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1、20192019 年江苏省高考说明数学科年江苏省高考说明数学科一、命题指导思想一、命题指导思想2019年普通高等学校招生全国统一考试数学学科(江苏卷)命题,将依据普通高中数学课程标准(实验),参照普通高等学校招生全国统一考试大纲,结合江苏省普通高中课程标准教学要求,按照“有利于科学选拔人才、促进学生健康发展、维护社会公平”的原则,既考查中学数学的基础知识和方法,又考查进入高等学校继续学习所必须的基本能力.试卷保持较高的信度、效度以及必要的区分度和适当的难度.1 1突出数学基础知识、基本技能、基本思想方法的考查突出数学基础知识、基本技能、基本思想方法的考查对数学基础知识和基本技能的考查,贴近教学
2、实际,既注意全面,又突出重点,支撑学科知识体系的重点内容在试卷中要占有较大的比例.注重知识内在联系的考查,不刻意追求知识的覆盖面.注重对中学数学中所蕴涵的数学思想方法的考查.2 2重视数学基本能力和综合能力的考查重视数学基本能力和综合能力的考查数学基本能力主要包括空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理这几方面的能力.(1)空间想象能力空间想象能力的考查要求是:能够根据题设条件想象并作出正确的平面直观图形,能够根据平面直观图形想象出空间图形;能够正确地分析出图形中基本元素及其相互关系,并能够对空间图形进行分解和组合.(2)抽象概括能力抽象概括能力的考查要求是:能够通过对实例的探究,发现
3、研究对象的本质;能够从给定的信息材料中概括出一些结论,并用于解决问题或作出新的判断.(3)推理论证能力推理论证能力的考查要求是:能够根据已知的事实和已经获得的正确的数学命题,运用归纳、类比和演绎进行推理,论证某一数学命题的真假性.(4)运算求解能力运算求解能力的考查要求是:能够根据法则、公式进行运算及变形;能够根据问题的条件寻找与设计合理、简捷的运算途径;能够根据要求对数据进行估计或近似计算.(5)数据处理能力数据处理能力的考查要求是:能够运用基本的统计方法对数据进行整理、分析,以解决给定的实际问题.数学综合能力的考查,主要体现为分析问题与解决问题能力的考查,要求能够综合地运用有关的知识与方法
4、,解决较为困难的或综合性的问题.3 3注重数学的应用意识和创新意识的考查注重数学的应用意识和创新意识的考查数学的应用意识数学的应用意识的考查要求是:能够运用所学的数学知识、思想和方法,构造适合的数学模型,将一些简单的实际问题转化为数学问题,并加以解决.创新意识创新意识的考查要求是:能够发现问题、提出问题,综合与灵活地运用所学的数学知识和思想方法,创造性地解决问题.二、考试内容及要求二、考试内容及要求数学试卷由必做题与附加题两部分组成.选修测试历史的考生仅需对试题中的必做题部分作答;选修测试物理的考生需对试题中必做题和附加题这两部分作答.必做题部分考查的内容是高中必修内容和选修系列 1 的内容;
5、附加题部分考查的内容是选修系列 2(不含选修系列 1)中的内容以及选修系列4中专题 4-2矩阵与变换、4-4坐标系与参数方程、4-5不等式选讲这 4个专题的内容(考生只需选考其中两个专题).对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次(在下表中分别用A、B、C表示).了解:了解:要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识,并能解决相关的简单问题.理解:理解:要求对所列知识有较深刻的理性认识认识,并能解决有一定综合性的问题.掌握:掌握:要求系统地把握知识的内在联系,并能解决综合性较强的问题.具体考查要求如下:具体考查要求如下:1 1必做题部分必做题部分内容要求AB集合及其表示1集合子集交集、并
6、集、补集函数的概念函数的基本性质指数与对数2函数概念指数函数的图象与性质与基本初等函数对数函数的图象与性质幂函数函数与方程函数模型及其应用三角函数的概念同角三角函数的基本关系式正弦函数、余弦函数的诱导公式3基本初等正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与函数(三性质角函数)、函数y Asin(x)的图象与性质三角恒等变换两角和(差)的正弦、余弦及正切两角和(差)的正弦、余弦及正切4解三角形二倍角的正弦、余弦及正切正弦定理、余弦定理及其应用平面向量的概念平面向量的加法、减法及数乘运算平面向量的坐标表示C5平面向量平面向量的数量积平面向量的数量积平面向量的平行与垂直平面向量的应用数列的概念6数列等差数
