高考数学试题分项版解析专题14数列解答题理.doc
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1、1 / 33【2019【2019 最新最新】精选高考数学试题分项版解析专题精选高考数学试题分项版解析专题 1414 数列解答数列解答题理题理1.【2017 山东,理 19】已知xn是各项均为正数的等比数列,且x1+x2=3,x3-x2=2()求数列xn的通项公式;()如图,在平面直角坐标系 xOy 中,依次连接点 P1(x1, 1),P2(x2, 2)Pn+1(xn+1, n+1)得到折线 P1 P2Pn+1,求由该折线与直线 y=0,所围成的区域的面积.11nxx xx,nT【答案】(I)(II)12.n nx(21) 21. 2nnnT【解析】试题分析:(I)依题意布列和公比的方程组.1x
2、(II)过向轴作垂线,垂足分别为,123,P P P1nP123,Q Q Q1nQ由(I)得11 1222.nnn nnxx 记梯形的面积为.11nnnnP P QQnb由题意,12(1)2(21) 22nn nnnbn所以123nTbbb+nb=+ 1013 25 272 32(21) 2(21) 2nnnn又+ 01223 25 272nT 21(21) 2(21) 2nnnn-得= 1 132(1 2)(21) 2.21 2n nn 2 / 33所以(21) 21. 2nnnT【考点】1.等比数列的通项公式;2.等比数列的求和;3.“错位相减法”.2.【2017 北京,理 20】设和是两
3、个等差数列,记,na nb1122max,nnncba n ba nba n(1,2,3,)n 其中表示这个数中最大的数12max ,sx xx12,sx xx()若,求的值,并证明是等差数列;nan21nbn123,c c c nc()证明:或者对任意正数,存在正整数,当时,;或者存在正整数,使得是等差数列MmnmncMnm12,mmmccc【答案】 ()详见解析;()详见解析.【解析】试题分析:()分别代入求,观察规律,再证明当时, ,所以关于单调递减. 所以,即证明;()首先求的通项公式,分三种情况讨论证明.123,c c c3n 11()()20kkkkbnabnankkbna*kN1
4、12211max,1nnncba n ba nba nba nn nc1110,0,0ddd试题解析:解:()1111 10,cba 21122max2 ,2max1 2 1,32 21cba ba ,3112233max3 ,3,3 max1 3 1,33 2,53 32cba ba ba .当时, ,3n 1111()()()()20kkkkkkkkbnabnabbn aan所以关于单调递减.kkbna*kN3 / 33()设数列和的公差分别为,则na nb12,d d12111121(1)(1)()(1)kkbnabkdakd nba ndndk.所以 1121211121(1)(),n
5、ba nndnddndcba ndnd当时,当时,当时,取正整数,则当时, ,因此.10d 21dmdnm12ndd11ncba n此时,是等差数列.12,mmmccc当时,对任意,10d 1n 此时,是等差数列.123,nc c cc当时,10d 当时,有.21dnd12ndd所以112112 1112(1)()()ncba nndndbdnddadnnn对任意正数,取正整数,M12112211|max,Mbdadddmdd故当时,.ncMn【考点】1.新定义;2.数列的综合应用;3.推理与证明.3.【2017 天津,理 18】已知为等差数列,前 n 项和为,是首项为 2 的等比数列,且公比
6、大于 0,,,.na()nSnNnb2312bb3412baa11411Sb()求和的通项公式;nanb()求数列的前 n 项和.221nna b()nN4 / 33【答案】 (1).(2).32nan2nnb 1328433n nnT【解析】试题分析:根据等差数列和等比数列通项公式及前项和公式列方程求出等差数列首项和公差及等比数列的公比,写出等差数列和等比孰劣的通项公式,利用错位相减法求出数列的和,要求计算要准确.1ad试题解析:(I)设等差数列的公差为,等比数列的公比为.nadnb由已知,得,而,所以.2312bb2 1()12b qq12b 260qq又因为,解得.所以,.0q 2q 2
7、nnb 由,可得 .3412baa138da由,可得 ,114=11Sb1516ad联立,解得, ,由此可得.11a 3d 32nan所以,数列的通项公式为,数列的通项公式为.na32nannb2nnb (II)解:设数列的前项和为,221nna bnT由, ,有,262nan1 212 4nnb 221(31) 4nnna bn故,232 45 48 4(31) 4nnTn 234142 45 48 4(34) 4(31) 4nn nTnn ,上述两式相减,得23132 43 43 43 4(31) 4nn nTn 得.1328433n nnT所以,数列的前项和为.221nna b13284
