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1、第二节第二节 频率与概率频率与概率一一.频率的定义与性质频率的定义与性质描述一个随机事件发生的频繁程度描述一个随机事件发生的频繁程度1.定义定义 在相同的条件下,进行了在相同的条件下,进行了 n 次重复试验,次重复试验,记记 nA 是是 A 发生的次数发生的次数(又称为频数又称为频数);则定义则定义 随机事件随机事件 A 发生的频率为发生的频率为 fn(A)=。nA n2.频率的性质频率的性质 (1)(非负有界非负有界)0 fn(A)1;(2)(规范性规范性)fn(S)=1;(3)(有限可加有限可加)如果如果 A1,A2,Am 两两互不相容,则两两互不相容,则有:有:fn(A1A2 Am)=f
2、n(A1)fn(A2)fn(Am)(1)频率具有频率具有随机波动性随机波动性,即对于同一个随机事件,即对于同一个随机事件 来说,在相同的试验次数下,得到的频率也不来说,在相同的试验次数下,得到的频率也不 一定会相同。一定会相同。(2)频率还具有频率还具有稳定性稳定性,它总是在某一个具体数值,它总是在某一个具体数值 附近波动,而随着试验次数的不断增加,频率附近波动,而随着试验次数的不断增加,频率 的波动会越来越小,逐渐稳定在这个数值。的波动会越来越小,逐渐稳定在这个数值。大量的随机试验表明:大量的随机试验表明:频率的这种稳定性表明了随机现象也具有规律性,频率的这种稳定性表明了随机现象也具有规律性
3、,称为是统计规律称为是统计规律(大量试验下体现出来的规律大量试验下体现出来的规律)。然而实际上,我们不可能对每一个随机事件都去然而实际上,我们不可能对每一个随机事件都去做大量的试验后得到它的频率,并且做大量的试验后得到它的频率,并且有些随机事件也有些随机事件也无法去定义它们的频率无法去定义它们的频率。3.概率的频率定义概率的频率定义 自然地,可以采用一个随机事件的频率的稳定值自然地,可以采用一个随机事件的频率的稳定值去描述它在一次试验中发生的可能性大小,即用频率去描述它在一次试验中发生的可能性大小,即用频率的极限来作为概率的定义。的极限来作为概率的定义。例如下面的一些情况,必须看成是随机事件:
4、例如下面的一些情况,必须看成是随机事件:1.公司认为明年的利润将增长公司认为明年的利润将增长 10%。2.期末考试时,概率课成绩合格。期末考试时,概率课成绩合格。3.我这次买的一张足球彩票将获得一等奖。我这次买的一张足球彩票将获得一等奖。Remark(1)有些现象被看成是随机的,原因是对它们的研究有些现象被看成是随机的,原因是对它们的研究 超出了人类目前的能力。比如:超出了人类目前的能力。比如:“宇宙中存在着地外文明宇宙中存在着地外文明”可以被认为是随机事件。可以被认为是随机事件。(2)注意下面两个事件的区别:注意下面两个事件的区别:“某人的手机在何时将会接到一个呼叫某人的手机在何时将会接到一
5、个呼叫”与与 “现在打来电话的是朋友还是陌生人现在打来电话的是朋友还是陌生人”。思考思考.分析苏轼水调歌头分析苏轼水调歌头中秋中一句:中秋中一句:人有悲欢离合,月有阴晴圆缺,人有悲欢离合,月有阴晴圆缺,这种概率称为这种概率称为主观概率主观概率,表示对某事件发生与否的相,表示对某事件发生与否的相信程度。它适用于对只出现一次而不能重复的事件进行概信程度。它适用于对只出现一次而不能重复的事件进行概率描述,而频率的解释则适用于能大量重复的随机事件。率描述,而频率的解释则适用于能大量重复的随机事件。批评:批评:如果概率是人的主观信念的数量度量,那么概率如果概率是人的主观信念的数量度量,那么概率论就很象心
