2011-2018高考数学立体几何分类汇编(理).pdf
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1、.2011-20182011-2018 新课标新课标(理科理科)立体几何分类汇编立体几何分类汇编一、选填题2012 新课标(7)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为(B)(A)6(B)9(C)(D)解析选B。该几何体是三棱锥,底面是俯视图,高为3,此几何体的体积为V 633 92012 新课标(11)已知三棱锥S ABC的所有顶点都在球O的求面上,ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直径,且SC 2;则此棱锥的体积为(A)1132(A)3222(B)(C)(D)663263,点O到面ABC的距离d R2r2,SC为球O33解析ABC的外接圆的半
2、径r 的直径点S到面ABC的距离为2d 2 6此棱锥的体积为31132 62V SABC2d 33436另:V 13排除B,C,DSABC2R 362013 新课标 16、如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高 8cm,将一个球放在容器口,再向容器注水,当球面恰好接触水面时测得水深为 6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为(A )5003A、cm3B、8663cm3C、13723cm3D、20483cm3解析设球的半径为 R,则由题知球被正方体上面截得圆的半径为4,球心到截面圆的距离为453500R-2,则R (R2)4,解得 R=5,球的体积为=33cm3,应选 A.22220
3、13 新课标 18、某几何函数的三视图如下图,则该几何的体积为(A )A、16+8 B、8+8C、16+16 D、8+161/20.解析由三视图知,该几何体为放到的半个圆柱底面半径为2 高为 4,上边放一个长为 4 宽为2 高为 2 长方体,故其体积为224 422=168,应选A.2013 新课标 24.已知m,n为异面直线,m平面,n平面.直线l满足lm,ln,12l,l,则(D)A 且 l B且 lC 与 相交,且交线垂直于 l D 与 相交,且交线平行于 l解析因为m,lm,l,所以l.同理可得l。又因为m,n为异面直线,所以与相交,且l平行于它们的交线应选 D.2013 新课标 27
4、.一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx平面为投影面,则得到的正视图可以为(A )解析如下图,该四面体在空间直角坐标系Oxyz的图像如图:2014 新课标 112.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为(B)A、6 B、6 C、4 D、4解析几何体的直观图如图:AB=4,BD=4,C 到 BD 的中点的距离为:4,AC=2014 新课标 26.如图,网格纸上正方形小格的边长为1(表示 1 cm),图中粗线画出的是
5、某零件的三视图,该零件由一个底面半径为3 cm,高为 6 cm 的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为(C)175101 A.B.C.D.279273解析该零件是一个由两个圆柱组成的组合体,其体积为32222434(cm3),原毛坯的体积为 32654(cm3),切削掉部分的体积为 54=6,AD=4,显然 AC 最长。2/20.20103420(cm3),故所求的比值为。54272014 新课标 211.直三棱柱ABCA1B1C1中,BCA90,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BCCACC1,则BM与AN所成角的余弦值为(C )12302A.B.C.D.1051
6、021解析如图,E为BC的中点由于M,N分别是A1B1,A1C1的中点,故MNB1C1且MNB1C1,故2MN綊BE,所以四边形MNEB为平行四边形,所以EN綊BM,所以直线AN,NE所成的角即为直线BM,AN所成的角设BC1,则B1MB1A1所以MB122,21651 NE,ANAE,在ANE中,根据余弦定理22230。10得 cos ANE2015 新课标 16.九章算术是我国古代容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣角,下周八尺,高五尺。问:积与为米几何?”其意思为:“在屋墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧度为 8 尺,
7、米堆的高为 5 尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1 斛米的体积约为 1.62 立方尺,圆周率约为 3,估算出堆放斛的米约有(B)A.14 斛 B.22 斛 C.36 斛 D.66 斛2015 新课标 1(11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如下图。若该几何体的表面积为 16+20,则 r=(B)(A)1(B)2(C)4(D)82015 新课标 2(6)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如右图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()(A)1111(B)(C)(D)8765解析由三视图得,在正方体ABCD
