近世代数.pdf
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1、第九章 特殊的代数系统 习题 1.判断下列运算关于自然数集合是否构成半群:,maxbaba;bba;abba2;baba。解 是半群。显然,二元运算“”在 N 上是封闭的,所以,,N是一个代数系统,另一方面,,Ncba有cbacbacba,max,max,而 cbacbacba,max,max,因此,cbacba,所以,运算“”满足结合律的,故,N是半群;是半群。显然,二元运算“”在 N 上是封闭的,所以,,N是一个代数系统,另一方面,Ncba,,有ccbcba,而ccacba,则 cbacba,所以,运算“”满足结合律,故,N是半群;是半群。显然,二元运算“”在 N 上是封闭的,所以,,N是
2、一个代数系统,另一方面,Ncba,,有abccabcabcba4)2(2)2(,abcbcabcacba422)2(,即cbacba,所以,运算“”满足结合律,故,N是半群。不是半群。虽然,二元运算“”在 N 上是封闭的,即,N是一个代数系统,但是 对 于5,3,6,因 为,4635635635,而2635635)63(5,即)63(5635,所以,运算“”不满足结合律,故,N不是半群。2 在实数集R上的二元运算定义为:),(Rbaabbaba 试判断下列论断是否正确:,R是一个代数系统;,R是一个半群;,R是一个独异点。解 正确。因为,运算显然封闭。正确。abcbcacabcbacabbac
3、ba)()(,bcacabcbabccbacba)()(,即是cbacba,所以满足结合律。故,R是半群。Na,有aaaa000,又有,00aaaa 即存在单位元是 0,故,R是独异点。3 集合a,b上的运算由表 1 定义,问哪一个能使构成独异点。解 431,fff都不能使构成独异点,因为没有一个函数存在单位元。而 2f的单位元是 a,能构成独异点。4 设S=1,2,3,4,M=2,3,是一个独异点,问:是否是的子代数;是否是的子半群;是否是的子独异点。解 是,因为M=2,3关于 min 是封闭的,故是的子代数;是的子半群;不是,因为 S 的单位元是 4,而 4M,故不是的子独异点。习题 1.
4、下列集合关于给定的运算是否构成群 给定实数0a,集合InaGn,关于数的乘法;正有理数集 Q+,关于数的乘法。1f b a a a a a ba 2f b a b a a b ba 3f b a a b a a ba 4f b a b a b a ba 表 1 给定正整数 n,集合1,nnzCzzU,关于数的乘法;一元实系数多项式集合,关于多项式加法;n 维实向量的集合,关于向量的加法。解 是,因为实数乘法满足结合律,存在单位元a0=1,任意元素a存在逆元素a-1;是,因为有理数乘法满足结合律,存在单位元 1,任意元素a存在逆元素a-1;(3)是,因为复数乘法满足结合律,存在单位元 1,任意元
5、素z的逆元素是z共轭复数;(4)是,因为多项式的加法满足结合律,多项式关于加法的单位元是 0 多项式,任意元素 P(x)的逆元素是-P(x).(5)是,因为向量的加法满足结合律,n 维实向量关于向量的加法的单位元是 n 维零向量,任意的 n 维实向量的逆元素是-。2 设I为整数集合,在I上定义二元运算,对任意的Iyx,,2yxyx,那么I与运算 能否构成群为什么 解 可以构成群。因为,对于任意的2)2()(,zyxzyxIzyx)(2)2(4zyxzyxzyx,所以,运算 满足结合律;,关于运算 有单位元 2,这是因为对于任意的,Ia都有aaa222,且aaa222;对于任意的a I,若要a有
