高考数学大一轮复习第十二章概率随机变量及其分布12-5二项分布及其应用试题理北师大.doc
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1、1 / 19【2019【2019 最新最新】精选高考数学大一轮复习第十二章概率随机变精选高考数学大一轮复习第十二章概率随机变量及其分布量及其分布 12-512-5 二项分布及其应用试题理北师大二项分布及其应用试题理北师大1条件概率在已知 B 发生的条件下,事件 A 发生的概率叫作 B 发生时 A 发生的条件概率,用符号 P(A|B)来表示,其公式为 P(A|B)(P(B)0)2相互独立事件(1)一般地,对两个事件 A,B,如果 P(AB)P(A)P(B),则称 A,B 相互独立(2)如果 A,B 相互独立,则 A 与,与 B,与也相互独立(3)如果 A1,A2,An 相互独立,则有P(A1A2
2、An)P(A1)P(A2)P(An)3二项分布进行 n 次试验,如果满足以下条件:(1)每次试验只有两个相互对立的结果,可以分别称为“成功”和“失败” ;(2)每次试验“成功”的概率均为 p, “失败”的概率均为 1p;(3)各次试验是相互独立的用 X 表示这 n 次试验中成功的次数,则P(Xk)Cpk(1p)nk(k0,1,2,n)若一个随机变量 X 的分布列如上所述,称 X 服从参数为 n,p 的二项分布,简记为 XB(n,p)【知识拓展】超几何分布与二项分布的区别2 / 19(1)超几何分布需要知道总体的容量,而二项分布不需要;(2)超几何分布是不放回抽取,而二项分布是放回抽取(独立重复
3、)【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)条件概率一定不等于它的非条件概率( )(2)相互独立事件就是互斥事件( )(3)对于任意两个事件,公式 P(AB)P(A)P(B)都成立( )(4)二项分布是一个概率分布,其公式相当于(ab)n 二项展开式的通项公式,其中 ap,b1p.( )(5)P(B|A)表示在事件 A 发生的条件下,事件 B 发生的概率,P(AB)表示事件 A,B 同时发生的概率( )1袋中有 3 红 5 黑 8 个大小形状相同的小球,从中依次摸出两个小球,则在第一次摸得红球的条件下,第二次仍是红球的概率为( )A. B. C. D.3 7答案 B解析
4、第一次摸出红球,还剩 2 红 5 黑共 7 个小球,所以再摸到红球的概率为.2(2016江西于都三中月考)两个实习生每人加工一个零件,加工为一等品的概率分别为和,两个零件是否加工为一等品相互独立,则这两个零件恰好有一个一等品的概率为( )A. B. C. D.1 6答案 B解析 因为两人加工为一等品的概率分别为和,且相互独立,所以两个零件恰好有一个一等品的概率为 P.3(2015课标全国)投篮测试中,每人投 3 次,至少投中 2 次才3 / 19能通过测试已知某同学每次投篮投中的概率为 0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为( )A0.648 B0.432 C0.36 D
5、0.312答案 A解析 3 次投篮投中 2 次的概率为P(k2)C0.62(10.6),投中 3 次的概率为 P(k3)0.63,所以通过测试的概率为 P(k2)P(k3)C0.62(10.6)0.630.648.故选 A.4某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是 0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是_答案 0.8解析 已知连续两天为优良的概率是 0.6,那么在前一天空气质量为优良的前提下,要求随后一天的空气质量为优良的概率,可根据条件概率公式,得 P0.8.5(教材改编)国庆节放假,甲去北京旅游的概率为,乙去北
6、京旅游的概率为,假定二人的行动相互之间没有影响,那么这段时间内至少有 1 人去北京旅游的概率为_答案 1 2解析 记在国庆期间“甲去北京旅游”为事件 A, “乙去北京旅游”为事件 B,又 P( )P()P()1P(A)1P(B)(1)(1),“甲、乙二人至少有一人去北京旅游”的对立事件为“甲、乙二人都不去北京旅游” ,4 / 19故所求概率为 1P( )1.题型一 条件概率例 1 (1)从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数,事件 A 为“取到的 2个数之和为偶数” ,事件 B 为“取到的 2 个数均为偶数” ,则 P(B|A)等于( )A. B.1 4C. D.1 2(2)如图所示,
7、EFGH 是以 O 为圆心,半径为 1 的圆的内接正方形,将一粒豆子随机地扔到该圆内,用 A 表示事件“豆子落在正方形 EFGH内” ,B 表示事件“豆子落在扇形 OHE(阴影部分)内” ,则 P(B|A)_.答案 (1)B (2)1 4解析 (1)P(A),P(AB),P(B|A).(2)AB 表示事件“豆子落在OEH 内” ,P(B|A).引申探究1若将本例(1)中的事件 B:“取到的 2 个数均为偶数”改为“取到的 2 个数均为奇数” ,则结果如何?解 P(A),P(B),又 AB,则 P(AB)P(B),所以 P(B|A).2在本例(2)的条件下,求 P(A|B)解 由题意知,EOH9
8、0,故 P(B),5 / 19又P(AB),P(A|B).思维升华 条件概率的求法(1)定义法:先求 P(A)和 P(AB),再由 P(B|A)求 P(B|A)(2)基本事件法:借助古典概型概率公式,先求事件 A 包含的基本事件数 n(A),再求事件 AB 所包含的基本事件数 n(AB),得 P(B|A).(2016开封模拟)已知盒中装有 3 只螺口灯泡与 7 只卡口灯泡,这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着,现需要一只卡口灯泡,电工师傅每次从中任取一只并不放回,则在他第 1 次抽到的是螺口灯泡的条件下,第 2 次抽到的是卡口灯泡的概率为( )A. B.2 9C. D.7 9答案 D解析
