2019高考数学三轮冲刺 专题 圆锥曲线中的综合问题练习(含解析).doc
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1、1圆锥曲线中的综合问题圆锥曲线中的综合问题一、选择题(本大题共 12 小题,共 60 分)1. 已知 F 为抛物线的焦点,点 A,B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧,其中 O 为坐标原2= = 2(点 ,则与面积之和的最小值是 ) ()A. 2 B. 3 C. D. 17 2810(正确答案)B解:设直线 AB 的方程为:,点, = + (1,1)(2,2)直线 AB 与 x 轴的交点为,(,0)由,根据韦达定理有, = + 2= ?2 = 01 2= , = 2 1 2+ 1 2= 2结合及,得,21= 122= 2(1 2)2+ 1 2 2 = 0点 A,B 位于 x 轴的两侧,故 1
2、2= 2 = 2不妨令点 A 在 x 轴上方,则,又,1 0(14,0), + 12 2 (1 2) +1 21 41=9 81+2 1 29 812 1= 3当且仅当,即时,取“”号,9 81=2 11=4 3=与面积之和的最小值是 3,故选 B 可先设直线方程和点的坐标,联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程,再利用韦达定理及消元,最后将面积之和表示出来,探求最值问题 = 2求解本题时,应考虑以下几个要点:1、联立直线与抛物线的方程,消 x 或 y 后建立一元二次方程,利用韦达定理与已知条件消元,这是处理此类问题的常见模式2、求三角形面积时,为使面积的表达式简单,常根据图形的特征选择适
3、当的底与高3、利用基本不等式时,应注意“一正,二定,三相等”2. 已知椭圆 E:的右焦点为 F,短轴的一个端点为 M,直线 l:交椭圆 E22+22= 1( 0) 3 4 = 0于 A,B 两点,若,点 M 到直线 l 的距离不小于 ,则椭圆 E 的离心率的取值范围是 | + | = 44 5()A. B. C. D. (0,32(0,3432,1)34,1)(正确答案)A2解:如图所示,设为椭圆的左焦点,连接,则四边形是平行四边形, 4 = | + | = | + | = 2 = 2取,点 M 到直线 l 的距离不小于 ,解得(0,)4 5|4|32+ 424 5 1 = = 1 221 1
4、22=32椭圆 E 的离心率的取值范围是(0,32故选:A如图所示,设为椭圆的左焦点,连接,则四边形是平行四边形,可得取,由点 M 到直线 l 的距离不小于 ,可得,解得4 = | + | = | + | = 2.(0,)4 5|4|32+ 424 5再利用离心率计算公式即可得出 1. = = 1 22本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、点到直线的距离公式、不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题3. 已知点是椭圆 C:的左顶点,过点 P 作圆 O:的切线,切点( 2 2,0)22+22= 1( 0) 2+ 2= 4为 A,B,若直线 AB 恰好过椭圆 C 的左焦点 F,则的值是
5、2+ 2()A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 (正确答案)C解:由题意, = 2 2过点 P 作圆 O:的切线,切点为 A,B,若直线 AB 恰好过椭圆 C 的左焦点 F,2+ 2= 4, = 45( 2,0), = 2 2= 8 2 = 6, 2+ 2= 8 + 6 = 14故选 C由题意,过点 P 作圆 O:的切线,切点为 A,B,若直线 AB 恰好过椭圆 C 的左焦点 F, = 2 2.2+ 2= 4可得,即可求出的值( 2,0)2+ 2本题考查椭圆的方程与性质,考查直线与圆的位置关系,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题4. 已知抛物线的焦点为 F,准线为 l,经过 F