8、33nn【考点】等差数列、等比数列、数列求和4.【2017 浙江,22】(本题满分 15 分)已知数列xn满足:5 / 33x1=1,xn=xn+1+ln(1+xn+1)()Nn证明:当时,Nn()0xn+1xn;()2xn+1 xn;1 2nnx x()xn11 2n21 2n【答案】 ()见解析;()见解析;()见解析【解析】试题分析:()由数学归纳法证明;()由()得, 构造函数,由函数单调性可证; ()由,得,递推可得2 111111422(2)ln(1)nnnnnnnnx xxxxxxx2( )2(2)ln(1)(0)f xxxxx x1111ln(1)nnnnnxxxxx1 122
9、nn nnx xxx 1211(N )22nnnxn 试题解析:()用数学归纳法证明:0nx当 n=1 时,x1=10假设 n=k 时,xk0,那么 n=k+1 时,若,则,矛盾,故 01kx0)1ln(011kkkxxx01kx因此,所以,因此)(0Nnxn111)1ln(nnnnxxxx)(01 Nnxxnn()由得111)1ln(nnnnxxxx2 111111422(2)ln(1)nnnnnnnnx xxxxxxx记函数2( )2(2)ln(1)(0)f xxxxx x函数 f(x)在 0,+)上单调递增,所以=0,( )(0)f xf因此,()因为,所以得,2 111112(2)ln
10、(1)()0nnnnnxxxxf x6 / 331 12(N )2nn nnx xxxn 1111ln(1)nnnnnxxxxx11 2nnx1 122nn nnx xxx 111112() 022nnxx, ,12111111112()2()2222nnnnxxx故, 21 2nnx1211(N )22nnnxn 【考点】不等式证明5.【2017 江苏,19】 对于给定的正整数,若数列满足na1111n kn knnn kn kaaaaaa 对任意正整数总成立,则称数列是“数列”.2nka()n nkna( )P k(1)证明:等差数列是“数列”;na(3)P(2)若数列既是“数列”,又是“
11、数列”,证明:是等差数列.na(2)P(3)Pna【答案】 (1)见解析(2)见解析【解析】证明:(1)因为是等差数列,设其公差为,则, nad1(1)naand从而,当时,4n n kn kaaa11(1)(1)nkdankd122(1)2nanda,1,2,3,k 所以,nnnnnnnaaaaaaa321123+6因此等差数列是“数列”. na 3Pnnnaaa23141()nnaa,7 / 33将代入,得,其中,nnnaaa1124n 所以是等差数列,设其公差为.345,a a a d在中,取,则,所以,4n 235644aaaaa23aad在中,取,则,所以,3n 124534aaaa
12、a122aad所以数列是等差数列.na【考点】等差数列定义及通项公式【名师点睛】证明为等差数列的方法:na(1)用定义证明:为常数) ;1(nnaad d(2)用等差中项证明:;122nnnaaa(3)通项法: 为的一次函数;na(4)前项和法: 2 nSAnBn6. 【2016 高考新课标 2 理数】为等差数列的前项和,且记,其中表示不超过的最大整数,如nS na17=128.aS ,= lgnnba x0.9 =0 lg99 =1,()求;111101bbb,()求数列的前 1 000 项和 nb【答案】 () , , ;()1893.10b 111b 1012b【解析】试题分析:()先用
13、等差数列的求和公式求公差,从而求得通项,再根据已知条件表示不超过的最大整数,求;()对分类讨论,再用分段函数表示,再求数列的前 1 000 项和dna x111101bbb,nb nb试题解析:()设的公差为,据已知有,解得nad72128d1.d 所以的通项公式为na.nan8 / 33()因为0,110, 1,10100, 2,1001000, 3,1000.nn nbn n 所以数列的前项和为 nb10001 902 9003 11893. 考点:等差数列的的性质,前项和公式,对数的运算.【名师点睛】解答新颖性的数学题,一是通过转化,化“新”为“旧”;二是通过深入分析,多方联想,以“旧”
