第二章第九节.pptx
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1、1.三种函数模型之间增长速度的比较性质性质y=ay=ax x(a1)(a1)y=logy=loga ax(a1)x(a1)y=xy=xn n(n0)(n0)在(在(0 0,+)上的增减性上的增减性_增长速度增长速度越来越快越来越快越来越慢越来越慢相对平稳相对平稳大小比较大小比较存在一个存在一个x x0 0,当当x xx x0 0时,有时,有_函数增加的增加的增加的logaxxnax第1页/共57页2.常见的几种函数模型(1)直线模型:y=_型,图像增长特点是直线式上升(x的系数k0),通过图像可以直观地认识它,特例是正比例函数模型y=_.(2)反比例函数模型:y=_ 型,图像增长特点是y随x的
2、增大而减小.(3)指数函数模型:y=abx+c(b0,b1,a0)型,图像增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快(底数b1,a0),常形象地称为指数爆炸.kx+b(k0)kx(k0)第2页/共57页(4)对数函数模型:y=mlogax+n(a0,a1,m0)型,图像增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越慢(底数a1,m0).(5)幂函数模型:y=axn+b(a0)型,其中最常见的是二次函数模型:_(a0),图像增长特点是随着自变量的增大,函数值先减小,后增大(a0).y=ax2+bx+c第3页/共57页(6)分段函数模型:图像特点是每一段自变量变化所遵循的规律不同.可
3、以先将其当作几个问题,将各段的变化规律分别找出来,再将其合到一起,要注意各段自变量的取值范围,特别是端点.第4页/共57页判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”).(1)函数y=2x的函数值比y=x2的函数值大.()(2)“指数爆炸”是指数型函数y=abx+c(a0,b0,b1)增长速度越来越快的形象比喻.()(3)幂函数增长比直线增长更快.()(4)不存在x0,使 ()第5页/共57页【解析】(1)错误.当x(2,4)时,x22x.(2)错误.增长越来越快的指数型函数是y=abx+c(a0,b1).(3)错误.幂函数y=xn(0n1,x1)的增长速度比直线y=x(x1)的增长速度慢.(
4、4)错误.当0a1时,存在x0,有答案:(1)(2)(3)(4)第6页/共57页1.某工厂第三年的产量比第一年的产量增长44%,若每年的平均增长率相同(设为x),则以下结论正确的是()(A)x22%(B)x22%(C)x=22%(D)x的大小由第一年的产量确定【解析】选B.设第一年的产量为a,则a(1+x)2=a(1+44%),(1+x)2=1+44%,解得x=20%.第7页/共57页2.一根蜡烛长20 cm,点燃后每小时燃烧5 cm,燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图像表示为图中的()【解析】选B.由题意知h=20-5t(0t4).第8页/共57页3.拟定甲地到乙地通
5、话m分钟的电话费f(m)=0.5m+1(单位:元),其中m0,m表示不大于m的最大整数(如3.62=3,4=4),当m0.5,3.2 时,函数f(m)的值域是()(A)1,2,3,4(B)1,1.5,2,2.5(C)1,1.5,2.5,3(D)1.5,2,2.5【解析】选B.当m0.5,3.2时,m所有可能值为0,1,2,3共4个,故f(m)的值域为1,1.5,2,2.5.第9页/共57页4.生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本,某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为 (万元).一万件售价是20万元,为获取更大利润,该企业一个月应生产该商品数量为()(A)35万件 (B)18万件(C
6、)22万件 (D)9万件【解析】选B.利润 当x=18时,L(x)有最大值.第10页/共57页考向 1 一次函数与二次函数模型【典例1】(2013淮南模拟)某企业为打入国际市场,决定从A,B两种产品中只选择一种进行投资生产.已知投资生产这两种产品的有关数据如下表:(单位:万美元)类别类别年固定成本年固定成本每件产品成每件产品成本本每件产品销每件产品销售价售价每年最多每年最多可生产的可生产的件数件数A A产品产品2020m m1010200200B B产品产品40408 81818120120项目第11页/共57页其中年固定成本与年生产的件数无关,m为待定常数,其值由生产A产品的原材料价格决定,
