空间力系精.ppt
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1、空间力系第1页,本讲稿共52页5.1 5.1 力在空间坐标轴上的投影力在空间坐标轴上的投影 工程中常常遇到工程中常常遇到各力的作用线不在同一平面内的力系各力的作用线不在同一平面内的力系如图所示的各种如图所示的各种力系,统称为力系,统称为空间力系空间力系。而当各力的作用线汇交于一点的力系又称为。而当各力的作用线汇交于一点的力系又称为空间汇交力空间汇交力系系(图图(a)(a);各力的作用线彼此平行的力系称为;各力的作用线彼此平行的力系称为空间平行力系空间平行力系(图图(b)(b);各力的作用;各力的作用线在空间任意分布的力系称为线在空间任意分布的力系称为空间任意力系空间任意力系(图图(c)(c)。
2、它们是最一般的力系。空。它们是最一般的力系。空间力系的研究方法与平面力系基本相同。间力系的研究方法与平面力系基本相同。第2页,本讲稿共52页一、力在空间的表示及在空间坐标轴上投影设空间力F作用于物体的0点,空间表示如图所示第3页,本讲稿共52页 1 一次投影法一次投影法 若已知力F与坐标轴间的方向角、,则力F在x、y、z三个坐标轴上的投影为(如图(a)X=Fcos,Y=Fcos,Z=Fcos此为一次投影法,也叫直接投影法。反过来若已知力F在三轴z、y、z上的投影X、Y、Z,也可求出力F的大小和方向,即第4页,本讲稿共52页 由直角坐标中矢量沿各坐标轴的分量与其在该轴上的投影的关系,则力F沿空间
3、直角坐标轴分解表达式可表示为 式中,i、j、k为沿z、y、z三个坐标轴正向的单位矢量。Fx=Xi,Fy=YjFz=Zk,它们是力F沿三个方向的分量。第5页,本讲稿共52页例题力系中,F1=100N,F2=300N,F3=200N,各力作用线的位置如图所示。试将力系向原点O 简化。解 由题意得第6页,本讲稿共52页第7页,本讲稿共52页 X=Fcoscos,Y=Fcossin,Z=Fsin此为二次投影法。注意:力在轴上的投影是代数量,而力在xy平面上的投 影F。是矢量,因为它也有大小和方向.2 二次投影法二次投影法 若已知力F与坐标轴间的仰角和俯角,则先将力F投影在xy平面和z轴上,然后将xy平
4、面上的投影Fxy。再投影到x、Y轴上。即 第8页,本讲稿共52页5.2 力对轴的矩、力对点的矩与合力矩定理力对轴的矩、力对点的矩与合力矩定理 一、力对轴的矩的概念及计算一、力对轴的矩的概念及计算 平面内力对点的矩可以平面内力对点的矩可以看成是空间物体绕通过看成是空间物体绕通过O点点且垂直于该平面的且垂直于该平面的z轴转动轴转动(如图所示),所以平面(如图所示),所以平面内力对点的矩实际上就是内力对点的矩实际上就是空间的力对轴之矩。空间的力对轴之矩。第9页,本讲稿共52页符号规定(右手螺旋法则)符号规定(右手螺旋法则)两种特殊情况:zodabABFxyxyFxy代数量代数量第10页,本讲稿共52
5、页二、二、力对点的矩的概念及计算力对点的矩的概念及计算 在平面力系中力对点的矩和空间力对轴的矩都是用代数量表示,这是因为它们力与矩心所在的平面(力矩作用面)是固定不变的。空间力对点的矩是一个矢量,用m0(F)表示(如图)。该矢量通过矩心0,垂直于力矩作用面。方向:遵循右手规则即对着力矩矢看去,逆时针方向为正,顺时针为负。大小:说明:力矩矢量为一定位矢量,当矩心的位置改变时,m0(F)的大小及方向也随之而变。矢量式:力对于任一点的矩等于矩心至力的作用点的矢径与该力的矢积。上式称为力对于点的矩的失积表达式。第11页,本讲稿共52页平面力对点之矩和空间力对点之矩的区别平面力对点之矩和空间力对点之矩的