9、方法一 设事件 A 为“第 1 次抽到的是螺口灯泡” ,事件 B 为“第 2 次抽到的是卡口灯泡” ,则 P(A),P(AB),则所求概率为 P(B|A).方法二 第 1 次抽到螺口灯泡后还剩余 9 只灯泡,其中有 7 只卡口灯泡,故第 2 次抽到卡口灯泡的概率为.题型二 相互独立事件的概率例 2 设某校新、老校区之间开车单程所需时间为 T,T 只与道路畅通状况有关,对其容量为 100 的样本进行统计,结果如下:T(分钟)25303540频数(次)20304010(1)求 T 的分布列;6 / 19(2)刘教授驾车从老校区出发,前往新校区做一个 50 分钟的讲座,结束后立即返回老校区,求刘教授
10、从离开老校区到返回老校区共用时间不超过 120 分钟的概率解 (1)由统计结果可得 T 的频率分布为T(分钟)25303540频率0.20.30.40.1以频率估计概率得 T 的分布列为T25303540P0.20.30.40.1(2)设 T1,T2 分别表示往、返所需时间,T1,T2 的取值相互独立,且与 T 的分布列相同,设事件 A 表示“刘教授共用时间不超过 120 分钟” ,由于讲座时间为50 分钟,所以事件 A 对应于“刘教授在路途中的时间不超过 70 分钟”方法一 P(A)P(T1T270)P(T125,T245)P(T130,T240)P(T135,T235)P(T140,T23
11、0)0.210.310.40.90.10.50.91.方法二 P()P(T1T270)P(T135,T240)P(T140,T235)P(T140,T240)0.40.10.10.40.10.10.09,故 P(A)1P()0.91.思维升华 求相互独立事件同时发生的概率的方法(1)首先判断几个事件的发生是否相互独立(2)求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有:利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解;正面计算较繁或难以入手时,可从其对立事件入手计算7 / 19(2016青岛模拟)为了分流地铁高峰的压力,某市发改委通过听众会,决定实施低峰优惠票价制度不超过 22 千米的地铁票价如下表:乘坐里程
12、x(单位:km)0x66x1212x22票价(单位:元)345现有甲、乙两位乘客,他们乘坐的里程都不超过 22 千米已知甲、乙乘车不超过 6 千米的概率分别为, ,甲、乙乘车超过 6 千米且不超过 12 千米的概率分别为,.(1)求甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率;(2)设甲、乙两人所付乘车费用之和为随机变量 ,求 的分布列解 (1)由题意可知,甲、乙乘车超过 12 千米且不超过 22 千米的概率分别为, ,则甲、乙两人所付乘车费用相同的概率P1,所以甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率P1P11.(2)由题意可知,6,7,8,9,10,则 P(6),P(7),P(8),P(9),P(10).
13、所以 的分布列为6789108 / 19P1 121 41 31 41 12题型三 独立重复试验与二项分布命题点 1 根据独立重复试验求概率例 3 甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜 3 局者获得比赛的胜利,比赛随即结束除第五局甲队获胜的概率是外,其余每局比赛甲队获胜的概率都是.假设各局比赛结果相互独立(1)分别求甲队以 30,31,32 胜利的概率;(2)若比赛结果为 30 或 31,则胜利方得 3 分,对方得 0 分;若比赛结果为 32,则胜利方得 2 分,对方得 1 分求乙队得分 X 的分布列解 (1)设“甲队以 30,31,32 胜利”分别为事件 A,B,C,则P(A),P(B)C2,
14、P(C)C22.(2)X 的可能取值为 0,1,2,3,则 P(X0)P(A)P(B),P(X1)P(C),P(X2)C22,P(X3)3C2.故 X 的分布列为X0123P16 274 274 271 9命题点 2 根据独立重复试验求二项分布例 4 一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐;每盘游戏击鼓三次后,出现9 / 19一次音乐获得 10 分,出现两次音乐获得 20 分,出现三次音乐获得100 分,没有出现音乐则扣除 200 分(即获得200 分)设每次击鼓出现音乐的概率为,且各次击鼓出现音乐相互独立(1)设每盘游戏获得的分数为 X,求
15、X 的分布列;(2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少?解 (1)X 可能的取值为 10,20,100,200.根据题意,有P(X10)C12,P(X20)C21,P(X100)C30,P(X200)C03.所以 X 的分布列为X1020100200P3 83 81 81 8(2)设“第 i 盘游戏没有出现音乐”为事件 Ai(i1,2,3),则 P(A1)P(A2)P(A3)P(X200).所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为1P(A1A2A3)131.因此,玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是.思维升华 独立重复试验与二项分布问题的常见类型及解题策略(1)在求 n 次独立重
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