7、列等差数列等比数列等比数列基本不等式基本不等式7不等式一元二次不等式一元二次不等式线性规划复数的概念复数的四则运算复数的几何意义导数的概念导数的几何意义导数的运算利用导数研究函数的单调性与极值导数在实际问题中的应用算法的含义流程图基本算法语句命题的四种形式充分条件、必要条件、充分必要条件简单的逻辑联结词全称量词与存在量词合情推理与演绎推理分析法与综合法反证法抽样方法总体分布的估计总体特征数的估计随机事件与概率古典概型几何概型互斥事件及其发生的概率8复数9 导数及其应用10算法初步11常用逻辑用语12推理与证明13概率、统计柱、锥、台、球及其简单组合体14空间几何体柱、锥、台、球的表面积和体积平
8、面及其基本性质15点、线、面直线与平面平行、垂直的判定及性质之间的位置关系两平面平行、垂直的判定及性质直线的斜率和倾斜角?直线方程直线方程16平面解析几何初步直线的平行关系与垂直关系两条直线的交点两点间的距离、点到直线的距离圆的标准方程与一般方程圆的标准方程与一般方程直线与圆、圆与圆的位置关系17圆锥曲线与方程中心在坐标原点的椭圆的标准方程与几何性质中心在坐标原点的双曲线的标准方程与几何性质顶点在坐标原点的抛物线的标准方程与几何性质2 2附加题部分附加题部分要求内容ABC?1 圆锥曲线 曲线与方程与方程顶点在坐标原点的抛物线的标准顶点在坐标原点的抛物线的标准方程与几何性质方程与几何性质选修系列
9、:不含选修系列中的内容12空间向量的概念空间向量共线、共面的充分必要条件空间向量的加法、减法及数乘运算2 空间向量空间向量的坐标表示与立体几何空间向量的数量积空间向量的共线与垂直直线的方向向量与平面的法向量空间向量的应用3 导数及其简单的复合函数的导数应用4 推理与证 数学归纳法的原理明5 计数原理排列与组合数学归纳法的简单应用加法原理与乘法原理二项式定理离散型随机变量及其分布列超几何分布6 概率、统 条件概率及相互独立事件计n次独立重复试验的模型及二项分布离散型随机变量的均值与方差选修系列中个专题44矩阵的概念二阶矩阵与平面向量常见的平面变换7 矩阵与变换矩阵的复合与矩阵的乘法二阶逆矩阵?二
10、阶矩阵的特征值与特征向量二阶矩阵的简单应用坐标系的有关概念简单图形的极坐标方程8.坐标系与参数方程参数方程直线、圆及椭圆的参数方程参数方程与普通方程的互化参数方程的简单应用9 不等式选 不等式的基本性质极坐标方程与直角坐标方程的互化讲含有绝对值的不等式的求解不等式的证明(比较法、综合法、分析法)算术-几何平均不等式与柯西不等式 利用不等式求最大(小)值运用数学归纳法证明不等式三、考试形式及试卷结构三、考试形式及试卷结构(一)考试形式(一)考试形式闭卷、笔试,试题分必做题和附加题两部分.必做题部分满分为 160分,考试时间120分钟;附加题部分满分为 40分,考试时间 30分钟.(二)考试题型(
11、二)考试题型1 1必做题必做题必做题部分由填空题和解答题两种题型组成.其中填空题 14小题,约占70分;解答题 6小题,约占 90分.2 2附加题附加题附加题部分由解答题组成,共 6 题.其中,必做题 2 小题,考查选修系列 2中的内容;选做题共 4小题,依次考查选修系列 4中 4-2、4-4、4-5这 4个专题的内容,考生只须从中选 2个小题作答.填空题着重考查基础知识、基本技能和基本方法,只要求直接写出结果,不必写出计算和推理过程;解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(三)试题难易比例(三)试题难易比例必做题部分由容易题、中等题和难题组成.容易题、中等题和难题在试卷中的比例大致为 4
12、 4:4 4:2 2.附加题部分由容易题、中等题和难题组成.容易题、中等题和难题在试卷中的比例大致为 5 5:4 4:1.1.四、典型题示例四、典型题示例A.A.必做题部分必做题部分1.设复数i满足(3 4i)z|43i|(i是虚数单位),则z的虚部为_【解析解析】本题主要考查复数的基本概念,基本运算.本题属容易题.【答案答案】452.设集合A 1,2,B a,a23,若A B 1,则实数a的值为_【解析解析】本题主要考查集合的概念、交集运算等基础知识.本题属容易题.【答案答案】1.开始k1kk+13.右图是一个算法流程图,则输出的 k的值是N【解析解析】本题主要考查算法流程图的基础知识,k2
