线段的垂直平分线与角平分线_1.pdf
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1、 1 线段的垂直平分线与角平分线【知识框架】1、线段垂直平分线的性质(1)垂直平分线性质定理:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.定理的数学表示:如图 1,CDAB,且 ADBD ACBC.定理的作用:证明两条线段相等(2)线段关于它的垂直平分线对称.2、线段垂直平分线的判定定理:到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.定理的数学表示:如图 2,ACBC 点 C 在线段 AB 的垂直平分线 m 上.定理的作用:证明一个点在某线段的垂直平分线上.3、关于线段垂直平分线性质定理的推论(1)关于三角形三边垂直平分线的性质:三角形三边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三
2、个顶点的距离相等.性质的作用:证明三角形内的线段相等.(2)三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系:若三角形是锐角三角形,则它三边垂直平分线的交点在三角形内部;若三角形是直角三角形,则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点;若三角形是钝角三角形,则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.反之,也成立。m图1DABCm图2DABCjik图3OBCA 1 4、角平分线的性质定理:角平分线的性质定理:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.定理的数学表示:如图 4,OE 是AOB 的平分线,F 是 OE 上一点,且 CFOA 于点 C,DFOB 于点 D,CFDF.定理的作用:证明两条线段相等;
3、用于几何作图问题;角是一个轴对称图形,它的对称轴是角平分线所在的直线.5、角平分线性质定理的逆定理:角平分线的判定定理:在角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上.定理的数学表示:如图 5,点 P 在AOB 的内部,且 PCOA 于 C,PDOB 于 D,且 PCPD,点 P 在AOB 的平分线上.定理的作用:用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线 注意角平分线的性质定理与判定定理的区别和联系.6、关于三角形三条角平分线的定理:(1)关于三角形三条角平分线交点的定理:三角形三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等.定理的数学表示:如图 6,如果 AP、BQ、CR
4、 分别是ABC 的内角BAC、ABC、ACB 的平分线,那么:AP、BQ、CR 相交于一点 I;若 ID、IE、IF 分别垂直于 BC、CA、AB 于点 D、E、F,则 DIEIFI.定理的作用:用于证明三角形内的线段相等;用于实际中的几何作图问题.图5CDOABP图6EFDIPRQBCA图4CDOABFE 1(2)三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系:三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.这个交点叫做三角形的内心(即内切圆的圆心).7、关于线段的垂直平分线和角平分线的作图:(1)会作已知线段的垂直平分线;(2)会作已知角的角平分线;(3)会作与线段垂直平分线和角平分线有关
5、的简单综合问题的图形.1【典型例题】例 1、如图 1,在ABC 中,BC8cm,AB 的垂直平分线交 AB 于点 D,交边 AC 于点 E,BCE 的周长等于 18cm,则 AC 的长等于()A6cm B8cm C10cm D12cm【跟踪练习】(1)如图,AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交 AB 于点 D,交 AC 于点 E,如果EBC 的周长是 24cm,那么 BC=_;(2)如图,AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交 AB 于点 D,交 AC 于点 E,如果 BC=8cm,那么EBC 的周长是_;(3)如图,AB=AC,AB 的垂直平分线交 AB 于点 D,交 AC 于点
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