复二次型的规 X 形。任何复数域C上的对称矩阵都合同于一个形如:1100的对角矩阵,其中 1 的个数等于该矩阵的秩。3 3)实二次型的规)实二次型的规 X X 形形任一实系数二次型都可以通过实数域R中的非退化线性变换得到最简形式:y12+y22+yp2-yp+12-yp+22-yr2,其中p和r唯一确定,r为二次型的秩。像这-可修编.-种实二次型叫做实二次型的规 X 形,p(正平方项的个数)称为实二次型的正惯性指数,r-p(负平方项的个数)称为实二次型的负惯性指数,p-(r-p)=2p-r称为实二次型的符号差。任何实数域R上的对称矩阵都合同于一个形如:111100的
21、对角矩阵,其中对角线上非零元素的个数等于矩阵的秩,1 的个数由对称矩阵唯一确定,称为它的正惯性指数。2.32.3 正定二次型和不定二次型正定二次型和不定二次型1 1)定义(正定、定义(正定、半正定、半正定、负定、负定、半负定及不定二次型)半负定及不定二次型)设实二次型f(x1,x2,xn),如果任意给定的一组不全为零的实数有x1,x2,xn,都有:(1)f(x1,x2.xn)0,则称f为正定正定二次型,并称实对称矩阵 A 为正定矩阵;(2)f(x1,x2.xn)0,且x 0,使f(x)0,则称f为半正定半正定二次型,并称实对称矩阵 A 为半正定矩阵;(3)f(x1,x2.xn)0,则称f为负定
22、负定二次型,并称实对称矩阵 A 为负定矩阵(4)f(x1,x2.xn)0,则称f为半负定半负定二次型,并称实对称矩阵 A 为半负定矩-可修编.-阵;(5)如果既不正定也不负定,则f为不定不定二次型,并称实对称矩阵 A 是不定的。用矩阵形式表示上述定义用矩阵形式表示上述定义:设A为n阶实对称矩阵,若对任意非零向量X,都有XTAX0(或0,或0,或0,或符号不定),则称二次型XTAX为正定,其矩阵A称为正定矩阵。2 2)正定二次型的标准型、规)正定二次型的标准型、规 X X 型型1)标准型:fx1x2xn是正定二次型,则存在正交变换XQY使得:22f 1y122y2nyn其中1,2,n是A的特征值
23、;且1,2,n均是大于0的数。2)规 X 型:fx1x2xn是正定二次型,则存在可逆变换XTY使得:22f y12 y2 yn定理定理 2.4.12.4.1n元二次型f(x)xTAxf的正惯性指数为n是正定的充要条件。推论推论 1 1 二次型f(x)xTAx经过满秩线性变换后,其正定性不变。推论推论 2 2 实对称矩阵 A 正定的充分必要条件是 A 的特征值全部大于零。推论推论 3 3 实对称矩阵 A 正定的充分必要条件是 A 合同于同阶单位矩阵 E,即存在满秩方阵 C,使得CTACE(或存在满秩方阵 M,使得A MTM)。推论推论 4 4 实对称矩阵A aijnn正定的充要条件是,A 的各阶
24、顺序主子式均大于零,即1 a11 0,2a11a21a12a22 0,n A 0其中k是 A 的左上角的k阶子式(k 1,2,n)。-可修编.-3 3)判定正定二次型与正定矩阵的充要条件)判定正定二次型与正定矩阵的充要条件实对称矩阵A的n阶顺序主子式均大于零正定二次型:对于x 0,f(x)xTAx 0n阶实对称矩阵A为正定矩阵22f x Axd1y12d2y2dnyn|C|0TxCy(di0,i 1,2,n)orf x Axy y y|C|0TxCy21222nd1TC AC dn(di 0,i 1,2,n)orCTAC E(f的惯性指数为 n)f x Axy 2y nyTQ QETxQy实对
25、称矩阵 A 的特征值全大211222n(i 0,i 1,2,n)于零1Q1AQ QTAQ n(i 0,i 1,2,n)4 4)判定负定二次型与负定矩阵的充要条件)判定负定二次型与负定矩阵的充要条件若n元二次型f(x)xTAx为负定二次型时,f为正定二次型(或A 为正定-可修编.-矩阵),相应得到如下等价条件:(1)f是负定二次型,即对x 0,f xTAx 0;(2)f的负惯性指数为n;(3)A 的特征值全小于 0;(4)A 的奇数阶顺序主子式全小于 0,偶数阶顺序主子式全大于 0。定理定理 2.4.22.4.2 实数域上二次型qx1,x2,.,xn是正定的充要条件是它的秩和符号差都相等于n。q