8、A1B1C1D1D D1 1C C1 1中,截去四面体A A1B1D1,如下图,设正方体A A1 1D DB B1 1C C3/20A AB B.棱长为a,则VAA1B1D1a3体积与剩余部分体积的比值为11321315a,故剩余几何体体积为a3a3a3,所以截去部分666152015 新课标 2(9)已知 A,B 是球 O 的球面上两点,AOB=90,C 为该C C球面上的动点,若三棱锥 O-ABC 体积的最大值为 36,则球 O 的表面积为(C)A36B.64 C.144O OD.256B BA A解析如下图,当点 C 位于垂直于面AOB的直径端点时,三棱锥O ABC的体积最大,设球O的半
9、径为R,此时111故R 6,则球O的表面积VOABCVCAOBR2R R3 36,326为S 4R2144,应选 C2016 新课标 1(6)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆与每个圆中两条相互垂直的28,则它的表面积是(A)3(A)17(B)18(C)20(D)281解析该几何体为球体,从球心挖掉整个球的(如右图所示),故84372871r解得r 2,S 4r23r217。38384半径.若该几何体的体积是2016 新课标 1(11)平面a过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,a/平面CB1D1,a平面ABCD=m,a平面ABA1B1=n,则m、n所成角的正弦值为(A)1332
10、(B)(C)(D)3232详细解答令平面a与平面CB1D1重合,则m=B1 D1,n=CD1故(A)直线m、n所成角为60 o,正弦值为2016 新课标 26.右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为(C )(A)20 (B)24 (C)28 (D)32解析几何体是圆锥与圆柱的组合体,设圆柱底面圆半径为r,周长为c,圆锥母线长为l,圆柱高为h由图得r 2,c 2r 4,由324/20.勾股定理得:l 2 2 3221 4 16 8 28 4S表 r chcl222016 新课标 214.,是两个平面,m,n是两条线,有以下四个命题:如果m n,m,n,那么。如果m,n,
11、那么m n如果a,m,那么m。如果mn,那么m与所成的角和n与所成的角相等其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号)2016 新课标 39.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实现画出的的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为(B)(A)18365 (B)5418 5(C)90 (D)812016 新课标 310.在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1有一个体积为V的球,若ABBC,AB6,BC8,AA13,则V的最大值是(B)(A)49(B)2(C)6(D)3232017 新课标 17 某多面体的三视图如下图,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等
12、腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为(B)A10B12C14D162017 新课标 116如图,圆形纸片的圆心为O,半径为 5 cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O。D、E、F为圆O上的点,DBC,ECA,FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起DBC,ECA,FAB,使得D、E、F重合,得到三棱锥。当ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm)的最大值为_4 15_。32017 新课标 24.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所
13、得,则该几何体的体积为(B)A90 B63C42 D36解析该几何体可视为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半。11V V总V上 3210326 63222017 新课标 210.已知直三棱柱C11C1中,C 120,2,C CC11,则异面直线1与C1所成角的余弦值为(C)5/20.A331510 B C D2355解析M,N,P分别为AB,BB1,B1C1中点,则AB1,BC1夹角为MN和NP夹角或其补角(异面线所成角为0,)2可知MN 1512AB1,NP BC1,作BC中点Q,则可知PQM为直角三角形2222PQ 1,MQ 11ABC中,AC2 AB2 BC2 2ABBC cosA