13、5k+40本题属容易题.【答案答案】54.函数f(x)ln(x 1)的定义域为x 1Y输出 k结束【解析解析】本题主要考查对数函数的单调性,本题属容易题.【答案答案】(1,1)(1,)5.某棉纺厂为了解一批棉花的质量,从中随机抽取了100根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标),所得数据均在区间5,40中,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的100根中,有_根棉花纤维的长度小于20mm.【解析解析】本题主要考查统计中的抽样方法与总体分布的估计.本题属容易题.【答案答案】由频率分布直方图观察得棉花纤维长度小于20mm的频率为0.0450.0150.015 0.3,故频数为0.310
14、0 30.6.将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有 1,2,3,4,5,6 个点的正方体玩具)先后抛掷 2 次,则出现向上的点数之和小于 10 的概率是_.【解析解析】本题主要考察古典概型、互斥事件及其发生的概率等基础知识.本题属容易题.【答案答案】7.已知函数y cosx与y sin(2x)(0 x),它们的图像有一个横坐标为的交点,则的值是_.【解析解析】本题主要考察特殊角的三角函数值,正弦函数、余弦函数的图像与性质等基础知识,考察数形结合的思想,考察分析问题、解决问题的能力.本题属容易题.【答案答案】.8.在各项均为正数的等比数列an中,若a21,a8 a6 a4,则a6的值是_.
15、【解析解析】本题主要考察等比数列的通项公式等基础知识,考察运算求解能力.本题属容易题.【答案答案】4.x29.在平面直角坐标系xOy中,双曲线 y21的右准线与它的两条渐近线分别交于35636P,Q,其焦点是F1,F2,则四边形F1PF2Q的面积是_.【解析解析】本题主要考察中心在坐标原点的双曲线的标准方程、渐近线、准线方程、焦点、焦距和直线与直线的交点等基础知识.本题属中等难度题.【答案答案】2 310.如图,在长方体ABCD A1B1C1D1中,AB AD 3cm,AA1 2cm,则四棱锥A BB1D1D的体积为 cm3ADBC【解析解析】本题主要考查四棱锥的体积,考查空间想象能力和运算能
16、力.本题属容易题.【答案答案】6.11.设直线y xb是曲线y ln x(x 0)的一条切线,则实数b的值是.【解析解析】本题主要考查导数的几何意义、切线的求法.本题属中等题.【答案答案】ln21.xa,1 x 0,212.设f(x)是定义在R上且周期为 2的函数,在区间1,1)上,f(x)|x|其,0 x 1,559中aR.若f()f(),则f(5a)的值是.2212【解析解析】本题主要考察函数的概念、函数的性质等基础知识,考查运算求解能力.本题属中等难度题.【答案答案】13.如图,在ABC中,D 是 BC 的中点,E,F 是 AD 上的两个三等分点,BACA 4,BF CF 1,则BECE
17、的值是.【解析】本题主要考查平面向量的概念、平面向量的运算以及平面向量的数量积等基础知识,考查数形结合和等价转化的思想,考查运算求解能力.本题属难题.【答案】.14.已知正数a,b,c满足:5c3ab4ca,clnbaclnc,则的取值范围是【解析解析】本题主要考查代数形式的变形和转化能力,考查灵活运用有关的基础知识ba2578解决问题的能力.本题属难题.【答案答案】e,7二、解答题二、解答题15在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a 3,b 2 6,B 2A.(1)求cos A值;(2)求c的值.【解析解析】本题主要考查三角恒等变换、正弦定理等基础知识,考查运算求解能力.本题
18、属容易题.【参考答案参考答案】(1)在ABC中,因为a 3,b 2 6,B 2A,故由正弦定理得所以cos A 6.332 62sin Acos A2 6,于是.sin Asin2Asin A3(2)由(1)得cos A 3.所以sin A 1cos2A.3又因为B 2A,所以cosB cos2A 2cos21.从而sin B 1cos2B 2 2.36313在ABC中,因为A B C,所以sinC sin(A B)sin AcosB cos Asin B 因此由正弦定理得c asinC 5.sin A5 3.916如图,在三棱锥 A-BCD中,ABAD,BCBD,平面 ABD平面 BCD,点