26、x1,x2,.,xn是负定的充要条件是它的秩等于n,符号差等于n。定理定理 2.4.32.4.3实二次型q(x1,x2,.xn)aijxixj是正定的当且仅当它的一切主i1 j1nn子式都大于零。典型例题典型例题 1 1:判断下列实二次型是不是正定的:222(1)10 x12x23x34x1x24x1x3解:因为二阶主子式10222 0,所以它不是正定的。22(2)5x1 x24x1x28x1x34x2x3解:因为一切主子式都大于零,所以是正定的。2222典型例题典型例题 2 2取什么值是,实二次型(x1 x2 x3)2x1x22x2x32x1x3 x4是正定的?解:该二次型的最高阶主子式为1
27、01101100001为使二次型为正定,必需且只需各阶主子式大于零,于是得1-可修编.-0,21 0,33 2 (1)2(2)0,解得1.典型例题典型例题 3 3 将二次型fx1并求二次型f的秩x2222x3x1 x2x2 x3x3 x1化为标准型,y1x1x222解 如果做线性替换y2 y3x2 x3,那么f 2y12 y2y x x313表面上看上述结果是对的,实际上是错误的。110 110 这是因为011 0从而C 011不可逆,因此上述的线性替101101换不是非退化的。正确解法:(1)将二次型f进行化简可得:2222f 2x122x22x32x1x22x2x32x3x1 2 x12
28、x1x2 x1x32x22x32x2x311323211322 2x1x2x3 x2x33x2x3 2x1x2x3 (x2 x32x2x3)2222222221132 2x1x2x3 x2 x3222做线性替换11y xxx3112122y2x2 x3其中c31,c32,c33是满足 0y c xc xc xc3131 13223331121121 0,的任意的数。2c32c33为使所作的线性替换较为简单,只要作线性替换:-可修编.-11y xxx312122x2 x3即可。y2y1x3(2)正交变换的方法:上述二次型f的矩阵为 211A121112其特征值123,30,易计算对应于123的一
29、组单位正交的特征向量是:2 1 2 26 1 122,23 20 1 对应于30的单位特征向量13 313 1令T 123作非退化的线性替换X TY,易计算XTAX YTTTATY y13 y12y33y2 3y123y20y3y22从而f的标准型为3y123y2,其秩为2。2.52.5 二次曲面的分类二次曲面的分类二次曲面:二次曲面:二次代数方程ax(1)椭球面2by2cz2 d 0所代表的曲面。-可修编.-x2y2z22212abca b c 0若a=b=c时,是半径为a的球面。x2y2(2)抛物面:有方程 z(p 与 q 同号),所表示的曲面叫做抛物面。2p2qx2y2z2(3)单叶双曲
30、面:由方程2221(a,b,c 0)所确定的曲面叫做单叶双曲abc面。x2y2z2(4)二次锥面:由方程222(a,b,c 0)所确定的方程叫做二次锥面。abc222典型例题典型例题 1 1:已知二次型:已知二次型f(x1,x2,x3)2x1 3x2 3x3 2ax2x3(a 0)通过正交变换通过正交变换222化成标准形化成标准形f y1 2y2 5y3.(1 1)求参数)求参数a a及所用的正交变换矩阵;及所用的正交变换矩阵;223(2 2)2x1 3x2 3x3 2ax2x31表示什么曲面?表示什么曲面?解二次型f的矩阵为200A 03a0a3A的特征多项式为 2|E A|0003 a a
