(新课标)2020年高考数学一轮总复习第八章平面解析几何8-9圆锥曲线的综合问题课时规范练文(含解析.pdf
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1、8-9 圆锥曲线的综合问题 课时规范练 A 组 基础对点练 1(2018东北三省四市联考)在平面直角坐标系中,椭圆C:错误!错误!1(ab0)的离心率为错误!,点M错误!在椭圆C上(1)求椭圆C的方程;(2)已知P(2,0)与Q(2,0)为平面内的两个定点,过点(1,0)的直线l与椭圆C交于A,B两点,求四边形APBQ面积的最大值 解析:(1)由题可知e错误!错误!,所以a2c,则椭圆C的方程为错误!错误!1,将M错误!代入得错误!错误!1,所以c21,a24,b23,所以椭圆C的方程为错误!错误!1.(2)由题易知,直线l的斜率不为 0,设l的方程为xmy1,联立方程错误!消去x得(3m24
2、)y26my90.设点A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y2错误!,y1y2错误!,则AB|错误!错误!错误!。点P(2,0)到直线l的距离为错误!,点Q(2,0)到直线l的距离为错误!,所以四边形APBQ的面积S12错误!错误!错误!。令t错误!,t1,则S错误!错误!.设函数f(t)3t错误!(t1),则f(t)3错误!0,所以f(t)在1,)上单调递增,有 3t错误!4,故S错误!6,当且仅当t1 时取等号 所以当t1,即m0 时,四边形APBQ面积最大,最大值为 6。2(2016高考北京卷)已知椭圆C:错误!错误!1(ab0)的离心率为错误!,A(a,0),B(0,b),O(0
3、,0),OAB的面积为 1.(1)求椭圆C的方程;(2)设P是椭圆C上一点,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N.求证:ANBM|为定值 解析:(1)由题意得错误!解得a2,b1.所以椭圆C的方程为错误!y21。(2)证明:由(1)知,A(2,0),B(0,1)设P(x0,y0),则x错误!4y错误!4.当x00 时,直线PA的方程为y错误!(x2)令x0,得yM错误!,从而BM|1yM|错误!。直线PB的方程为y错误!x1。令y0,得xN错误!,从而|AN|2xN|错误!.所以AN|BM|错误!错误!错误!错误!4。当x00 时,y01,|BM|2,AN2,所以|AN|BM4.综上
4、,|AN|BM|为定值 3已知椭圆E:错误!错误!1 的右焦点为F(c,0)且abc0,设短轴的一个端点为D,原点O到直线DF的距离为错误!,过原点和x轴不重合的直线与椭圆E相交于C,G两点,且|错误!|错误!4.(1)求椭圆E的方程;(2)是否存在过点P(2,1)的直线l与椭圆E相交于不同的两点A,B且使得错误!24错误!错误!成立?若存在,试求出直线l的方程;若不存在,请说明理由 解析:(1)由椭圆的对称性知|错误!|错误!2a4,a2.又原点O到直线DF的距离为错误!,bca错误!,bc错误!,又a2b2c24,abc0,b错误!,c1.故椭圆E的方程为错误!错误!1.(2)当直线l与x
5、轴垂直时不满足条件 故可设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为yk(x2)1,代入椭圆方程得(34k2)x28k(2k1)x16k216k80,x1x2错误!,x1x2错误!,32(6k3)0,k12。错误!24错误!错误!,即 4(x12)(x22)(y11)(y21)5,4(x12)(x22)(1k2)5,即 4x1x22(x1x2)4(1k2)5,4错误!(1k2)4错误!5,解得k错误!,k错误!不符合题意,舍去,存在满足条件的直线l,其方程为y错误!x.4(2018陕西质检)已知椭圆错误!错误!1(ab0)的左、右焦点分别为F1和F2,由M(a,b),N(a,b),F2
6、和F1这 4 个点构成了一个高为错误!,面积为 3错误!的等腰梯形(1)求椭圆的方程;(2)过点F1的直线和椭圆交于A,B两点,求F2AB面积的最大值 解析:(1)由已知条件,得b错误!,且错误!错误!3错误!,所以ac3.又a2c23,所以a2,c1,所以椭圆的方程为错误!错误!1.(2)显然,直线的斜率不能为 0,设直线的方程为xmy1,A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程错误!消去x得,(3m24)y26my90.因为直线过椭圆内的点,所以无论m为何值,直线和椭圆总相交,所以y1y2错误!,y1y2错误!,所以SF2AB错误!F1F2|y1y2y1y2错误!12错误!错误!.又m
7、20,所以 9(m21)错误!6 递增,所以 9(m21)错误!691616,所以SF2AB错误!3,当且仅当m0 时取等号,所以SF2AB的最大值为 3。B 组 能力提升练 1(2018武汉调研测试)已知直线y2x与抛物线:y22px(p0)交于O和E两点,且OE|5。(1)求抛物线的方程;(2)过点Q(2,0)的直线交抛物线于A,B两点,P为直线x2 上一点,PA,PB分别与x轴相交于M,N两点,问M,N两点的横坐标的乘积xMxN是否为定值?如果是定值,求出该定值,否则请说明理由 解析:(1)由y22px与y2x,解得交点O(0,0),E错误!,所以OE|错误!错误!,解得p2,所以抛物线
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