6、逆元b,需要有ab=ba=2,即需要a+b-2=b+a-2=2,事实上只要b=a-4 即可。因此,对于任意的a I,a都可逆,且a的逆元是a-4。综上所述,由,得出结论I与运算 能构成群。3给定独异点,且对任何元素aG,有a*a=1。试证:是 Abel 群。证明 因为对于任意的1,aaGa,所以a可逆,且aa1,因此,是群。要证明是 Abel 群,只需证明运算满足交换律,事实上,因为,对于任意的1,1,yyxxGyx,所以)()(1)()(yxyxyyxx,因此,由结合律则有yyxxyxyx)()(,再由消去律得:yxxy。故是 Abel群。4 设,G是一群,Gcba,。证明:cbabxa 在
7、 G 中有且仅有一个解。证明 当1110bacbax时,因为,abbacbaaabxa)(1110=cb,所以,1110bacbax是方程cbabxa的解。下面方程的解是唯一的。对于,Gcba若cbabxa解y,即cbabya,由于群中的任何元素都可逆,则对上式两边同时左乘a-1,并两边同时右乘a-1b-1则得,)()()()(111111bacbabaabyaa 由结合律则有,111bacbay。证毕。5 设G为群,证明单位元为G中唯一的幂等元。证明 设 1 是群 G 的单位元,若 G 中存在幂等元a,即 aaa 因为群中的任何元素都可逆,因此,a也可逆,则有 aaaaaaaaaa1)()(
8、1111 故单位元为 G 中惟一的幂等元。6 群,R与,0-R之间的关系是_。A同态;B.同构;C后者是前者的子群;,B,C 均不正确。解 答案是 A,因为存在同态映射 f:RR-0,f(x)=ex,但不存在同构映射。习题 1.请给出循环群的所有生成元。并说明什么元素才可以作的生成元。解 1,5,7,11 为其生成元,任何与 12 互素的正整数都可作的生成元。2.证明:循环群的任何子群都是循环群。证明 设 H 是循环群 G 的子群,且 G 的生成元是a。若 H=e,则 H 是循环群。若 He,由于 H 非空,则必存在正整数 m0 使amH。设 m 是使amH 的最小的正整数,若对于任何的 an
9、H(nN),则由带余除法有 n=mk+r,0rm 则有 ar=an-mk=ana-mk=an(am)kH,而因为 m 是使amH 的最小的正整数,且 0rm,所以 r=0。这样 n=mk,an=amk=(am)k,再由 anH 的任意性知,H 中的任意元素都是 am的幂,故 H=(am),即循环群的任何子群都是循环群。习题 1.给定群,且H=aa,xGx*a=a*x,试证 是 的子群。证明 显然HG;证 明 运 算*关 于H的 封 闭 性。任 取a,bH,对 于 任 意 的x G有bxxbaxxa,,则)()()()()()(baxbaxbxabxaxbaxba,因 此,Hba;设 1 是G中
10、的单位元,因为对于任意的x G有xx11故,H1;任取aHG,对于任意的xG,则由H的定义有,x*a=a*x,由于群的元素都有逆元,因此a也有逆元。等式x*a=a*x两边同时左乘、并同时右乘a的逆元a-1则有,1111)()(axaaaaxa,即11axxa,亦即Hx1。综合、,是 的子群。2.设 G=1,5,7,11,,G为群,其中*为模 12 乘法,则,G有几个真子群。解 群,G真子群有如下 4 个:,。习题 1.设i为虚数单位,21i ,令 0110,00,00,1001iiiiG G上的二元运算为矩阵的乘法运算。给出G关于运算的运算表,并证明是一个群。找出G的所有子群。证明G的所有子群
11、都是正规子群。解 设0110,00,00,1001CiiBiiAE,则集合 G=E,A,B,C,-E,-A,-B,-C,G关于运算的运算表如下。表 2 G关于运算的运算表 E A B C-E-A-B-C E E A B C-E-A-B-C A A-E-C B-A E C-B B B C-E-A-B-C E A C C-B A-E-C B-A E-E-E-A-B-C E A B C-A-A E C-B A-E-C B-B-B-C E A B C-E-A-C-C B-A E C-B A-E 由表 1 可以看出G关于运算是封闭的。而运算是矩阵的乘法运算,因此满足结合律。由表 1 可以看出G关于运算的
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