14、BC=4+1-221-=7,AC,22AC 7,则MQ 7,则MQP中,MP MQ2 PQ211,222225211222222MN NP PM 10则PMN中,cosPNM 52MH NP52222又异面线所成角为0,则余弦值为。252017新课标38已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为(B)3AB CD44解析由题可知球心在圆柱体中心,圆柱体上下底面圆半径3312,则圆柱体体积V r h,应选B.r 1 42222102017新课标316a,b为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a,b都垂直,斜边AB以直线AC
15、为旋转轴旋转,有以下结论:当直线AB与a成60角时,AB与b成30角;当直线AB与a成60角时,AB与b成60角;直线AB与a所成角的最小值为45;直线AB与a所成角的最大值为60其中正确的是_(填写所有正确结论的编号)解析由题意知,a、b、AC三条直线两两相互垂直,画出图形如图不妨设图中所示正方体边长为1,故|AC|1,AB 2,斜边AB以直线AC为旋转轴旋转,则A点保持不变,B点的运动轨迹是以C为圆心,1为半径的圆。以C为坐标原点,以方向建立空间直角坐标系则D(1,0,0),A(0,0,1),直线a的方向单位向量直线b的方向单位向量,B点起始坐标为(0,1,0),设B点在运动过程中的坐标B
16、(cos,sin,0),为x轴正方向,为y轴正方向,为z轴正6/20.其中为BC与CD的夹角,0,2)。那么AB在运动过程中的向量设与所成夹角为0,,则2与所成夹角为0,,2,故,,所以正确,错误设4 2.12与夹角为60时,即,sin2cos2cos23322221|cos|,cos222当cos2 sin21,|cos|0,,=,此时AB与b夹角为60,正确,错误232018 新课标 17某圆柱的高为 2,底面周长为 16,其三视图如右图所示,圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为()A2 17B
17、2 5C3D2答案B2018 新课标 112已知正方体的棱长为 1,每条棱所在直线与平面所成的角都相等,则截此正方体所得截面面积的最大值为()A33 32 33 2BCD2434答案A2018 新课标 29 在长方体ABCD A1B1C1D1中,AB BC 1,AA13,则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为()1552ABCD5652答案C2018 新课标 216已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值为7,SA与圆锥底面8所成角为 45,若SAB的面积为5 15,则该圆锥的侧面积为_答案40 2p2018 新课标 33中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构件的凸出部分叫棒头,凹进
18、部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是棒头若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()7/20.答案A2018 新课标 310设A,B,C,D是同一个半径为 4 的球的球面上四点,ABC为等边三角形且其面积为9 3,则三棱锥D ABC体积的最大值为()A12 3答案BB18 3C24 3D54 3二、解答题2011 新课标如图,四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,DAB=60,AB=2AD,PD底面ABCD.()证明:PABD;()若 PD=AD,求二面角 A-PB-C 的余弦值。答案()因为DAB 60,AB 2AD,由余弦定
19、理得222从而 BD+AD=AB,故 BDAD 又 PD底面 ABCD,可得 BDPD 所以 BD平面 PAD.BD 3AD,故 PABD()如图,以D 为坐标原点,AD 的长为单位长,射线DA 为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz,则A1,0,0,B 0,3,0,C 1,3,0,P0,0,1。设平面 PAB 的法向量为 n=(x,y,z),则即 x3y 03y z 0因此可取 n=(3,1,3)设平面 PBC 的法向量为 m,则mPB 0mBC 0可取m=(0,-1,3)cos m,n 42 72 7故二面角 A-PB-C 的余弦值为 772 72012 新课标19.如图,直三棱柱AB
20、C A1B1C1中,1AA1,D是棱AA1的中点,DC1 BD2(1)证明:DC1 BCAC BC(2)求二面角A1 BDC1的大小。答案(1)在RtDAC中,AD AC得:ADC 45同理:A1DC1 45 CDC1 908/20.得:DC1 DC,DC1 BD DC1面BCD DC1 BC(2)DC1 BC,CC1 BC BC 面ACC1A1 BC AC取A1B1的中点O,过点O作OH BD于点H,连接C1O,C1HAC11 B1C1C1O A1B1,面A1B1C1面A1BDC1O 面A1BDOH BD C1H BD得:点H与点D重合且C1DO是二面角A1 BDC1的平面角2a,C1D 2
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