沪教版无理方程精品讲义.pdf
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1、.无理程【学习目标】1、理解无理程的概念,会区分有理程和无理程。2、会用在程两边平的法解可以化为一元一次程或一元二次程的无理程,并会验根。3、知道用换元法解无理程的条件,会用换元法把某些特殊的无理程化为有理程。4、通过无理程有理化的过程,知道验根是解无理程的必要步骤,领会转化思想在解无理程中的作用,掌握无理程验根的基本法。5、会正确判定无理程是否有实数解。【例题精讲】例 1:下列关于 x 的程,为无理程的是()A、x 3 3x2 0B、2x11x22 1C、2x 211xc5x 7 0D、5axb考点:无理程的概念分析:根据无理程的定义进行解答,根号含有未知数的程为无理程解答:选项 A 中的根
2、号不含未知数,此程为整式程;选项 B 中的根号不含未知数,此程为分式程;选项 D 中的根号虽含有字母,但只是常数并非未知数,所以也不是无理程,此程为分式程;选项 C 中的根号含有未知数x,符合无理程的定义,所以该题答案为C。点评:本题主要考查无理程的定义,关键在于分析各程的根号是否含有未知数Word 资料.针对练习:下列方程中为无理方程的是()A、2x1 2B、2x11 0C、例 2:解程:x21 2x1考点:解无理程分析:两边直接平把根号去掉,把无理程转化为有理程来求解,最后把所得的解代回原程中进行检验。解答:两边平得x 1 2x1,整理后得x 2x 0,解得x1 0,x2 2检验:分别代入
3、原程检验得x1 0时根号的数为负数不成立,为增根舍去,故原程的根为x=2。点评:解无理程的基本法是把程两边同时平,这样可能使未知数的允取值围扩大,于是就有可能产生增根,所以在解答此类题目时一定要注意验根。针对练习:解下列方程:(1)223xx12 2D、0 x11 x5xx23x5 3(2)5 x27 4 225Word 资料.例 3:解程:2 x5 10 x考点:解无理程分析:把程移项后,两边平求解,最后把所得的解代回原程中进行检验。解答:移项,得2 x5 x-10,两边平,得4x5x10,2整理,得x 24x80 0,解得x1 20,x2 4。检验:分别代入原程检验得x2 4时程左右两边不
4、相等为增根,原程的解为x=4。点评:本例中的无理程与例2 有所不同,如果直接两边平,程中仍将含有根号,起不了有理化的作用。所以解这类程,应该先移项,把被开数中含有未知数的根式放在程的一边,其余的移到另一边,再两边平。由于解无理程可能产生增根的原因较复杂,所以在验根的时候还需要注意应该把解得的有理程的根逐一代入原程,程成立的是原程的根,不成立的是增根,而不是仅仅只把根代入根式中进行检验是否为非负。针对练习:解下列方程:(1)2x2x1 5(2)x12x6 x 3Word 资料2.例 4:解程:2x4 考点:解无理程分析:程中含有两个根式,通过移项,把原程变为2x4 x5 1x5 1,再两边平,转
5、化为有理程,再分别解有理程,把所得的解代回原程中进行检验。解答:移项,得2x4 x5 1两边平,整理得x10 2 x5再两边平,整理得解得x1 4,x2 20检验:分别代入原程检验得x1 4时程左右两边不相等为增根,原程的解为x 20。点评:这种解法是根据原程的特点适当移项,原则是减少根式的个数,使解法较为简便;同时在把无理程变为有理程时,需要将程两边都乘以相同的次数,直到全部去根号为止。针对练习:解下列方程:(1)1 x x224x80 0 x12 5(2)2x 1 x 2 23Word 资料.例 5:解程:3x4 2x5 考点:解无理程分析:程中含有三个根式,通过移项,把原程变为3x4 x
6、32x5 x3,再两边平,转化为有理程,再分别解有理程,把所得的解代回原程中进行检验。解答:移项,得3x4 2x5 x3两边平,整理得x32x5 6再两边平,整理得解得x1 7,x2 2x211x21 032x2 32时3x4没有意义为增根,检验:分别代入原程检验得原程的解为x 7。点评:本例的程是含有两个以上根号含有未知数的无理程。解这类无理程,由于在几个根号都含有未知数,求解时可能会要多次把程两边平;为使求解过程不致很繁,应注意几个根式适当搭配,以使平后尽量简单。比如本例中各个被开数中的一次项3x、2x、x有x2x 3x的特点,所以将2x5从程左边移到右边,解起来比较简便。针对练习:解下列
7、方程:Word 资料(1)2x1x1 6 x(2)3x14x3 5x4 0.例 6:解程:x28xx28x 12考点:解无理程,换元法分析:观察发现2x 8x x 8x,如果设222x28x y,那么原程就可转化为y y 12,再解程。2解答:设x28x y,则原程可化为y y 12。解这个程,得y1 3,y2 4。当y1 3时,x28x 3,x 8x9 0,x11,x2 9;当y2 4时,x28x -4无解。检验:把x11,x2 9分别代入原程的左右两边,因为左边=右边,x11,x2 9是原程的根。原程的根是x11,x2 9点评:解无理程,如同解分式程一样,首先要观察程的特点,选择用换元法还
8、是两边平法。像本例这样比较复杂、但又很特殊的无理程都可以通过换元法直接转化为有理程来解。针对练习:解下列方程:(1)2x2 x5 2x2 x 6(2)4x210 x5 2x25x9 6 0Word 资料2.例 7:下列程中,在实数围有解的是()A、x8 5 x 2B、3x12 0C、3 x 考点:无理程分析:判断无理程是否有解可以从被开数是否非负以及二次根式的非负性来判断。解答:选项 A 中 x-8 和 5-x 不能同时为非负,故根式无意义;选项 B 移项后二次根式为负整数了,故无实数根;选项 C 要使两个根式有意义x 只能取 3,但 x=3 时等号两边不相等,故无解;选项 D 两边平解程可知
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