6、 且斜率为的直线与抛物线在 x 轴上方的部分交于 A2= 43点,垂足为 K,则的面积为 ()A. 4 B. C. D. 834 3(正确答案)C解:由抛物线的定义可得,则 = 的斜率等于,的倾斜角等于, 3 60 ,故为等边三角形 = 60 又焦点,AF 的方程为,(1,0) 0 = 3( 1)3设,(, 3 3) 1由得, = ( 1)2+ ( 3 3)2= + 1,故等边三角形的边长, = 3 = + 1 = 4的面积是, 1 2 4 460= 4 3故选:C先判断为等边三角形,求出 A 的坐标,可求出等边的边长的值,的面积可 = + 1 求本题考查抛物线的定义、标准方程,以及简单性质的
7、应用,判断为等边三角形是解题的关键 5. 已知抛物线的焦点为 F,其准线与双曲线相交于 M,N 两点,若为直2= 2( 0)2 3 2= 1 角三角形,其中 F 为直角顶点,则 = ()A. B. C. D. 62 333 3(正确答案)A【分析】本题考查抛物线的定义及抛物线的几何性质,双曲线方程的应用,考查计算能力【解答】解:由题设知抛物线的准线为,代入双曲线方程解得 ,2= 2 = 22 3 2= 1 =3 +32 4由双曲线的对称性知为等腰直角三角形, = 4,即, =3 +32 4= 1 2= 3 +32 4 = 2 3 故选 A6. 若抛物线上恒有关于直线对称的两点 A,B,则 p
8、的取值范围是 2= 2 + 1 = 0()A. B. ( 2 3,0)(0,32)C. D. (0,23)( ,0) (23, + )(正确答案)C解:设,(1,1)(2,2)因为点 A 和 B 在抛物线上,所以有 21= 2122= 22得, 21 2 2= 2(1 2)整理得,1 21 2=2 1+ 24因为 A,B 关于直线对称,所以,即 + 1 = 0= 12 1+ 2= 1所以1+ 2= 2设 AB 的中点为,则(0,0)0=1+ 22=2 2= 又 M 在直线上,所以 + 1 = 00= 1 0= 1 则(1 ,)因为 M 在抛物线内部,所以20 20 0, 0) 1分别为 B、若
9、,则双曲线的离心率是 . =1 2 ()A. B. C. D. 235105(正确答案)C解:直线 l:与渐近线 :交于, = + 1 = 0(2 + , + )l 与渐近线 :交于,2 + = 0(2 , )(,0), = ( + , + ) = (222 2, 222 2) =1 2 , + =22 2 = 2 , 2 2= 42, 2=22= 5 = 5 故选 C分别表示出直线 l 和两个渐近线的交点,进而表示出和,进而根据求得 a 和 b 的关系,进而 =1 2 根据,求得 a 和 c 的关系,则离心率可得2 2= 2本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题 要求学生有较高地转化数学思想
10、的运用能力,能将已知条件转.化到基本知识的运用9. 如图,是双曲线与椭圆的公共焦点,点 A 是,在第一121:22 8= 1212象限内的公共点,若,则的离心率是 |12| = |1|2()A. B. C. D. 2 34 53 52 5(正确答案)C解:由题意,是双曲线与椭圆的公共焦点可知,121:22 8= 12|12| = |1| = 6, |1| |2| = 2 |2| = 4 |1| + |2| = 10,的离心率是 2 = 10 26 10=3 5故选:C利用椭圆以及双曲线的定义,转化求解椭圆的离心率即可本题考查椭圆以及双曲线的简单性质的应用,考查计算能力10. 已知双曲线 C:与
11、抛物线的准线相交于 A、B 两点,双曲线的一条渐2222= 1( 0, 0) 2= 4 3近线方程为,点 F 是抛物线的焦点,且是正三角形,则双曲线 C 的方程为 = 2 ()A. B. C. D. 2 2 2= 122 2= 12 42 2= 12 22 4= 1(正确答案)B解:抛物线的焦点为,其准线方程为,2= 4 3( 3,0) = 3为正三角形, , | = 46将代入双曲线可得,( 3,2)2222= 13242= 1双曲线的一条渐近线方程是, = 2 = 2, = 1 = 2双曲线的方程为222 2= 1故选:B抛物线的焦点为,其准线方程为,利用为正三角形,可得 A 的坐标,代入
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