2022-2023学年江苏省南通市如皋市高二上学期期末数学试题(解析版).pdf
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1、第 1 页 共 18 页 2022-2023 学年江苏省南通市如皋市高二上学期期末数学试题 一、单选题 1已知平面的一个法向量13,0,n,平面的一个法向量22,1,6n,若,则()A92 B4 C1 D1【答案】C【分析】根据题意,由面面垂直可得法向量也相互垂直,结合空间向量的坐标运算,代入计算即可得到结果.【详解】因为,则可得12nn,且13,0,n,22,1,6n,则可得660,解得1 故选:C 2若直角三角形三条边长组成公差为 2 的等差数列,则该直角三角形外接圆的半径是()A52 B3 C5 D152【答案】C【分析】根据题意,设中间的边为a,由等差数列的定义,结合勾股定理即可得到a
2、的值,从而得到结果.【详解】由题意设中间的边为a,则三边依次为2,2aa a 由勾股定理可得22222aaa,解得8a或0a(舍)即斜边为210a,所以外接圆的半径为1052 故选:C 3已知P为双曲线22:133xyC与抛物线22yx的交点,则P点的横坐标为()A3 B2 C6 D1【答案】A【分析】根据给定条件,联立方程组并求解判断作答.【详解】依题意,220 xy,则由22223yxxy解得36xy,所以P点的横坐标为 3.第 2 页 共 18 页 故选:A 4若直线340 xym与圆2220 xyy相切,则实数m取值的集合为()A1,1 B9,1 C1 D8,2【答案】B【分析】根据题
3、意,由直线与圆相切可得dr,结合点到直线的距离公式,代入计算,即可得到结果.【详解】由圆2220 xyy可得2211xy,表示圆心为0,1,半径为1的圆,则圆心到直线340 xym的距离22434md,因为直线340 xym与圆2220 xyy相切,所以dr,即224134m,解得1m 或9m ,即实数m取值的集合为9,1 故选:B 5已知数列 na首项为 2,且112nnnaa,则na()A2n B121n C22n D122n【答案】D【分析】由已知的递推公式,利用累加法可求数列通项.【详解】由已知得112nnnaa,12a,则当2n时,有 12111221()()(222)nnnnnnn
4、aaaaaaaa,1212112 1 22222222221 2nnnnnnnaa 经检验当1n 时也符合该式122nna.故选:D 6如图,在直三棱柱111ABCABC中,CACB,P为1A B的中点,Q为棱1CC的中点,则下列结论不正确的是()第 3 页 共 18 页 A1PQAB BAC/平面1ABQ C1PQCC DPQ/平面ABC【答案】B【分析】A 选项可以利用三线合一证明垂直关系,B 选项可利用“线面平行时,直线无论怎么平移不会和平面相交”的性质来判断.C 选项先通过类似 A 选项的证明得到线线垂直,结合 AC 的结论得到线面垂直后判断,D 选项可以构造平行四边形,结合线面平行的
5、判定证明,【详解】不妨设棱柱的高为2h,ACCBx.B 选项,根据棱柱性质,11AC/AC,而11AC 平面11ABQA,若AC/平面1ABQ,无论怎样平移直线AC,都不会和平面1ABQ只有一个交点,于是得到矛盾,故 B 选项错误;A 选项,计算可得,221QAQBxh,又P为1A B的中点,故1PQAB(三线合一),A 选项正确;C 选项,连接11,QB QA AB,根据平行四边形性质,1AB过P,计算可得,221QAQBxh,又P为1AB的中点,故1PQAB(三线合一),结合 A 选项,1PQAB,11ABABP,11,AB AB 平面11ABB A,故PQ平面11ABB A,由1AA 平
6、面11ABB A,故PQ1AA,棱柱的侧棱1AA/1CC,故1PQCC,C 选项正确;D 选项,取AB中点E,连接,PE CE,结合P为1A B的中点可知,PE为1ABA中位线,故PE/1AA,且112PEAA,即PE/CQ,且PECQ,故四边形PECQ为平行四边形,故PQ/CE,由PQ 平面ABC,CE 平面ABC,故PQ/平面ABC,D 选项正确.故选:B 第 4 页 共 18 页 7在数列 na中,若存在不小于 2 的正整数k使得1kkaa且1kkaa,则称数列 na为“k 数列”.下列数列中为“k 数列”的是()Anbn B2nnb C9nbnn D123nbn【答案】C【分析】利用“
7、k 数列”定义逐项判断可得答案.【详解】对于 A,nbn,11nbn,1110 nnbbnn,数列 nb是单调递增数列,所以数列 nb不是“k 数列”,故 A 错误;对于 B,2nnb,112nnb,112220nnnnnbb,数列 nb是单调递增数列,所以数列 nb不是“k 数列”,故 B 错误;对于 C,对于函数 90f xxxx,令123xx,121212129x xfxfxxxx x,因为123xx,所以12120,9xxx x,12121290 x xxxx x,所以 12f xf x,f x在3,x上为单调递增函数,令2103xx,121212129x xfxfxxxx x,因为2