31、3(2)(2 6 9 a2)由题设可知A的特征值为11,2 2,35将11代入|E A|0,得-可修编.-a2 4 0,a 2200A 032因a0,故取a2,这时,023.对于11,解|1E A|X 0,即100 x10022 x22002x30解得对应的特征向量为 T1(0,1,1).对于,解|A|X 0,即得对应的特征向量为,0)T2 22E 2(1,0.对于3E A|X 0,可得对应的特征向量为,1,1)T3 5,解|3(0.将 1,2,3单位化:111(0,1T1212)122(1,0,0)T211133(0,2,32)T故所用正交变换的矩阵为010T 1012101222;x2y2
32、z21(2)当f 1时,11125是椭球面.3.3.二次型分类的意义和应用二次型分类的意义和应用-可修编.-二次型理论在物理学、几何学、概率论等各个学科中都已得到了广泛的运用。在二次型的研究中已由域上二次型的算术理论发展到环上二次型的算术理论。此外,在多重线性代数中使用二次型还可定义比外代数更广的克利福特代数。二次型表示平面或空间的某个曲线和曲面的方程。利用二次型的正交变换求某些曲线或曲面的积分。典型例题典型例题 1 1:求:求dx1dx2dx3,其中,其中222 (x1,x2,x3)f(x1,x2,x3)x1 2x2 3x3 2x1x2 2x2x31解:解:由上例知正交变换能够保持几何体形状
33、不变,所以椭球222f(x1,x2,x3)x1 2 x2 3x3 2 x1x2 2 x2x3 1与椭球222f 2y1(23)y2(23)y31体积相同记22D(y1,y2,y3)f(y1,y2,y3)2y12(2 3)y2(2 3)y31则dx dx dx dy dy dy12312341112 2=3223233-可修编.-结束语结束语我还记得清清楚楚,刚刚来到大学的时候,我对未来对大学生活充满了希望。我经常想我人生当中最重要的这四年时光我该怎么度过才能有真正的有意义,因而为它拼搏。我担心等到毕业的时候或者毕业之后后悔我过去的时光。因此,我尽自己的全力给大学生活填充了色彩,在校期间除了上课
34、认真学习之外我还参加了学生会,我在学生会工作了两年,我在哪里学会了很多,尤其是人际交往关系方面我有所收获。为了充足我周末时间去补习班学英语还有给高中生带家教。像我这样师 X 专业的学生来说带家教是一件积累经验的事情,而且我很喜欢教学生。我还有发过传单,暑假寒假期间在幼儿园当过老师。我觉得大学不仅仅是在学校好好学习当个好学生这么简单而是接触各种人和各种各样事情之后积累经验,慢慢成长,培养自我的地方。-可修编.-时光匆匆如水,转眼就是大学毕业的季节了,我的大学生活也该划上句号了。美丽的校园,给我们传递知识的老师和兄弟姐妹一样的同学们都要留在句号里面了。想到这些我很难过,但是毕竟还是要毕业了。这是一
35、次结束学业的考验又是开始新的人生的转折点。我很荣幸能够在这么美丽的 XX 师 X 大学度过我的四年大学。XX 师 X 大学像个母亲一样把我们每个学生抱在怀里为我们打造美好的校园,提供创造未来的道路。这里度过日子都是美好的,之前我担心过得事情没有发生。我在这里生活,学习很开心,因此我衷心的感谢XX 师 X 大学数学科学学院。离校日期逐日渐进,毕业论文也完成了,论文写作的完成一直都离不开指导老师和同学们的热心帮助,在此我特别感谢我的指导老师艾合买提老师,也感谢我身边支持我的朋友和同学你们在我关键的时刻鼓励我帮助我。感恩之情难以用言语量度,谨以最朴实的话语致以最崇高的敬意。其次我要感谢我的父母,你们的养育之恩无以回报,你们永远身体健康快乐是我最大的心愿。希望你们能够看到我更大的成就。参考文献:-可修编.-【1 1】X 禾瑞主编 高等代数(第五版)高等教育【2】许以超 主编 线性代数与矩阵论(第二版)高等教育【3】李林曙 施光燕主编线性代数中央广播电视大学【4】陈良国二次型与二次曲线和二次曲面【5】陈丽 二次型性质的简单应用(1)参考:中国知网学术;万方数据库。-可修编.
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