因式分解的方法技巧.pdf
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1、word 因式分解的常用方法 第一部分:方法介绍 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一,它被广泛地应 用于初等数学之中,是我们解决许多数学问题的有力工具.因式分解方法 灵活,技巧性强,学习这些方法与技巧,不仅是掌握因式分解内容所必需 的,而且对于培养学生的解题技能,发展学生的思维能力,都有着十分独 特的作用.初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组 分解法和十字相乘法.本讲及下一讲在中学数学教材基础上,对因式分解 的方法、技巧和应用作进一步的介绍.、提公因式法.:ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中,我们学过若干个乘法公式,现将其反向使用,
2、即为因 式分解中常用的公式,例如:(1)(a+b)(a-b)=a2-b2.a2-b2=(a+b)(a-b);(2)(a土 b)2=a?土 2ab+b2 -泌土2ab+b2=(a土 b)3(3)(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3.a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2);(4)(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3.a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2).下面再补充两个常用的公式:(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2;(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca);例.已知Q,b,c 是 AABC的三边,+c2
3、=ab+bc+ca,则AABC的形状是()A.直角三角形 B等腰三角形C等边三角形D等腰直角三角形 解:a2+b2+c2=ab+bc+ca2a2+2b2+2c2=2ab+2bc+2ca=(a /?)?+(/?c)2+(c-a)2=0=a=b=c 三、分组分解法.(一)分组后能直接提公因式 例仁分解因式:am+初+bm+bn 分析:从“整体”看,这个多项式的各项既没有公因式可提,也不能运用 公式分解,但从“局部”看,这个多项式前两项都含有 6 后两项都含有 b,因此可以考虑将前两项分为一组,后两项分为一组先分解,然后再考word 虑两组之间的联系。解:原式二(am+an)+(bm+bn)=a(i
4、n+ri)+b(m+n)-=(tn+n)(a+b)例 2、分解因式:2ax-1 Oay+5by-bx (二)分组后能直接运用公式 例3、分解因式:x2-y2+ax+ay 分析:若将第一、三项分为一组,第二、四项分为一组,虽然可以提公因 式,但提完后就能继续分解,所以只能另外分组。解:原式=(x2 y)+(cix+ay)=(兀+刃(x-y)+a(x+y)=(兀+y)a_y+d)例4、分解因式:a1-2ab+b2-c2 解:原式=(2cib+b2)c2=(a_b)2-c2(a b c)(d h+c)练习:分解因式 3、x2-x-9y2-3y 4、x2-y2-z2-2yz(11)a2(b+c)+b2
5、(a+c)+c2(a+b)+2abc(12)每组之间还有公因式!解法一:第一、二项为一组;第三、四项为一组。解:原式二(2ax 一 1 Oay)+(5by-bx)=2a(x 一 5y)-b(x 一 5y)=(x-5y)(2a-b)解法二:第一、四项为一组;第二、三项为一组。原式二(2ax-bx)+(-1 Oay+5by)=x(2a-b)5y(2a-b)=(2a-b)(x-Sy)练习:分解因式4、a2-ab+ac-bc 2、xy-x-y+综合练习:(1)x3+x2y-xy2-y3(3)x2+6xy+9y2-16a2+8-1(5)tz4-2a3+a2-9(7)x2-2xy-xz+yz+y2(9)y