6、理学的一个分支,而对概率进行纯主观的解释论就很象心理学的一个分支,而对概率进行纯主观的解释最终将导致唯心论。最终将导致唯心论。辩解:辩解:客观上有很多只出现一次而又需要作出决策的事客观上有很多只出现一次而又需要作出决策的事件,决策人通过主观概率把自己的以数据、分析和经验为件,决策人通过主观概率把自己的以数据、分析和经验为依据的判断表示为数量形式,就可以利用概率的整套数学依据的判断表示为数量形式,就可以利用概率的整套数学理论和工具得到结论,这些结论对决策往住非常有用。理论和工具得到结论,这些结论对决策往住非常有用。随机事件随机事件 A 的概率,它的实际意义就是:的概率,它的实际意义就是:这个事件
7、在一次试验中发生的可能性大小。这个事件在一次试验中发生的可能性大小。二二.概率的数学定义概率的数学定义1.定义定义 S 是随机试验是随机试验 E 的样本空间,如果对于的样本空间,如果对于 每一个随机事件每一个随机事件 A 定义一个实数定义一个实数 P(A),满足:,满足:(1)(非负性非负性)对任意的随机事件对任意的随机事件 A,有,有 P(A)0;(2)(规范性规范性)对必然事件对必然事件 S,有,有 P(S)=1;(3)(可列可加可列可加)对于任意一列两两不相容的随机事件对于任意一列两两不相容的随机事件 A1,A2,则有:,则有:P(A1A2 )=P(A1)P(A2)则这个集合函数则这个集
8、合函数 P(A)就称为随机事件就称为随机事件 A 的概率。的概率。(1)不可能事件的概率为零:不可能事件的概率为零:P()=0;(2)有限可加性:对于任意有限个两两不相容的随机有限可加性:对于任意有限个两两不相容的随机 事件事件 A1,Am,则有:,则有:P(A1 Am)=P(A1)P(Am);(3)概率具有单调性:如果概率具有单调性:如果 A B,则,则P(A)P(B);(4)随机事件的概率不超过随机事件的概率不超过 1:P(A)1。2.概率的基本性质概率的基本性质证明证明.利用概率定义中的可列可加以及非负性等。利用概率定义中的可列可加以及非负性等。三三.概率的几个重要公式概率的几个重要公式
9、1.对立事件的概率对立事件的概率,P()=1 P(A)。2.减法公式减法公式,P(B A)=P(B)P(AB)。特别的当特别的当A B,则,则P(B A)=P(B)P(A)3.加法公式加法公式,P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)。推论:推论:P(AB)P(A)+P(B)阅读材料阅读材料一般的加法公式一般的加法公式 对于任意的对于任意的 n 个随机事件个随机事件 A1,A2,An,有有 P(A1A2 An)=练习练习 利用概率的加法公式证明:利用概率的加法公式证明:P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(BC)P(AC)+P(ABC)例例 假定假定“B 发生而发生而 A 不
10、发生不发生”的概率是的概率是0.2,计算计算“A 发生或者发生或者 B 不发生不发生”的概率。的概率。解解.转化成符号表示,即已知转化成符号表示,即已知 P(B A)=0.2,需要计算的是概率:需要计算的是概率:解法解法1.利用对立事件的概率公式利用对立事件的概率公式解法解法2.利用概率的加法公式利用概率的加法公式例例 假定假定 P(A)=0.3,P(B)=0.5,分别计算,分别计算 (1)A、B 不相容;不相容;(2)A B;(3)P(AB)=0.7 时时 概率概率P(B A)的值。的值。解。分析:由减法公式,解。分析:由减法公式,P(B A)=P(B)P(AB)只需要计算出概率只需要计算出
11、概率 P(AB)。(1)A、B互不相容即互不相容即 AB=,得到,得到 P(B A)=0.5;(2)A B 等价于等价于 AB=A,得到,得到 P(B A)=0.2;(3)利用加法公式的另一形式:利用加法公式的另一形式:P(AB)=P(A)+P(B A),得到得到P(B A)=0.4。例例 假定假定 P(A)=0.6,P(B)=0.7,(1)什么情况下什么情况下 P(AB)最大?最大值是多少?最大?最大值是多少?(2)什么情况下什么情况下 P(AB)最小?最小值又是多少?最小?最小值又是多少?解解.(1)对任意事件对任意事件 A、B,P(AB)有一个上界,有一个上界,P(AB)min P(A)