14、攻“新”;三是创造性地运用数学思想方法,以“新”制“新”,应特别关注创新题型的切入点和生长点.于是,BmAmdm211,Bm1minam,Bm2.故 dm1Am1Bm1220,与 dm11 矛盾所以对于任意 n1,有 an2,即非负整数列an的各项只能为 1 或 2.因为对任意 n1,an2a1,所以 An2.故 BnAndn211.因此对于任意正整数 n,存在 m 满足 mn,且 am1,即数列an有无穷多项为 1.考点定位:本题考查新定义信息题,考查学生对新定义的理解能力和使用能力。则,同理求出,通过第一步的计算应用新定义,加深对定义的认识进入第二步就容易一些了,第二步证明充要条件、第三步
15、的证明就是在第一步的基础上的深化研究,毕竟是一个新的信息题,在一个全新的环境下进行思维,需要在原有的知识储备,还需要严密的逻辑思维和分析问题与解决问题的能力,有得分的机会,但得满分较难.111dAB1234,dd d7. 【2016 高考山东理数】 (本小题满分 12 分)9 / 33已知数列 的前 n 项和 Sn=3n2+8n,是等差数列,且 na nb1.nnnabb()求数列的通项公式; nb()令 求数列的前 n 项和 Tn.1(1).(2)n n nn nacb nc【答案】 () ;().13 nbn223n nnT【解析】由,即,可解得, 322211 bbabba dbdb32
16、17211113, 41db所以.13 nbn()由()知,1 1(66)3(1) 2(33)n n nnncnn 又,nnccccT 321得,23413 2 23 24 2(1) 2n nTn 345223 2 23 24 2(1) 2n nTn ,两式作差,得所以223n nnT考点:1.等差数列的通项公式;2.等差数列、等比数列的求和;3.“错位相减法”.10 / 338.【2015 高考广东,理 21】数列满足, na* 1212242nnnaananN(1) 求的值;3a(2) 求数列前项和; nanT(3) 令, ,证明:数列的前项和满足11ba11111223n nnTbann
17、n nbnSnSnln22【答案】 (1) ;(2) ;(3)见解析1 41122n【解析】 (1)依题,3123123 12 132223323244224aaaaaa ;31 4a (2)依题当时, ,1n 121211212122144222nnnnnnnnnnaaanaaana ,又也适合此式,11 2nna1012412a ,11 2nna 数列是首项为,公比为的等比数列,故; na1 21111221212nnnT(3)依题由知, , ,1211112n nnaaabann11ba11 / 331 221122aba12 33111323aaba 121211111122nnnnS
18、bbbaaaTnn1111111221222nnn,记,则, 1ln11f xxxx 221110xfxxxx 在上是增函数,又即, f x1, 10f 0f x 又且时, , 2k *kN11k k 即,1ln1011 1kkfkkk k 1ln1k kk , , ,即有,12ln2113ln321ln1n nn 11123lnlnlnln23121nnnn ,即1112122ln23nn22lnnSn【考点定位】前项和关系求项值及通项公式,等比数列前项和,不等式放缩()结合不等()放缩方法或用数学归纳法证明 1ln11f xxxx1ln1k kk11111ln23nn 9.【2016 高考
19、江苏卷】 (本小题满分 16 分)记.对数列和的子集 T,若,定义;若,定义.例如:时,.现设是公比为 3 的等比数列,且当时,.1,2,100U , * nanNUT 0TS 12, ,kTt tt , 12+ kTtttSaaa= 1,3,66T1366+TSaaa12 / 33 * nanN= 2,4T=30TS(1)求数列的通项公式; na(2)对任意正整数,若,求证:;1100kk1,2,kT ,1TkSa(3)设,求证:.,CDCU DU SS2CCDDSSS【答案】 (1) (2)详见解析(3)详见解析13nna【解析】试题解析:(1)由已知得.1* 13,n naanN于是当时
20、,.2,4T 2411132730rSaaaaa又,故,即.30rS 13030a 11a 所以数列的通项公式为.na1*3,n nanN(2)因为, ,1,2, Tk1*30,n nanN所以.1 1211 33(31)32kkk rkSaaa 因此,.1rkSa(3)下面分三种情况证明.若是的子集,则.DC2CCDCDDDDSSSSSSS若是的子集,则.CD22CCDCCCDSSSSSS若不是的子集,且不是的子集.DC CD13 / 33令,则, ,.UECC DUFDC CEFEF于是, ,进而由,得.CECDSSSDFCDSSSCDSSEFSS设是中的最大数,为中的最大数,则.EF1,
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