19、 E、F(E与 A、D不重合)分别在棱 AD,BD上,且 EFAD.求证:(1)EF平面 ABC;(2)ADAC.【解析解析】本题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系,考查空间想象能力和推理论证能力本题属容易题【参考答案参考答案】证明:(1)在平面ABD内,因为 ABAD,EF AD,所以EFAB.又因为EF 平面 ABC,AB 平面 ABC,所以 EF平面 ABC.(2)因为平面 ABD平面 BCD,平面ABDI平面 BCD=BD,BC 平面 BCD,BC BD,所以BC 平面ABD.因为AD 平面ABD,所以BC AD.又 ABAD,BC I AB B,AB 平面 ABC
20、,BC 平面 ABC,所以 AD平面 ABC,又因为 AC平面 ABC,所以 ADAC.x2y217.如图,在平面直角坐标系 xOy中,椭圆E E:2+2=1(ab0)ab的左、右焦点分别为 F F1 1,F F2 2,离心率为,两准线之间的距离为8.点 P P 在椭圆 E E 上,且位于第一象限,过点 F F1 1作直线 PFPF1 1的垂线 l1,过点 F F2 2作直线PFPF2 2的垂线 l2.(1)求椭圆 E的标准方程;(2)若直线 l1,l2的交点 Q Q在椭圆 E上,求点 P P的坐标.12【解析】本小题主要考查直线方程、直线与直线的位置关系、椭圆方程、椭圆的几何性质等基础知识,
21、考查分析问题能力和运算求解能力.本题属中等难度题.【参考答案】(1)设椭圆的半焦距为 c.12a2c18因为椭圆 E的离心率为2,两准线之间的距离为 8,所以a2,c,22a 2,c 1b a c 3,解得,于是x2y21因此椭圆 E的标准方程是43.(2)由(1)知,F1(1,0),F2(1,0).设P(x0,y0),因为点P为第一象限的点,故x0 0,y0 0.当x01时,l2与l1相交于F1,与题设不符.y0y0当x01时,直线PF1的斜率为x01,直线PF2的斜率为x01.x01x 10因为l1PF1,l2PF2,所以直线l1的斜率为y0,直线l2的斜率为y0,从而直线l1的方程:直线
22、l2的方程:y y x01(x1)y0,x01(x1)y0.221 x01 x0 x x0,y Q(x0,)yy00由,解得,所以.21 x0 y02222x0 y01x0 y01yQ0因为点在椭圆上,由对称性,得,即或.22x0y01又P在椭圆 E上,故43.2222x0 x0 y01 y012222x0y0 x0y04 73 711x0,y0434377由,解得;,无解.4 7 3 7,)7.因此点 P的坐标为7(18.如图:为保护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区,规划要求,新桥BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆,且古桥两端O和A到
23、该圆上任一点的距离均不少于 80m,经测量,点A位于点O正北方向 60m处,点C位于点O正东方向 170m处,(OC为河岸),tanBCO.(1)求新桥BC的长;(2)当OM多长时,圆形保护区的面积最大?【解析】本小题主要考查直线方程、直线与圆的位置关系和解三角形等基础知识,考查建立数学模型及运用数学知识解决实际问题的能力.【参考答案】解法一:如图,以O为坐标原点,OC所在直线为 x轴,建立平面直角坐标系 xOy.由条件知 A(0,60),C(170,0),直线 BC的斜率 kBC=tanBCO=.又因为 ABBC,所以直线 AB的斜率 kAB=.设点 B的坐标为(a,b),则 kBC=b04
24、b603,kAB=,a1703a04344343解得 a=80,b=120.所以 BC=(17080)2(0120)2150.因此新桥 BC的长是 150m.(2)设保护区的边界圆 M的半径为 rm,OM=dm,(0d60).由条件知,直线 BC的方程为y (x170),即4x3y680 0由于圆M与直线BC相切,故点M(0,d)到直线BC的距离是r,即r 因为 O和 A到圆 M上任意一点的距离均不少于 80m,|3d 680|6803d.55436803dd 80r d 80所以即5解得10d 356803dr(60d)80(60d)805故当 d=10时,r 6803d最大,即圆面积最大.