12、,P(B);(2)根据概率的加法公式根据概率的加法公式,P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)当当 P(AB)最大时,最大时,P(AB)最小。最小。A B 时时P(AB)最大,最大值就等于最大,最大值就等于P(A)=0.6 AB=S 时时P(AB)最小,最小值就是最小,最小值就是 P(AB)=0.3 例例 假定某学院一年级新生共假定某学院一年级新生共 1000 人人 都参加期末都参加期末 3 门课程门课程(数学、英语、政治数学、英语、政治)考试。已知数据如下:考试。已知数据如下:问三门课程都不及格的有多少人问三门课程都不及格的有多少人?或者等价的,?或者等价的,全部课程都不及格的学生占多大的
13、比例?全部课程都不及格的学生占多大的比例?730690810数学数学780英语英语850政治政治9401000650解解.分析:从这分析:从这 1000 个学生中随机地选取一个,个学生中随机地选取一个,分别用分别用 A、B、C 表示如下事件:表示如下事件:A=数学及格数学及格,B=英语及格英语及格,C=政治及格政治及格 需要求出的是概率:需要求出的是概率:根据题意,有:根据题意,有:P(A)=0.78,P(B)=0.85,P(C)=0.94,P(AB)=0.73,P(AC)=0.69,P(BC)=0.81,P(ABC)=0.65;利用概率的加法公式可算出利用概率的加法公式可算出 P(ABC)=
14、0.99,因此随机选一个学生,他的三门课程都不及格的概率因此随机选一个学生,他的三门课程都不及格的概率=1 P(ABC)=0.01一一.等可能概型等可能概型(古典概型古典概型)的定义的定义如果一个随机试验如果一个随机试验 E 满足:满足:(1)试验的样本空间试验的样本空间 S 只包含有限个样本点,只包含有限个样本点,(2)每一个样本点发生的可能性相同。每一个样本点发生的可能性相同。这种随机试验就称为等可能概型,或古典概型。这种随机试验就称为等可能概型,或古典概型。古典概率的计算公式古典概率的计算公式P(A)=随机事件随机事件 A 包含的样本点个数包含的样本点个数样本空间样本空间 S 包含的样本
15、点总数包含的样本点总数练习练习 抛一枚均匀硬币三次,计算抛一枚均匀硬币三次,计算P 恰好出现一次正面恰好出现一次正面。提示:这里有两种构造样本空间的形式,提示:这里有两种构造样本空间的形式,以随机试验的全部结果构造以随机试验的全部结果构造 S1=HHH,HHT,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT 因此因此 P(A)=3/8;以正面出现的次数构造以正面出现的次数构造 S2=0,1,2,3 因此因此 P(A)=1/4。古典概型问题中,样本空间的构造必须古典概型问题中,样本空间的构造必须 保证其中的每个样本点发生的可能性都相同。保证其中的每个样本点发生的可能性都相同。1.加法原理与乘法原
16、理加法原理与乘法原理 假设做一件事情可以采用假设做一件事情可以采用 A 或或 B 两类不同的方式两类不同的方式,A 方式有方式有 n 种不同的方法可以完成这件事,种不同的方法可以完成这件事,B 方式方式有有 m 种不同的方法可以完成这件事。种不同的方法可以完成这件事。则完成这件事情一共有则完成这件事情一共有 nm 种不同的方法种不同的方法。如果有若干类方式,就把所有方式的各种方法全部相加如果有若干类方式,就把所有方式的各种方法全部相加二二.排列组合的有关知识排列组合的有关知识加法原理加法原理则从甲城市到乙城市一共有:则从甲城市到乙城市一共有:243=9 条线路条线路:2:4:3城市甲城市甲城市