6、(y-2)-(m-l)(m+i)(2)ax2-bx2+bx-ax+a-b(4)a2-6ab+i2b+9b2-4a(6)4a2x-4a2y-b2x+b2y(8)ci 2a+b 2b+2aZ?+l(10)(a+c)(a-c)+b(b-2a)word a3+b3+,一 3abc 四、十字相乘法.(一)二次项系数为1的二次三项式 直接利用公式-x2+(p+q)x+pq=x+p)(x+q)进行分解。特点:(1)二次项系数是1;(2)常数项是两个数的乘积;(3)一次项系数是常数项的两因数的和。思考:十字相乘有什么基本规律?例.已知0VdW5,且d为整数,若2F+3x+c/能用十字相乘法分解因 式,求符合条
7、件的-解析:凡是能十字相乘的二次三项式ax2+bx+c,都要求 =b2-4ac 0而且是一个完全平方数。于是A=9-8为完全平方数,a=l 例5、分解因式:x2+5x+6 分析:将6分成两个数相乘,且这两个数的和要等于5。由于 6=2X3=(-2)X(-3)=1 X6=(-1)X(-6),从中可以发现只有 2X 3的分解适合,即2+3=5。Mv 2 解:x2+5x+6=x2+(2+3)x+2x3 1 3=(x+2)(x+3)1X2+1X3=5 用此方法进行分解的关键:将常数项分解成两个因数的积,且这两个因数 的代数和要等于一次项的系数。例6、分解因式:X2-7X+6 解:原式=x2+(-l)+
8、(-6)x+(-l)(-6)1 -1=(x-l)(x-6)1 6(-1)+(-6)=-7 练习 5、分解因式(1)X2+14X+24(2)/_15d+36(3)x2+4x-5 练习 6、分解因式(1)亍+X 2(2)y2 2y 15(3)x2 10 x 24word 例 9、2x2-7xy+6y2 12y(-3y)+(-4y)=-7y 解:原式=(x-2y)(2x-3y)例 10、x2y2-3xy+2 把与看作一个整体1、/-1-2 M)+(-2)=-3 解:原式=(-l)(Ay-2)(二)二次项系数不为1的二次三项式一ax2+bx+c 条件:(1)a=aa2(2)c=(3)b=aYc2+a2
9、c b=ac2+a2c 分解结果:ax2+Z?X+C=(6Z1X+C1)(72X4-C2)例7、分解因式:3X2-11X+10 分析:X;(-6)+(-5)=-11 解:3x2-1 lx+10=(x-2)(3%-5)练习7、分解因式:(1)5X2+7X-6(3)10/一17兀+3(2)3X2-7X+2(4)-6y2+lly+10(三)二次项系数为1的齐次多项式 例8、分解因式:a2-Sab-128b2 分析:将方看成常数,把原多项式看成关于a的二次三项式,利用十字相 乘法进行分解。8b+(-16b)=-8b 解:a2-Sab-12Sb2=a2+Sb+(i6b)a+8/?x(-16Z?)=(a+
10、8b)(a 16b)练习 8、分解因式(A)x2-3xy+2y2(2)m2-6mn+8n2(3)a2-ab-6b2(四)二次项系数不为1的齐次多项式 word 练习9、分解因式:(1)15x2+7xy-4y2 综合练习 10、(1)8X6-7X3-1(2)12兀211 号_15尸(3)(x+y)2-3(x+y)-10(4)(a+b)2-4a-4b+3(5)x2y2-5x2y-6x2(6)w2-4mn+4n2-3加+6刃+2(7)x2+4xy+4y2-2x-4y-3(8)a+b)2+23(iz2-b2)-10(a-b)2(9)4*2 一 4号一 6x+3y+y2 一 I。a。)12(X+y)2+
11、1 l(x2-y2)+2(x-y)2 思考:分解因式:abcx2+(a2b2+c2)x+abc 五、换元法。例 43、分解因式(1)2005x2-(2005 2-l)x-2005(2)(x+l)(x+2)(x+3X-V+6)+x2 解:(4)设 2005丸,则原式=ax2-(a2-l)x-a=(ax+i)(x-a)=(2005x+l)(x 一 2005)(2)型如abed+e的多项式,分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。原式二(x2+7x+6)(x2+5x+6)+x2 设戏+5兀+6=4,则+7兀+6=A+2x/.原式二(A+2x)A+x2=A2+2Ax+x2=(A+兀尸=(兀2+6x+6)
12、2 练习 13、分解因式(4)(x2+xy+y2)2-4xy(x2+y2)(2)(Q+3x+2)(4x+8x+3)+90(3)(/+1尸+(/+5尸 一4(/+3尸 例 44、分解因式(1)2X4-X3-6X2-X+2 观察:此多项式的特点一是关于x的降幕排列,每一项的次数依次少1,并且系数成“轴对称”。这种多项式属于“等距离多项式”。方法:提中间项的字母和它的次数,保留系数,然后再用换元法。解:jM=x2(2x2-x-6-+)=x22(x2+)-(x+-)-6 X X X X(2)a2x2-60(x2-4)(x2-lOx+21)+100 的值一定是非负数 4.因式分解中的转化思想 例:分解因
