人教B版-选修2-1-高中数学-第三章-3.2-空间向量在立体几何中的应用课件.pptx
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1、向量运算在几何证明与计算中的应用向量运算在几何证明与计算中的应用.掌握利用向量运算解几何题的方法掌握利用向量运算解几何题的方法.解简单的立体几何问题解简单的立体几何问题.教学目标教学目标知识目标知识目标培养学生学会从培养学生学会从“感性认识感性认识”到到“理性认识理性认识”过程中获取新知过程中获取新知.注重数形结合,掌握解析法研究几注重数形结合,掌握解析法研究几何问题的一般方法何问题的一般方法.充分利用学生已有的解决平面几何充分利用学生已有的解决平面几何问题的知识基础,对新旧知识进行问题的知识基础,对新旧知识进行类比,达到温故知新的效果类比,达到温故知新的效果.能力目标能力目标情感目标情感目标
2、理解并掌握向量方法解决立体几何理解并掌握向量方法解决立体几何问题的一般方法(问题的一般方法(“三步曲三步曲”).建立立体图形与空间向量之间的联系,建立立体图形与空间向量之间的联系,把立体几何问题转化为向量问题把立体几何问题转化为向量问题.教学重难点教学重难点重点重点难点难点 一般的,由直线、平面的位置关系以及一般的,由直线、平面的位置关系以及直线的方向向量和平面的法向量,可以归纳直线的方向向量和平面的法向量,可以归纳如下结论:如下结论:设直线设直线l、m的方向向量分别为的方向向量分别为a、b,平面,平面,的法向量分别为的法向量分别为u,v,则,则线线平行:线线平行:l/m a/b a=kb;线
3、面平行:线面平行:l/au au=0;面面平行:面面平行:/u/v u=kv.线线垂直:线线垂直:lm ab ab=0线面垂直:线面垂直:l a/u a=ku面面垂直:面面垂直:uv uv=0线线垂直:线线垂直:l,m的夹角为的夹角为(0)cos=线面垂直:线面垂直:l,的夹角为的夹角为(0)sin=面面垂直:面面垂直:,的夹角为的夹角为(0)cos=注意注意:(1)这里的线线平行平行包这里的线线平行平行包括重合,线面平行包括线在面括重合,线面平行包括线在面内,面面平行包括面面重合内,面面平行包括面面重合.(2)这里的线线夹角、线面这里的线线夹角、线面夹角、面面夹角都是按照相关夹角、面面夹角都
4、是按照相关定义给出的,即定义给出的,即二面角二面角的大小是指其两个半平面的张开程度的大小是指其两个半平面的张开程度.仿照仿照“平面与平面平行的判定定理平面与平面平行的判定定理”的的证明证明,我们得出以下两个判定定理:我们得出以下两个判定定理:直线与平面平行的判定定理:直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行平面外一条直线与此平面内的一条直线平行平面与平面垂直的判定定理:平面与平面垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直面垂直.立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法“三步曲三步曲”:(1)建立立体图形与空间向量的
5、联系,用空间建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面,把立向量表示问题中涉及的点、直线、平面,把立体几何问题转化为向量问题体几何问题转化为向量问题.(2)进行向量运算,研究点、直线、平面之间进行向量运算,研究点、直线、平面之间的关系(距离和夹角等的关系(距离和夹角等).(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题根据运算结果的几何意义来解释相关问题.解:解:化为向量问题:化为向量问题:,进行向量运算:进行向量运算:如图,如图,M、N分别是棱长为分别是棱长为1的正的正方体方体 的棱的棱 ,的的中点,求异面直线中点,求异面直线MN与与 所成的角所成的角MNDABCD A
6、B C 例例 1 ,回到图形问题:回到图形问题:求得求得 cos MNDABCD AB C 我们同样可以用向量法求解,我们同样可以用向量法求解,解答过程如下:解答过程如下:如右图:将如右图:将F1分解为一个向上的分力分解为一个向上的分力F11和和一个指向钢板重心的分力一个指向钢板重心的分力F12,这两个分力,这两个分力互相垂直互相垂直.F=F1cos60=F1,F12=F11=对对F2,F3可以得到同样大的向上的分力,因可以得到同样大的向上的分力,因此合力为此合力为 .F12F11F1F 在上节课中我们提到用坐标法来解在上节课中我们提到用坐标法来解决立体几何问题,这节课,我们结合向量决立体几何
7、问题,这节课,我们结合向量法和坐标法来解决例题几何问题,由于法法和坐标法来解决例题几何问题,由于法向量对坐标法有着极其重要的作用向量对坐标法有着极其重要的作用.让我们首先回顾让我们首先回顾法向量法向量的定义:的定义:法向量法向量定义:如果直线定义:如果直线l ,取直线取直线l的的方向向量为方向向量为 ,则向量,则向量 叫作平面叫作平面的法的法向量利用法向量,可以巧妙的解决空间角向量利用法向量,可以巧妙的解决空间角度和距离度和距离.利用法向量,可以巧妙的解决空间角度和距离利用法向量,可以巧妙的解决空间角度和距离.讨论:讨论:如何利用法向量求线面角?如何利用法向量求线面角?面面角?面面角?直线直线
8、AB与平面与平面所成的角所成的角,可看成是向量,可看成是向量所在直线与平面所在直线与平面的法向量所在直线夹角的余角,的法向量所在直线夹角的余角,从而求线面角转化为求直线所在的向量与平面的从而求线面角转化为求直线所在的向量与平面的法向量的所成的线线角,根据两个向量所成角的法向量的所成的线线角,根据两个向量所成角的余弦公式余弦公式 ,我们可以得到如下,我们可以得到如下 向量法的公式向量法的公式:长方体长方体ABCD-A1B1C1D1中,中,AD=AA1=2,AB=4,E、F分别是分别是A1D1、AB的中点,的中点,O是是BC1,B1C的交点的交点.求直线求直线OF与与平面平面DEF所成角的正弦所成
9、角的正弦.解:解:以点以点D为空间直角坐标系的为空间直角坐标系的原点,原点,DA、DC、DD1为坐标轴为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系建立如图所示的空间直角坐标系.则则D(2,2,0),E(1,0,2),F(2,2,0),O(1,4,1),C(0,4,0),设平面设平面DEF的法向量为的法向量为例例 2 则则 ,而,而 ,即,即 ,解得:解得:x:y:z=-2:2:1,而,而所以,直线所以,直线OF与平面与平面DEF所成角的正弦为所成角的正弦为OP3.2-1(1)laAPB3.2-1(2)(1)取一点取一点O为基点,空间中为基点,空间中任任 意一点意一点P的位置就可以用向的位置就可以用向量
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- 人教 选修 高中数学 第三 3.2 空间 向量 立体几何 中的 应用 课件
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