17、乙城市乙练习练习 分析两颗均匀骰子抛掷出的点数和分析两颗均匀骰子抛掷出的点数和 2,3,12 的全部情况,它们各自对应多少个样本点?的全部情况,它们各自对应多少个样本点?假设做一件事必须经过假设做一件事必须经过 A 与与 B 两个不同的步骤两个不同的步骤,步骤步骤 A 包含了包含了 n 种不同的方法,步骤种不同的方法,步骤 B 包含了包含了 m 种种不同的方法。不同的方法。则完成这件事情一共有则完成这件事情一共有 nm 种不同的方法种不同的方法。如果有若干个步骤,就把所有步骤的各种方法全部相乘如果有若干个步骤,就把所有步骤的各种方法全部相乘练习练习1.3.3 讨论足球彩票与六合彩这两种彩票,每
18、种讨论足球彩票与六合彩这两种彩票,每种 彩票包含的全部可能结果有多少?彩票包含的全部可能结果有多少?乘法原理乘法原理:2:4:3城市甲城市甲城市乙城市乙乡村丙乡村丙 2 3从甲城市到丙乡村的线路从甲城市到丙乡村的线路一共有:一共有:9(3 2)条。条。从从 n 个不同的物体中个不同的物体中,无放回地任意取出无放回地任意取出 m 个个(1 m n)排成有顺序的一列排成有顺序的一列,称为称为 n 取取 m 的的不可重复排列不可重复排列(又称为:又称为:选排列选排列)。(1)不可重复的排列不可重复的排列2.基本的排列组合公式基本的排列组合公式不同的排列方法一共有:不同的排列方法一共有:Pnm =n(
19、n 1)(n m+1)=例如从例如从 26 个英文字母中任取个英文字母中任取 2 个字母排列,个字母排列,所有不同的方式一共有所有不同的方式一共有 P262=2625=650。n!(n m)!思考思考 1:假定假定 40 个人的生日都是随机地分布在个人的生日都是随机地分布在 一年的一年的 365 天中,则天中,则“没有两个人的生日相同没有两个人的生日相同”所包含的不所包含的不同同 排列方式一共有排列方式一共有 P36540 。把把 m 个个不同的小球不同的小球随机地放进随机地放进 n 个个不同的盒子不同的盒子中,中,每个盒子里的小球每个盒子里的小球最多只能有一个最多只能有一个。所有不同的放法一
20、共有所有不同的放法一共有 Pnm 种。种。有限制放球模型有限制放球模型 不可重复排列不可重复排列(2)允许重复的排列允许重复的排列 从从 n 个不同元素中允许放回,任意取个不同元素中允许放回,任意取 m 个出来个出来排成有顺序的一列排成有顺序的一列(即取出的这些元素可以相同即取出的这些元素可以相同)。所有不同的排列方式一共有所有不同的排列方式一共有 nnn=nmm 例如,一个城市的电话号码是例如,一个城市的电话号码是 8 位数字,那么位数字,那么理论上这个城市可以容纳理论上这个城市可以容纳 108,即一亿门电话即一亿门电话。足球彩票有足球彩票有 313 种可能,六合彩有种可能,六合彩有 106
21、 种可能等等。种可能等等。无限制放球模型无限制放球模型 允许重复排列允许重复排列 把把 m 个个不同的小球不同的小球随机地放进随机地放进 n 个个不同的盒子不同的盒子中,中,每个盒子里的小球每个盒子里的小球个数不加任何限制个数不加任何限制。所有不同的放法一共有所有不同的放法一共有 nm 种。种。思考思考 2:假定假定 40 个人的生日都是随机地分布在个人的生日都是随机地分布在 一年的一年的 365 天中,则所有不同的排列方式一共有天中,则所有不同的排列方式一共有 365 40。练习练习1.3.4 随机找随机找 40 个人中至少有两个人生日相同的概率?个人中至少有两个人生日相同的概率?(3)二项