8、103xx,所以12120,09xxx x,12121290 x xxxx x,所以 12f xf x,f x在0,3x上为单调递减函数,所以对于9nbnn,当23n时,有1nnbb,当3n时,有1nnbb,存在3k 使得数列 nb是“k 数列”,故 C 正确;对于 D,11b ,2n时,因为23n的单调递增数列,123n是单调递减数列,所以不存在不第 5 页 共 18 页 小于 2 的正整数k使得1kkaa且1kkaa,所以数列 nb不是“k 数列”,故 D 错误.故选:C.8已知O为坐标原点,A点坐标为2,0,P是抛物线21:2Cyx在第一象限内图象上一点,M是线段AP的中点,则OM斜率的
9、取值范围是()A10,4 B2,C10,2 D20,4【答案】A【分析】设22,0Pyyy,可得221OMyky,再利用基本不等式可得答案.【详解】设22,0Pyyy,所以21,2yMy,所以22112141212OMyykyyyy,当且仅当1yy即1y 时等号成立,则OM斜率的取值范围是10,4.故选:A.二、多选题 9已知正四面体的棱长均为 1,分别以四个顶点中的两个点作为向量的起点与终点,在这些向量中两两的数量积可能是()A0 B12 C2 D3【答案】AB【分析】由cos,cos,1,1a baba ba b,排除 C、D;取,aAD bBC,求出0a b;取,aAD bAC,求出12
10、a b.即可判断 A、B.【详解】在正四面体ABCD中,棱长均为 1.第 6 页 共 18 页 任意以四个顶点中的两个点作为向量的起点与终点,得到的向量的模长为 1.任取两个向量,a b,则1ab.所以cos,cos,1,1a baba ba b.故 C、D 错误;取,aAD bBC.设BC中点为E,连接,AE DE.因为ABCD为正四面体,所以,AEBC DEBC.因为AEDEE,AE 面ADE,DE面ADE,所以BC面ADE.因为AD 面ADE,所以BCAD,所以,90a b.所以cos,cos900a ba b.故 A 正确;取,aAD bAC,则,60a b.所以1cos,cos602
11、a ba b.故 B 正确.故选:AB 10 已知椭圆2222:10 xyCabab的离心率为12,左,右焦点分别为1F,2F,P为椭圆上一点(异于左,右顶点),且12PFF的周长为 6,则下列结论正确的是()A椭圆C的焦距为 1 B椭圆C的短轴长为2 3 C12PF F面积的最大值为3 D椭圆C上存在点P,使得1290F PF【答案】BC【分析】根据12e,226ac解得,a b c可判断 AB;设00,P x y,由1 212012PF FSFFy知当P点为椭圆的上顶点或下顶点时面积最大,求出面积的最大值可判断 C;假设椭圆C上存在点P,设第 7 页 共 18 页 12,PFm PFn,求
12、出mn、mn,,m n可看作方程2460 xx,求出判别式可判断 D.【详解】由已知得12cea,226ac,解得2,1ac,2223bac,对于 A,椭圆C的焦距为22c,故 A 错误;对于 B,椭圆C的短轴长为22 3b,故 B 正确;对于 C,设00,P x y,1 2120012PF FSFFyc y,当P点为椭圆的上顶点或下顶点时面积的最大,此时03yb,所以12PFF面积的最大值为3,故 C 正确;对于 D,假设椭圆C上存在点P,使得1290F PF,设12,PFm PFn,所以24mna,22216244mnmnc,6mn,所以,m n是方程2460 xx,其判别式16240,所
13、以方程无解,故假设不成立,故 D 错误.故选:BC.11在棱长为2的正方体1111ABCDABC D中,下列结论正确的是()A异面直线1AB与CD所成角的为45 B异面直线11AB与1AC所成角的为45 C直线1AC与平面11ABB A所成角的正弦值为33 D二面角1CADB的大小为45【答案】ACD【分析】利用异面直线所成角的定义可判断 AB 选项;利用线面角的定义可判断 C 选项;利用二面角的定义可判断 D 选项.【详解】如下图所示:对于 A 选项,/CD AB,则1AB与CD所成的角为145BAB,A 对;第 8 页 共 18 页 对于 B 选项,11/AB AB,所以,1AC与11AB
14、所成角为1BAC或其补角,因为2AB,122 2BCBC,132 3ACAB,22211ABBCAC,则1ABBC,所以,11tan2BCBACAB,故145BAC,B 错;对于 C 选项,11BC 平面11AA B B,故直线1AC与平面11ABB A所成角为11B AC,1AB 平面11AAB B,则111BCAB,所以,111113sin3BCB ACAC,因此,直线1AC与平面11ABB A所成角的正弦值为33,C 对;对于 D 选项,AD 平面11CC D D,CD、1C D 平面11CC D D,则ADCD,1ADC D,所以,二面角1CADB的平面角为145CDC,D 对.故选:
15、ACD.12 已知数列 na的前n项和2nSn,数列 nb是首项和公比均为 2 的等比数列,将数列 na和 nb中的项按照从小到大的顺序排列构成新的数列 nc,则下列结论正确的是()A1216c B数列 nc中nb与1nb之间共有12n项 C22nnba D121nnnbc 【答案】AB【分析】根据题意可得:数列 na是以1为首项,2为公差的等差数列,则21nan,2nnb,然后根据数列的性质逐项判断即可求解.【详解】由题意可知:数列 na的前n项和2nSn,当1n 时,111aS;当2n时,121nnnaSSn;经检验,当1n 时也满足,所以21nan;又因为数列 nb是首项和公比均为 2
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