6、区别1 1.平面问题平面问题平面问题平面问题中,由于矩心与力矢均在同一个特定的平面内,中,由于矩心与力矢均在同一个特定的平面内,中,由于矩心与力矢均在同一个特定的平面内,中,由于矩心与力矢均在同一个特定的平面内,因此因此因此因此力矩矢总是垂直于该平面力矩矢总是垂直于该平面力矩矢总是垂直于该平面力矩矢总是垂直于该平面,即力矩的,即力矩的,即力矩的,即力矩的方向不变方向不变方向不变方向不变、指指指指向可用正、负号区别向可用正、负号区别向可用正、负号区别向可用正、负号区别,是一个,是一个,是一个,是一个代数量代数量代数量代数量。2 2.空间问题空间问题空间问题空间问题中,矩心与力矢不在同一平面内,中
7、,矩心与力矢不在同一平面内,中,矩心与力矢不在同一平面内,中,矩心与力矢不在同一平面内,力矩矢垂直于矩力矩矢垂直于矩力矩矢垂直于矩力矩矢垂直于矩心和力共同确定的平面心和力共同确定的平面心和力共同确定的平面心和力共同确定的平面,即力矩的,即力矩的,即力矩的,即力矩的方向随矩心或力位置的不方向随矩心或力位置的不方向随矩心或力位置的不方向随矩心或力位置的不同而改变同而改变同而改变同而改变、指向可用正、负号区别指向可用正、负号区别指向可用正、负号区别指向可用正、负号区别,是一个,是一个,是一个,是一个矢量矢量矢量矢量。第12页,本讲稿共52页三、力对点的矩与力对通过该点轴的矩的关系三、力对点的矩与力对
8、通过该点轴的矩的关系三、力对点的矩与力对通过该点轴的矩的关系三、力对点的矩与力对通过该点轴的矩的关系 即:即:力对任意一点之矩矢在通过该点的任一轴上的力对任意一点之矩矢在通过该点的任一轴上的投影等于力对该轴之矩(力矩关系定理)。投影等于力对该轴之矩(力矩关系定理)。力力F对于对于O点矩矢的大小为点矩矢的大小为 力力F对于通过对于通过O点的任一点的任一z轴的矩的大小为轴的矩的大小为 由几何关系可知由几何关系可知 可得可得第13页,本讲稿共52页 应用力矩关系定理可以求出力对于坐标轴的矩的解析表达式。若以矩心D点为原点作坐标系0 xyz,力F及其作用点A的矢径r可表示为 力力F对于对于O点矩矢为点
9、矩矢为 力力F对于各坐标轴的矩对于各坐标轴的矩 第14页,本讲稿共52页四、合力矩定理四、合力矩定理 与平面力系情况类似,在空间力系中也有合力矩定理,空间力系的合力对某一轴的矩等于力系中所有备分力对同一轴的矩的代数和。例5-1 已知力P=2000N,作用于曲柄的C点上(c点在Oxy平面内),尺寸如图所示。试求该力对图示三个坐标轴的矩。第15页,本讲稿共52页解 首先将力P向z、y、z三个坐标轴分解,通过二次投影法,可求得力P在x、y、z三个坐标轴的分力为 Px=Pcos45sin60,Py=Pcos45cos60,Pz=Psin45 应用合力矩定理可得 第16页,本讲稿共52页例题水平圆盘的半
10、径为r,外缘C 处作用有已知力F F。力F F 位于铅垂平面内,且与C处圆盘切线夹角为60,其他尺寸如图a所示。求力F 对x,y,z 轴之矩。解(1)方法1,如图b所示,由已知得第17页,本讲稿共52页(2)方法2第18页,本讲稿共52页第19页,本讲稿共52页5.3 空间汇交力系的合成与平衡空间汇交力系的合成与平衡 1)几何法几何法 几何法也是应用空间力多边形法则。用空间力多边形的封闭边来表示空间汇交力系的合力,其合力的作用线通过力系的汇交点,用矢量式表示为 2)解析法 空间汇交力系F1,F2,Fn汇交于点O。以O为空间坐标系原点。各力分解表达式为 一、空间汇交力系的合成一、空间汇交力系的合
11、成第20页,本讲稿共52页代人式代人式(5-11)后得后得 则有则有 这就是这就是空间力系的合力投影定理空间力系的合力投影定理即空间力系的台力在某一轴上的投影即空间力系的台力在某一轴上的投影等于力系中所有备力在同一轴上投影的代数和。等于力系中所有备力在同一轴上投影的代数和。合力R的大小为 合力R的方向为 第21页,本讲稿共52页二、空间汇交力系的平衡二、空间汇交力系的平衡 由于空间汇交力系的合成结果为一合力,所以空间汇交力系平衡的必要与充分条件是:该力系的合力为零,即 即空间汇交力系几何法平衡的必要与充分条件是:该力系的力多边形自行封闭。空间汇交力系解析法平衡的必要与充分条件是:该力系中所有各