22、式组合二项式组合 从从 n 个不同元素中不允许放回,任意取个不同元素中不允许放回,任意取 m 个个(m n)来构成一个集合,称为来构成一个集合,称为 n 取取 m 的组合。的组合。构成这个集合的不同的组合方法一共有构成这个集合的不同的组合方法一共有 Cnm。几个基本的组合公式:几个基本的组合公式:Cnm=Cn n m ,Cn0=Cnn=1,mn=0 Cnm =2n,(x+y)n =mn=0 Cnm xm yn m Cnm =n!Pnmm!(n m)!m!例例1.3.5 某人的某人的 10 张张100元纸币中有元纸币中有 3 张假钞,现在张假钞,现在 从中随机抽出从中随机抽出 4 张。张。则所有
23、不同的取法一共有:则所有不同的取法一共有:恰好只取出一张假钞的所有取法一共有:恰好只取出一张假钞的所有取法一共有:C104 =210 种,种,C31C73=3 =105 种,种,恰好只取出一张假钞的概率为恰好只取出一张假钞的概率为 105/210=0.5,同理,取到的全是真币的概率为同理,取到的全是真币的概率为 35/210=1/6。思考思考 3:假如这是一个赌局。当取到的假如这是一个赌局。当取到的 4 张都是真币,张都是真币,则归你所有;否则输则归你所有;否则输100元。你是否愿意参加?元。你是否愿意参加?10987 4!765 3!例如,把例如,把 15 个学生平均分到个学生平均分到 3
24、个班里,每班个班里,每班5 个,则所有不同的分配方案有:个,则所有不同的分配方案有:_(4)多项式组合多项式组合 把把 n 个不同的元素分成个不同的元素分成 k 个部分,各个部分个部分,各个部分包含的元素个数分别是:包含的元素个数分别是:m1,m2,mk;则全部不同的分配方式一共有:则全部不同的分配方式一共有:二项式组合的推广二项式组合的推广 15!5!5!5!(2)介绍的介绍的 4 种排列组合方式都具有等可能性种排列组合方式都具有等可能性。Remark(1)排列与组合的区别在于:排列与组合的区别在于:排列必须考虑顺序,而组合不考虑顺序排列必须考虑顺序,而组合不考虑顺序。(3)排列与组合都可以
25、用来构造样本空间。排列与组合都可以用来构造样本空间。古典概率的计算,一般是先求出样本空间里的样本点古典概率的计算,一般是先求出样本空间里的样本点 总数,再从中挑选出随机事件包含的样本点个数。总数,再从中挑选出随机事件包含的样本点个数。一个接一个取:排列;一次取若干个:组合一个接一个取:排列;一次取若干个:组合三三.古典概率的一些典型计算古典概率的一些典型计算例例 在在 N 件产品中包含了件产品中包含了 M 件次品,分别件次品,分别 采取无放回与有放回这两种抽样方式从中随机采取无放回与有放回这两种抽样方式从中随机 取出取出 n 件产品,求恰好取出了件产品,求恰好取出了 k 件次品的概率。件次品的
26、概率。解解.(无放回抽样的情况无放回抽样的情况)把所有的产品编号,样本空间构造成:把所有的产品编号,样本空间构造成:从从 N 件不同件不同 产品中同时取出产品中同时取出 n 件产品的所有的件产品的所有的二项组合二项组合方式;方式;因此,样本空间里的样本点总数一共有因此,样本空间里的样本点总数一共有CNn。1.随机抽样模型随机抽样模型 利用乘法原理,利用乘法原理,“取出的取出的 n 件产品中包含了件产品中包含了 k 件件次品次品”这个随机事件的讨论分解成两个步骤:这个随机事件的讨论分解成两个步骤:因此,无放回抽样时恰好取出因此,无放回抽样时恰好取出 k 件次品的概率为:件次品的概率为:概率论中称
27、为是概率论中称为是超几何分布超几何分布的概率公式的概率公式M 件次品中件次品中取取 k 个次品个次品CMkN M 件合格品件合格品取出取出 n k 件件CN M n k(有放回抽样的情况有放回抽样的情况)仍然把所有产品编号,样本空间构造为:一个接一个从仍然把所有产品编号,样本空间构造为:一个接一个从 N 件产品中取出件产品中取出 n 件产品的所有不同的件产品的所有不同的有放回排列有放回排列方式;方式;此时,样本空间中的样本点总数一共有此时,样本空间中的样本点总数一共有 N n 个。个。取出的取出的 n 个产品中个产品中究竟哪究竟哪 k 个是次品个是次品CnkM 件次品中件次品中取取 k 个次品