13、式:(a+2b+c)3-(a+b)3-(b+c)3 分析:本题若直接用公式法分解,过程很复杂,观察a+b,b+c与a+2b+c 的关系,努力寻找一种代换的方法。解:设 a+b=A,b+c=B,a+2b+c=A+B 原式=(A+B)3 一 A?-B?=A3+3A2B+3AB2+B3-A3-B3=3A2B+3AB2=3AB(A+B)=3(a+b)(b+c)(a+2b+c)说明:在分解因式时,灵活运用公式,对原式进行“代换”是很重要 的。中考点拨 例 1 在 AABC 中,三边 a,b,c 满足屏-16b2-c2+6ab+10bc=0 求证:a+c=2b 证明:a2-16b2-c2+6ab+lObc
14、=0 a2+6ab+9b2-c2+lObc-25b2=0 即(a+3b)2 _(c_5b)2=0(a+8b-c)(a-2b+c)=0 a+b c a+8bc,即 a+8b-c0 于是有 a-2b+c=0 即 a+c=2b 说明:此题是代数、几何的综合题,难度不大,学生应掌握这类题不 能丢分。例 2已知:x+丄=2,则 x3+-!-=_ X X3 word 解:X?+A=(X+丄)(x2-1+丄)X X X=(x+丄)(x+丄)2_2-1 X X=2x1=2 说明:利用 X2+-L=(X4-丄)2-2 等式化繁为易。X x 题型展示 1.若 x为任意整数,求证:(7-x)(3-x)(4-x2)的
15、值不大于 100c w:V(7-X)(3-X)(4-X2)-100=-(x-7)(x+2)(x 一 3)(x-2)-100=-(x2-5x-14)(x2-5x+6)-100=-(x2-5x)一 8(x2-5x)+16=-(x2-5x-4)2 0(7-X)(3-X)(4-X2)100 说明:代数证明问题在初二是较为困难的问题。一个多项式的值不大 于 100,即要求它们的差小于零,把它们的差用因式分解等方法恒等变形 成完全平方是一种常用的方法。2 将 a2+(a+1)2+(a2+a)2分解因式,并用分解结果计算 6?+72 4-422 解:a2+(a+l)2+(a2+a)2=a2+a2+2a+1+
16、(a2+a)2=2(a2+a)+1+(a2+a)2=(a2+a+l)2/.62+72+422=(36+6+l)2=432=1849 word 说明:利用因式分解简化有理数的计算。实战模拟 1.分解因式:(1)3x5-10 x4-8x3-3x2+10 x+8(2)(a2+3a-3)(a2+3a+1)-5(3)x2-2xy-3y2+3x-5y+2(4)x3-7x+6 2.已知:x+y=6,xy=-l,求:x3+y3 的值。3.矩形的周长是 28cm,两边 x,y使 x3+x2y-xy2-y3=0,求矩形的面 积。4.求证:n3+5n 是 6 的倍数。(其中 n 为整数)5 已知:a、b、c 是非零
17、实数,且 a2+b2+c2=1,a(+-)+b(-+-)+c(-+)=一 3,求 a+b+c 的值。b c c a a b word 6.已知:a、b、c 为三角形的三边,比较 a2+b2-c2和 4a?b2 的大小。word 经典三:因式分解练习题精选 一、填空:(30分)仁 若*+2(加-3)兀+16是完全平方式,则加的值等于 _ o 2、x2+x+m=(x-n)2 则m=_ n=_ 3、2x3y2与12/y的公因式是 4、若 xM,-yn=(x+y2)(x-y2x2+/),贝q m=_,n二 _ 5、在多项式3/若9x2-hk+y2是完全平方式,则加 _ o 12、若x2+4x-4 的值
18、为 0,贝iJ3x2+12x-5 的值是 _。word 13、若兀$一or-15=(兀+1)(兀一15)贝也=_ 14、若x+y=4,,+护=则初=_ o 15、方程x2+4x=0,的解是 _ o 二、选择题:(2 分)仁多项式一d(a-x)(x-b)+ab(a-x)(b x)的公因式是()A、_a、B、-a(a-x)(x-b)C、a(a-x)D、-a(x-a)2、若nvc2+kx+9=(2x-3)2f 则 m,k 的值分别是()A、m=2,k=6,B、m=2,k=12,C m=4,k=12、D m=4,k=12、3、下列名式:x2-y2-x2+y2-x2-y2,(-x)2+(-y)2,x4-
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