数学物理方程第一章.pptx
《数学物理方程第一章.pptx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《数学物理方程第一章.pptx(24页珍藏版)》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。
1、第一章第一章 典型方程与定解条件典型方程与定解条件 牛顿第二定律能量守恒定律弦振动方程热传导方程 方程的导出 定解问题的适定性:解的存在、唯一、稳定性 基本概念:偏微分方程、线性、次、齐、自由项第1页/共24页 一、牛顿第二定律与弦振动方程一、牛顿第二定律与弦振动方程1.1.物理模型:物理模型:一根两端固定的拉紧的长为一根两端固定的拉紧的长为 的的均匀柔软均匀柔软的的细细弦,在垂直于平衡位置的外力作用下在平衡位置附近弦,在垂直于平衡位置的外力作用下在平衡位置附近做做微小的横振动微小的横振动,求弦上各点的运动规律。,求弦上各点的运动规律。2.2.模型的假设说明:模型的假设说明:(忽略非本质因素,
2、抓住本质)(忽略非本质因素,抓住本质)1)1)弦本身:弦本身:均匀:体密度均匀:体密度为常数;为常数;细:弦的横截面直径相对于弦的长度细:弦的横截面直径相对于弦的长度 可以忽略不计,弦近似地看成线。可以忽略不计,弦近似地看成线。线密度线密度为常数为常数柔软:只抗伸长不抗弯曲,即各点的张力沿各点的切柔软:只抗伸长不抗弯曲,即各点的张力沿各点的切 线方向。(解释:弯皮筋不费力,弯铁丝费力)线方向。(解释:弯皮筋不费力,弯铁丝费力)第2页/共24页横振动:弦的运动发生在同一平面内,且弦上各横振动:弦的运动发生在同一平面内,且弦上各点的位移与平衡位置垂直。点的位移与平衡位置垂直。设弦的平衡位置位于设弦
3、的平衡位置位于弦上各点以横坐标表示。弦上各点以横坐标表示。如右图建立直角坐标系,则在如右图建立直角坐标系,则在时刻,弦的形状为曲线时刻,弦的形状为曲线微小:微小:,即相对,即相对1可忽略不计可忽略不计3.3.建立方程(利用牛顿第二定律和微分中值定理)建立方程(利用牛顿第二定律和微分中值定理)2)2)弦运动:弦运动:轴,且轴,且在在a,b连续,连续,(a,b)可可导,则存在导,则存在c(a,b)有:有:复习:复习:微分中值定理:若函数微分中值定理:若函数各点的位移小且各点的位移小且第3页/共24页step1step1:为常数(即与为常数(即与无关)。无关)。在弦上各点任取一小段弧在弦上各点任取一
4、小段弧,设其弧长为,设其弧长为,则有:,则有:(1 1)由(由(1 1)的这段弦在振动过程中没有伸长,由)的这段弦在振动过程中没有伸长,由HookeHooke定定与与无关。无关。证明弦上各点的张力大小证明弦上各点的张力大小律得到弦上各点所受张力在运动过程中保持不变,即律得到弦上各点所受张力在运动过程中保持不变,即进一步设弦上进一步设弦上两点所受张力的大小分别为两点所受张力的大小分别为且弦在且弦在的切线正向与的切线正向与轴正向的夹角为轴正向的夹角为由于弦做由于弦做“横振动横振动”,弦在水平方向上的受力为,弦在水平方向上的受力为0,则有:,则有:第4页/共24页与与无关,无关,即即由上得到由上得到
5、与与无关。以下记无关。以下记之之。step2:利用牛顿第二定律来建立方程。:利用牛顿第二定律来建立方程。张力在张力在u轴方向分量轴方向分量 的代数和为的代数和为 第5页/共24页另一方面由于弦段另一方面由于弦段很小,其上各点的加速度相差也很小,其上各点的加速度相差也太大,因此可用其中任一点太大,因此可用其中任一点处的加速度处的加速度代替,代替,于是该小弦的质量与加速度的乘积为于是该小弦的质量与加速度的乘积为垂直于平衡位置的力密度垂直于平衡位置的力密度在在所产生的力为:所产生的力为:由牛顿第二定律有:由牛顿第二定律有:第6页/共24页(2 2)注:注:称称(2)为弦的强迫微小横振动方程;若无外力
6、,则为弦的强迫微小横振动方程;若无外力,则(2)式式显然为:显然为:称方程为弦的自由微小横振动方程。称方程为弦的自由微小横振动方程。则有:则有:令令其中其中第7页/共24页称形如:称形如:的方程为的方程为n维波动方程,其中维波动方程,其中表示位置变量,表示位置变量,t表示时间变量,表示时间变量,称为称为n维维Laplace算子。算子。当当n=1n=1时,为一维波动方程或弦振动方程,表示弦的振动时,为一维波动方程或弦振动方程,表示弦的振动或声波在管中的传播,也可以表示杆的纵振动(即一均或声波在管中的传播,也可以表示杆的纵振动(即一均匀细杆在外力的作用下延长杆方向作微小振动)。匀细杆在外力的作用下
7、延长杆方向作微小振动)。当当n=2时,为二维波动方程,表示膜的振动或水面上的水时,为二维波动方程,表示膜的振动或水面上的水波的传播,一般写成:波的传播,一般写成:第8页/共24页当当n=3时,为三维波动方程,表示电磁波的传播或者声波时,为三维波动方程,表示电磁波的传播或者声波在空气中的传播,一般写成:在空气中的传播,一般写成:第9页/共24页4.定解条件与定解问题:定解条件与定解问题:一根弦线的特定的振动状况,还依赖于初始时刻弦一根弦线的特定的振动状况,还依赖于初始时刻弦线的状态和通过弦线的两端所受到的外界的影响,因此线的状态和通过弦线的两端所受到的外界的影响,因此为了确定一个具体的弦振动,除
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 数学 物理 方程 第一章
限制150内