(新课标)2020版高考数学二轮复习专题八数学文化及数学思想第2讲函数与方程思想、数形结合思想学案文.pdf
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1、第 2 讲 函数与方程思想、数形结合思想 一 函数与方程思想 函数思想 方程思想 函数思想是通过建立函数关系或构造函数,运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题,从而使问题得到解决的思想 方程思想就是建立方程或方程组,或者构造方程,通过解方程或方程组或者运用方程的性质去分析、转化问题,使问题得到解决的思想 函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的,是相辅相成的,函数思想重在对问题进行动态的研究,方程思想则是在动中求静,研究运动中的等量关系 构建“函数关系”解决问题 典型例题 已知数列an是各项均为正数的等差数列若a12,且a2,a3,a41 成等比数列(1)求数列an的通项公式an;(2)
2、设数列an的前n项和为Sn,bn1Sn1错误!错误!,若对任意的nN*,不等式bnk恒成立,求实数k的最小值【解】(1)因为a12,a错误!a2(a41),又因为an是正项等差数列,所以公差d0,所以(22d)2(2d)(33d),解得d2 或d1(舍去),所以数列an的通项公式an2n.(2)由(1)知Snn(n1),则错误!错误!错误!错误!。所以bn错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!,令f(x)2x错误!(x1),则f(x)2错误!0 恒成立,所以f(x)在1,)上是增函数,所以当x1 时,f(x)minf(1)3,即当n1 时,(bn)max错误!,要使对任意
3、的正整数n,不等式bnk恒成立,则须使k(bn)max错误!,所以实数k的最小值为错误!。错误!数列是定义在正整数集上的特殊函数,等差、等比数列的通项公式,前n项和公式都具有隐含的函数关系,都可以看成关于n的函数,在解等差数列、等比数列问题时,有意识地发现其函数关系,从而用函数思想或函数方法研究、解决问题,不仅能获得简便的解法,而且能促进科学思维的培养,提高发散思维的水平 对点训练 1对于满足 0p4 的所有实数p,使不等式x2px4xp3 成立的x的取值范围是_ 解析:设f(p)(x1)px24x3,则当x1 时,f(p)0。所以x1.f(p)在 0p4 时恒为正,等价于错误!即错误!解得x
4、3 或x1.故x的取值范围为(,1)(3,)答案:(,1)(3,)2(2018高考北京卷)若ABC的面积为错误!(a2c2b2),且C为钝角,则B_;错误!的取值范围是_ 解析:ABC的面积S12acsin B错误!(a2c2b2)错误!2accos B,所以 tan B错误!,因为 0B180,所以B60.因为C为钝角,所以 0A30,所以0tan A错误!,所以错误!错误!错误!错误!错误!错误!2,故错误!的取值范围为(2,)答案:60(2,)3已知a,b,c为空间中的三个向量,又a,b是两个相互垂直的单位向量,向量c满足|c3,ca2,cb1,则对于任意实数x,y,cxayb的最小值为
5、_ 解析:由题意可知a|b|1,ab0,又c3,ca2,cb1,所以|cxayb2|c|2x2|a|2y2b|22xca2ycb2xyab 9x2y24x2y(x2)2(y1)24,当且仅当x2,y1 时,(cxayb2)min4,所以cxayb的最小值为 2.答案:2 组建“方程形式”解决问题 典型例题 (一题多解)已知 sin()错误!,sin()错误!,求错误!的值【解】法一:由已知条件及正弦的和(差)角公式,得 错误!所以 sin cos 错误!,cos sin 错误!。从而tan tan 错误!错误!。法二:令x错误!.因为错误!错误!,且错误!错误!错误!错误!错误!。所以得到方程
6、错误!错误!,解这个方程得错误!x错误!。错误!运用方程的思想,把已知条件通过变形看作关于 sin cos 与 cos sin 错误!的方程来求解,从而获得欲求的三角表达式的值 对点训练 1设非零向量a,b,c满足abc0,a2,b,c120,则b的最大值为_ 解析:因为abc0,所以a(bc),所以|a|2b|22b|ccos 120c2,即c|2bc|b240,所以|b|24(|b|24)0,解得 0b错误!,即b的最大值为错误!.答案:错误!2(2018高考全国卷)已知点M(1,1)和抛物线C:y24x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点若AMB90,则k_ 解析:由题意知抛物
7、线的焦点为(1,0),则过C的焦点且斜率为k的直线方程为yk(x1)(k0),由错误!消去y得k2(x1)24x,即k2x2(2k24)xk20,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2错误!,x1x21.由错误!消去x得y24错误!,即y2错误!y40,则y1y2错误!,y1y24,由AMB90,得错误!错误!(x11,y11)(x21,y21)x1x2x1x21y1y2(y1y2)10,将x1x22k24k2,x1x21 与y1y24k,y1y24 代入,得k2.答案:2 二 数形结合思想 以形助数(数题形解)以数辅形(形题数解)借助形的生动性和直观性来阐述数之间的关系,把数转化为
8、形,即以形作为手段、数作为目的的解决数学问题的数学思想 借助于数的精确性、规范性及严密性来阐明形的某些属性,即以数作为手段、形作为目的的解决问题的数学思想 数形结合思想通过“以形助数,以数辅形,使复杂问题简单化,抽象问题具体化,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质,它是数学的规律性与灵活性的有机结合 巧用数形结合思想解决问题 典型例题 已知函数g(x)ax22x,f(x)错误!且函数yf(x)x恰有 3 个不同的零点,则实数a的取值范围是_【解析】f(x)错误!yf(x)x恰有 3 个不同的零点等价于yf(x)与yx有三个不同的交点,试想将曲线f(x)上下平移使之与yx有三个交点
9、是何等的复杂,故可变形再结合图象求解 由f(x)x错误!可得f(x)xa错误!所以yf(x)x有三个零点等价于 a错误!有三个根令h(x)错误!画出yh(x)的图象如图所示,将水平直线ya从上向下平移,当a0 时,有两个交点,再向下平移,有三个交点,当a1 时,有三个交点,再向下就只有两个交点了,因此a1,0)【答案】1,0)错误!利用数形结合探究方程解的问题应注意两点(1)讨论方程的解(或函数的零点)一般可构造两个函数,使问题转化为讨论两曲线的交点问题,但用此法讨论方程的解一定要注意图象的准确性、全面性、否则会得到错解(2)正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键,数形结合应以快和准为原则
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