25、5所以当 OM=10m时,圆形保护区的面积最大.解法二:(1)如图,延长 OA,CB交于点 F.因为 tanBCO=.所以 sinFCO=,cosFCO=.因为 OA=60,OC=170,所以 OF=OCtanFCO=CF=OC850500,从而AF OF OA.cosFCO33680.343453545400又因为 ABBC,所以 BF=AFcosAFB=,从而 BC=CFBF=150.3因为 OAOC,所以 cosAFB=sinFCO=,因此新桥 BC的长是 150m.(2)设保护区的边界圆 M与 BC的切点为 D,连接 MD,则 MDBC,且 MD是圆 M的半径,并设 MD=rm,OM=
26、dm(0d60).因为 OAOC,所以 sinCFO=cosFCO,故由(1)知,sinCFO=6803dMDMDr3.,所以r 6805MFOF OMd53因为 O和 A到圆 M上任意一点的距离均不少于 80m,6803dd 80r d 805所以即解得10d 356803dr(60d)80(60d)805故当 d=10时,r 6803d最大,即圆面积最大.5所以当 OM=10m时,圆形保护区的面积最大.19.设函数f(x)ln x ax,g(x)ex ax,其中a为实数.(1)若f(x)在(1,)上是单调减函数,且g(x)在(1,)上有最小值,求a的取值范围;(2)若g(x)在(1,)上是
27、单调增函数,试求f(x)的零点个数,并证明你的结论.【解析】本题主要考查函数的单调性、最值、零点等基础知识,考查灵活运用数形结合、分类讨论等数学思想方法进行探索、分析与解决问题的能力本题属难题【参考答案】解:(1)令 f(x)a 1x1ax0,考虑到f(x)的定义域为(0,),故 ax0,进而解得 xa1,即 f(x)在(a1,)上是单调减函数同理,f(x)在(0,a1)上是单调增函数由于 f(x)在(1,)上是单调减函数,故(1,)(a1,),从而 a11,即a1.令 g(x)exa0,得xlna当xlna 时,g(x)0;当xlna时,g(x)0.又 g(x)在(1,)上有最小值,所以 l
28、na1,即 ae.综上,有 a(e,)(2)当 a0 时,g(x)必为单调增函数;当a0 时,令 g(x)exa0,解得 aex,即xlna.因为 g(x)在(1,)上是单调增函数,类似(1)有 lna1,即 0ae1.结合上述两种情况,有 ae1.当 a0 时,由 f(1)0 以及 f(x)0,得 f(x)存在唯一的零点;当 a0 时,由于 f(ea)aaeaa(1ea)0,f(1)a0,且函数 f(x)在ea,1上的图象不间断,所以 f(x)在(ea,1)上存在零点另外,当 x0 时,f(x)a0,故 f(x)在(0,)上是单调增函数,所以 f(x)只有一个零点当 0ae1时,令 f(x)
29、a0,解得 xa1.当 0 xa1时,f(x)0,当 xa1时,f(x)0,所以,xa1是 f(x)的最大值点,且最大值为 f(a1)lna1.当lna10,即 ae1时,f(x)有一个零点 xe.当lna10,即 0ae1时,f(x)有两个零点实际上,对于 0ae1,由于 f(e1)1ae10,f(a1)0,且函数 f(x)在e1,1x1x1xa1上的图象不间断,所以 f(x)在(e1,a1)上存在零点另外,当 x(0,a1)时,f(x)a0,故 f(x)在(0,a1)上是单调增函数,所以 f(x)在(0,a1)上只有一个零点下面考虑 f(x)在(a1,)上的情况先证 f(ea1)a(a2e