28、个次品 M kN M 件合格品件合格品取出取出 n k 件件(N M)n k因此,有放回抽样时恰好取出因此,有放回抽样时恰好取出 k 件次品的概率为:件次品的概率为:概率论中称为是概率论中称为是二项分布二项分布的概率公式的概率公式购买彩票的购买彩票的“秘诀秘诀”从从 135 个号码中随机抽取个号码中随机抽取 7 个号码,个号码,全部可能一共有:全部可能一共有:C357 =6,724,520奇数号码与偶数号码之比:奇数号码与偶数号码之比:5:2 =C185 C172 4:3 =C184 C173 3:4 =C183 C174 0.1733 0.3094 0.2888 每个盒里最多一个小球,即每个
29、盒里最多一个小球,即有限制的放球模型有限制的放球模型,包含的样本点个数是包含的样本点个数是 PNn 个。因此,个。因此,每个小球都各占一个盒子的概率是每个小球都各占一个盒子的概率是 p=。例例 把把 n 个小球随机放进个小球随机放进 N(n N)个盒子里,个盒子里,即每个小球都以同样的概率即每个小球都以同样的概率 1/N 落入某个盒子中。落入某个盒子中。计算每个盒子里最多只有计算每个盒子里最多只有一个小球的概率。一个小球的概率。解解.由于每个小球都可以被放进由于每个小球都可以被放进 N 个盒子中的任何个盒子中的任何 一个,因此根据一个,因此根据无限制的放球模型无限制的放球模型,样本空间中,样本
30、空间中 包含的样本点总数有包含的样本点总数有 N n 个;个;2.随机分配模型随机分配模型 PNn N n生日问题生日问题 假定每个人的生日在一年假定每个人的生日在一年 365 天里是等可能的,天里是等可能的,随机挑选随机挑选 n(n 365)个人,那么至少有两个人的个人,那么至少有两个人的生日相同的概率是:生日相同的概率是:p=1 n 20 23 30 40 50 64 80 100p 0.411 0.507 0.706 0.891 0.970 0.997 0.999 0.9999997 P365n 365 n解解.对复杂随机事件的概率,讨论它的对立事件对复杂随机事件的概率,讨论它的对立事件
31、例例 一颗骰子掷一颗骰子掷 4 次至少得到一个六点与两颗骰子次至少得到一个六点与两颗骰子 掷掷 24 次至少得到一个双六,哪一种情况更容易出现?次至少得到一个双六,哪一种情况更容易出现?3.德德 梅尔问题梅尔问题 “一颗骰子掷一颗骰子掷 4 次次”一共有一共有 6 4 种可能情况,种可能情况,其中,其中,“一个六点都没有出现一个六点都没有出现”包含了包含了5 4 种;种;因此,一颗抛因此,一颗抛 4 次至少一个六点的概率为:次至少一个六点的概率为:p1 =1 0.52;54 64 同理,同理,“两颗骰子掷两颗骰子掷 24 次次”一共有一共有 36 24 种可能,种可能,其中,其中,“一个双六都
32、没有出现一个双六都没有出现”包含了包含了35 24 种;种;因此,两颗抛因此,两颗抛 24 次至少一个双六的概率为:次至少一个双六的概率为:即,更可能的是一颗抛即,更可能的是一颗抛 4 次至少出现一个六点。次至少出现一个六点。练习练习 抛掷两颗骰子,最可能出现的点数和是哪一个?抛掷两颗骰子,最可能出现的点数和是哪一个?p2 =1 0.49 35 24 36 245.从装有从装有 3 个黑球和个黑球和 2 个白球的盒子中一个接个白球的盒子中一个接 一个地随机取出一个地随机取出 2 个小球。个小球。(1)分别计算第一个、第二个小球是黑球的概率;分别计算第一个、第二个小球是黑球的概率;(2)取出的两