12、力在三个坐标轴中每一个坐标轴上投影的代数和等于零即 此式称为空间汇交力系的平衡方程。第22页,本讲稿共52页例5-2 重为P的物体由杆AB和位于同一水平面的绳索AC与AD支承(如图)。杆AB在B处由铰链与铅垂面连接。巳知P=1000N,CE=ED=12cm,EA=24cm,=45,不计杆重,求绳索的拉力和杆AB所受的力。解 取节点A为研究对象,作用于A点的力有重力P、绳索的拉力Tc与TD及杆的约束反力s(因不汁杆重,故杆AB为二力杆,s方向必沿杆AB的连线)。这些力组成一空间汇交力系。选取坐标系Axyz如图(b)所示,由 解得第23页,本讲稿共52页为求Tc和TD,将各力投影在Axy水平面内,
13、得一平面汇交力系(图(c),其中S是力s的投影,其大小为s=sin。对此投影力系列平衡方程 而解得第24页,本讲稿共52页例题例题空间构架由3 根无重直杆组成,在D 端用球铰链连接,如图a所示。A,B 和C 端则用球铰链固定在水平地板上。如果挂在D 端的物重P=10kN,求铰链A,B 和C 的约束力。第25页,本讲稿共52页解 取节点 D 为研究对象,设各杆受拉力,受力如图b所示。在力系作用下平衡:又有又有解得第26页,本讲稿共52页例题在图a所示起重机中,已知AB=BC=AD=AE;点A,B,D 和E 等均为球铰链连接,如三角形ABC 的投影为AF 线,AF 与y 轴夹角为。求铅直支柱和各斜
14、杆的内力。解(1)节点C 为研究对象,受力及坐标系如图d所示,其中x 轴沿BC,y 轴铅直向上。解得第27页,本讲稿共52页(2)节点B 为研究对象,受力及坐标系如图b、c 所示解得第28页,本讲稿共52页5.4 空间任意力系的平衡方程与空间约束 1空间任意力系的平衡方程 设刚体上作用有空间任意力系F1,F2,Fn。(图(a),该力系既可能使刚体沿空间x、y、z三个轴方向移动,又可能使刚体绕空间x、y、z三个轴方向转动。若刚体在该空间任意力系作用下保持平衡,则要求刚体既不能沿空间z、y、z三个轴移动,也不能绕空间x、y、z三个轴转动(图(b)。第29页,本讲稿共52页 若保证刚体沿x、y、z三
15、个坐标轴方向都不移动。则必须要求此空间任意力系各力在z、y、z三个坐标轴中,每个轴上投影的代数和为零。同理若保证刚体不绕x、y、z 三个空间坐标轴转动,也必须要求该空间任意力系各力对x、y、z三个轴中每个轴的矩的代数和为零。即这就是空间任意力系平衡的必要与充分条件。对于空间汇交力系,若选择空间汇交力系的汇交点为坐标系0 xyz的原点(如图),则由于各力与三个坐标轴x、y、z轴都相交,因此,不论此力系是否平衡,各力对三个坐标轴中每个轴的矩都恒为零,即第30页,本讲稿共52页所以,空间汇交力系的平衡方程为 对于空间平行力系,假设力系中各力均与z轴平行(如图),则各力对z轴的矩必等于零,又由于平行于
16、z轴的力在x、y轴上的投影必为零。所以有 因此,空间平行力系的平衡方程为 第31页,本讲稿共52页2空间约束空间约束 第32页,本讲稿共52页 例5-3 三轮起重机可简化为图所示,车身重G=100kN,重力通过E点(E点为A、B、C三个轮组成等边三角形的中心)。巳知a=5m,b=3m,起吊物重P=20kN,且重力通过F点,FHA在一条直线上且垂直平分BC。设轮A、B、与地面为光滑接触,求地面对起重机二个轮的约柬反力。解 取起重机为研究对象,作用于起重机上的力有重力G与P,以及地面对三个轮的反力NA、NB、NC,这五个力组成一个空间平行的平衡力系,选坐标系Hxyz如图所示,列空间平行力系的平衡方
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