30、a1)0.为此,我们要证明:当 xe 时,exx2.设 h(x)exx2,则 h(x)ex2x,再设 l(x)h(x)ex2x,则 l(x)ex2.当 x1 时,l(x)ex2e20,所以 l(x)h(x)在(1,)上是单调增函数故当 x2 时,h(x)ex2xh(2)e240,从而 h(x)在(2,)上是单调增函数,进而当 xe 时,h(x)exx2h(e)eee20.即当 xe 时,exx2.当 0ae1,即 a1e 时,f(ea1)a1aea1a(a2ea1)0,又 f(a1)0,且函数 f(x)在a1,ea1上的图象不间断,所以 f(x)在(a1,ea1)上存在零点又当 xa1时,f(
31、x)a0,故 f(x)在(a1,)上是单调减函数,所以f(x)在(a1,)上只有一个零点综合,当 a0 或 ae1时,f(x)的零点个数为 1,当 0ae1时,f(x)的零点个数为 2.20.设数列a 的前 n 项和为S若对任意的正整数n,总存在正整数m,使得S a,nn1x1xnm则称a 是“H 数列”n(1)若数列a 的前 n 项和S 2(nN N),证明:a 是“H 数列”;nnnn(2)设a 是等差数列,其首项ann11,公差d 0若an是“H 数列”,求 d 的值;nn(3)证明:对任意的等差数列a,总存在两个“H 数列”b 和c,使得an bn cn(nN N)成立【解析】本题主要
32、考查数列的概念、等差数列等基础知识,考查探究能力与推理论证能力本题属难题【参考答案】(1)当n2时,a当n 1时,an 1时,Sn1n Sn Sn1 2n 2n1 2n1 S1 2 a1,当n2时,Sn an11a 是“H 数列”(2)Sn na1n(n 1)n(n 1)d n d22n对nN N,mN N使S am,即n n(n 1)d 1(m 1)d21取n2得1 d (m 1)d,m 2dd 0,m 2,又mN N,m1,d 1(3)设a 的公差为 dn令bn a1(n 1)a1(2 n)a1,对nN N,bn1bn a1cn(n 1)(a1 d),对nN N,cn1cn a1 d则bn
33、 cn a1(n 1)d an,且bn,cn为等差数列bn的前 n 项和Tn na1n(n 1)n(n 3)(a1),令Tn(2 m)a1,则m 222当n 1时m1;当n2时m1;当n3时,由于 n 与n3奇偶性不同,即n(n 3)非负偶数,mN N因此对n,都可找到mN N,使Tn bm成立,即bn为“H 数列”cn的前项和Rnn(n 1)n(n 1)(a1 d),令cn(m 1)(a1 d)Rm,则m 122对nN N,n(n 1)是非负偶数,mN N即对nN N,都可找到mN N,使得Rn cm成立,即cn为“H 数列”因此命题得证.B B附加题部分附加题部分1 1选修选修4 2矩阵与
34、变换矩阵与变换10121,求B A B0206已知矩阵A【解析】本题主要考查逆矩阵、矩阵的乘法,考查运算求解能力本题属容易题【参考答案】设A的逆矩阵为ab10ab10ab10,则,即,故a 1,b 0,cd02cd012c2d011010121211A B c 0,d,从而A的逆矩阵为A1,所以,030101062222 2选修选修4 4坐标系与参数方程坐标系与参数方程在极坐标中,已知圆C经过点P圆C的极坐标方程【解析】本题主要考查直线和圆的极坐标方程等基础知识,考查转化问题的能力。本题属容易题【参考答案】【参考答案】圆C圆心为直线sin3 322,4,圆心为直线sin3 32与极轴的交点,求
35、与极轴的交点,在sin3 32中令=0,得1。圆C的圆心坐标为(1,0)。圆C经过点P2,4,圆C的半径为PC 2212212cos4=1。圆C经过极点。圆C的极坐标方程为=2cos。3 3选修选修45不等式选讲不等式选讲已知a,b是非负实数,求证:a3b3ab(a2b2)【解析】本题主要考查证明不等式的基本方法.考查推理论证能力,本题属容易题【参考答案】由a,b是非负实数,作差得当a b时,a b,从而(a)5(b)5,得(a b)(a)5(b)5)0当a b时,a b,从而(a)5(b)5,得(a b)(a)s(b)5)0.所以a3b3ab(a2b2).5.如图,在正四棱柱ABCD A1B