33、个都是黑球的概率;取出的两个都是黑球的概率;(3)如果抽样的方式改成:一次就从如果抽样的方式改成:一次就从 5 个小球中个小球中 取出取出 2 个,问取出的这两个都是黑球的概率。个,问取出的这两个都是黑球的概率。说明:说明:(1)中的两个概率相同,而这种结论对一般情况也成立;中的两个概率相同,而这种结论对一般情况也成立;(2)与与(3)的概率也相同。的概率也相同。更一般地,无放回的抽样问题中,更一般地,无放回的抽样问题中,“一个接一个取一个接一个取”可可以看成是以看成是“一次取若干一次取若干”,算出的概率都是相同的,算出的概率都是相同的。第四节第四节 几何概率几何概率古典概型的本质特征:古典概
34、型的本质特征:样本空间中样本点个数有限,样本空间中样本点个数有限,每一个样本点都是等可能发生的。每一个样本点都是等可能发生的。问题问题 1.假设车站每隔假设车站每隔 10 分钟发一班车,随机到达车分钟发一班车,随机到达车站,问等车时间不超过站,问等车时间不超过 3 分钟的概率分钟的概率?问题问题 2.已确定失事飞机的黑匣子可能落在面积已确定失事飞机的黑匣子可能落在面积 1 千千平方公里的海域,调查人员每次出海搜索的区域面积平方公里的海域,调查人员每次出海搜索的区域面积为为 50 平方公里,假设在这片海域随机地选择一点进行平方公里,假设在这片海域随机地选择一点进行搜寻,问能够找到黑匣子的概率是多
35、少?搜寻,问能够找到黑匣子的概率是多少?几何概率模型:几何概率模型:把古典概率模型中把古典概率模型中“样本点个数有限样本点个数有限”的条的条件件去掉,仍然保留去掉,仍然保留“样本点等可能发生样本点等可能发生”。此时,不需要再给出每个样本点发生的概率此时,不需要再给出每个样本点发生的概率几何概率的计算公式几何概率的计算公式P(A)=随机事件随机事件 A 包含的样本点测度包含的样本点测度样本空间样本空间 S 包含的样本点测度包含的样本点测度 3.古典概型中的古典概型中的“样本点样本点个数个数”也是一种测度。也是一种测度。2.几何概率里的测度一般取为几何概率里的测度一般取为长度、面积、体积长度、面积
36、、体积等等。等等。关于关于“测度测度”(measure)的理解的理解1.“.“测度测度”是一个数学概念,它是我们现实生活中的是一个数学概念,它是我们现实生活中的 “度量度量”概念的数学抽象概念的数学抽象 (一种集合函数一种集合函数)。4.前面课程中对前面课程中对“概率概率”的定义就是一种测度定义。的定义就是一种测度定义。p =0.3。解解.以两班车出发间隔以两班车出发间隔 (0,10)区间作为样本空间区间作为样本空间 S,乘客随机地到达,即在这个长度是乘客随机地到达,即在这个长度是 10 的区间里任何的区间里任何 一个点都是等可能地发生,因此是几何概率问题。一个点都是等可能地发生,因此是几何概
37、率问题。例例1.4.1 假设车站每隔假设车站每隔 10 分钟发一班车,随机分钟发一班车,随机 到达车站,问等车时间不超过到达车站,问等车时间不超过 3 分钟的概率分钟的概率?要使得等车的时间不超过要使得等车的时间不超过 3 分钟,即到达的时刻应该是分钟,即到达的时刻应该是图中图中 A 包含的样本点,包含的样本点,0 S 10 A 的长度的长度 S 的长度的长度 310p =1 =5/9。解解.以以 7 点为坐标原点,点为坐标原点,小时为单位。小时为单位。x,y 分别表示分别表示两人到达的时间,两人到达的时间,(x,y)构成边长为构成边长为 1 的正方形,的正方形,显然这是一个几何概率问题。显然这是一个几何概率问题。例例 两人相约于两人相约于 7 时到时到 8 时在公园见面,先到者时在公园见面,先到者 等候等候 20 分钟就可离去,求两人能够见面的概率。分钟就可离去,求两人能够见面的概率。11 o x yS 1/3 1/3他们能见面的充要条件是他们能见面的充要条件是|x y|1/3,因此,因此,A x y =1/3 x y =1/3 A 的面积的面积 S 的面积的面积49
限制150内