7、预计m6,8.另外,年销售x件B产品时需上交0.05x2万美元的特别关税.假设生产出来的产品都能在当年销售出去.(1)写出该厂分别投资生产A,B两种产品的年利润y1,y2与生产相应产品的件数x之间的函数关系并指明其定义域.(2)如何投资最合理(可获得最大年利润)?请你做出规划.第12页/共57页【思路点拨】(1)根据利润计算公式写出y1,y2.(2)先求y1与y2的最大值,再通过比较最大值做出规划.【规范解答】(1)由年销售量为x件,按利润的计算公式,有生产A,B两产品的年利润y1,y2分别为y1=10 x-(20+mx)=(10-m)x-20(0 x200且xN),y2=18x-(40+8x
8、)-0.05x2=-0.05x2+10 x-40=-0.05(x-100)2+460(0 x120,xN).第13页/共57页(2)6m8,10-m0,y1=(10-m)x-20为增函数,又0 x200,xN,x=200时,生产A产品有最大利润为(10-m)200-20=1 980-200m(万美元).又y2=-0.05(x-100)2+460,0 x120,xN,当x=100时,生产B产品有最大利润为460万美元,因为(y1)max-(y2)max=(1 980-200m)-460=1 520-第14页/共57页所以,当6m7.6时,可投资生产A产品200件;当m=7.6时,生产A产品200
9、件与生产B产品100件均可;当7.6m8时,可投资生产B产品100件.第15页/共57页【拓展提升】求解一次函数与二次函数模型问题的关注点(1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决,但一定要密切注意函数的定义域,否则极易出错.(2)确定一次函数模型时,一般是借助两个点来确定,常用待定系数法.(3)解决函数应用问题时,最后要还原到实际问题.第16页/共57页【变式训练】某企业生产A,B两种产品,根据市场调查与预测,A产品的利润与投资成正比,其关系如图1;B产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图2(注:利润和投资单位:万元).第17页/共57页(1)分别将A,B两种产品的利润表示
10、为投资的函数关系式.(2)已知该企业已筹集到18万元资金,并将全部投入A,B两种产品的生产.若平均投入生产两种产品,可获得多少利润?问:如果你是厂长,怎样分配这18万元投资,才能使该企业获得最大利润?其最大利润约为多少万元?第18页/共57页【解析】(1)设A,B两种产品分别投资x万元,x万元,x0,所获利润分别为f(x)万元、g(x)万元.由题意可设根据图像可解得f(x)=0.25x(x0).第19页/共57页(2)由(1)得总利润y=8.25 万元.设B产品投入x万元,A产品投入(18-x)万元,该企业可获总利润为y万元.则令则第20页/共57页当t=4时,此时x=16,18-x=2.当A
11、,B两种产品分别投入2万元、16万元时,可使该企业获得最大利润,约为8.5万元.第21页/共57页考向 2 指数函数模型【典例2】一片森林原来面积为a,计划每年砍伐一些树,且每年砍伐面积的百分比相等,当砍伐到面积的一半时,所用时间是10年,为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的已知到今年为止,森林剩余面积为原来的(1)求每年砍伐面积的百分比.(2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年?(3)今后最多还能砍伐多少年?第22页/共57页【思路点拨】(1)根据10年的砍伐面积为原来的一半,列方程求解.(2)根据到今年为止,森林剩余面积为原来的 列方程求解.(3)求出第n年后森林剩余面积,根据森林面积
12、至少要保留原面积的 列不等式求解.【规范解答】(1)设每年砍伐面积的百分比为x(0 x1),则 即解得第23页/共57页(2)设经过m年剩余面积为原来的 则 即 解得m=5.故到今年为止,已砍伐了5年.(3)设从今年开始,以后砍了n年,则n年后剩余面积为令 即 解得n15.故今后最多还能砍伐15年.第24页/共57页【拓展提升】应用指数函数模型的关注点(1)指数函数模型,常与增长率相结合进行考查,在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来解决.(2)应用指数函数模型时,关键是对模型的判断,先设定模型,再将已知有关数据代入验证,确定参数,从而确定函数模型.(3)y
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