36、1C1D1中,AA1 2,AB 1,点N是BC的中点,点M在CC1上,设二面角A1 DN M的大小为.(1)当 900时,求AM的长;(2)当cos66时,求CM的长。【解析】本题主要考查空间向量的基础知识,考查运用空间向量解决问题的能力本题属中等题【参考答案】建立如图所示的空间直角坐标系D xyz。设CM t(0 t 2),则各点的坐标为A(1,0,0),A1(1,0,2),N(12,1,0),M(0,1,t)所以DN(12,1,0),DM (0,1,t),DA1(1,0,2).设平面DMN的法向量为n1(x1,y1,z1),则n1DN 0,n1DM 0,即x1 2y1 0,y1tz1 0,
37、令z11,则y1 t,x1 2t.所以n1(2t,t,1)是平面DMN的一个法向量.设平面A1DN的法向量为n2(x2,y2,z2),则n2DA1 0,n2DN 0即x2 2z2 0,x2 2y2 0,令z21,则x2 2,y21所以n2(2,1,1)是平面A1DN的一个法向量,从而n1n2 5t 1(1)因为 90,所以n1n2 5t 1 0解得t,从而M(0,1,)所以AM 1212()155151515(2)因为|n1|5t21,|n2|6所以cos n1,n2n1n2|n1|n2|5t 16 5t 12 61,解得t 0或t.6212因为 n1,n2或,所以5t 16 5t2112根据
38、图形和(1)的结论可知t,从而CM的长为.x(x 0)6.已知函数f(x)sin,记f(x)为fx0nn1(x)的导数,nN N(1)求2 f1f2222的值;n1(2)证明:对任意的nN N,等式nff2成立4442n【解析】本题主要考查简单的复合函数的导数、导数的运算法则及数学归纳法等基础知识。考察探究能力及推理论证能力.本题属难题.【参考答案】sin x cosxsin x(1)解:由已知,得f1(x)f0(x)2,xxxcosx sin x sin x2cos x2sin x于是f2(x)f1(x),223xxxxx所以f1()2216故,f(),2 f()f()1.212232222
39、4000(2)证明:由已知,得xf(x)sin x,等式两边分别对 x求导,得f(x)xf(x)cosx,),类似可得即f(x)xf(x)cosx sin(x 2012 f1(x)xf2(x)sin x sin(x),3f2(x)xf3(x)cosx sin(x 3),24 f3(x)xf4(x)sin x sin(x 2).下面用数学归纳法证明等式nfn1(x)xfn(x)sin(x n)对所有的nN N*都成立.2(i)当 n=1时,由上可知等式成立.(ii)假设当 n=k时等式成立,即kf因为kfk1k1(x)xfk(x)sin(x k).2(x)xfk(x)kfk1(x)fk(x)xfk(x)(k 1)fk(x)fk1(x),(k 1),2sin(x k)cos(x k)(x k)sinx 222所以(k 1)f(x)fkk1(x)sinx(k 1).2所以当 n=k+1时,等式也成立.综合(i),(ii)可知等式nf令x,可得nf4n1(x)xfn(x)sin(x n)对所有的nN N*都成立.2n1()fn()sin(n)(nN N*).44442所以nf()n14fn()2(nN N*).442
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