2023年中考数学专题训练二次函数与特殊的三角形含答案解析.pdf
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1、中考专题训练:二次函数与特殊的三角形 1如图,已知与抛物线 C1 过 A(-1,0)、B(3,0)、C(0,-3).(1)求抛物线 C1 的解析式(2)设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 P,D 为第四象限内的一点,若CPD 为等腰直角三角形,求出 D 点坐标 2在平面直角坐标系中,抛物线 y=-3x13(x-3)与 x 轴交于 A、B 两点(点 A 在点 B 的左侧),与 y轴交于 C 点.(1)求点 A,B,C 的坐标;(2)判断ABC 的形状,并说明理由;(3)若点 P 在抛物线上,且PBA=60,求点 P 的坐标.3已知一次函数 yx+1 与抛物线 yx2+bx+c交 A(m,9),B(
2、0,1)两点,点 C 在抛物线上且横坐标为6(1)写出抛物线的函数表达式;(2)判断ABC 的形状,并证明你的结论;(3)平面内是否存在点 Q在直线 AB、BC、AC距离相等,如果存在,请直接写出所有符合条件的 Q 的坐标,如果不存在,说说你的理由 4 二次函数 y=2169mmmxx的图象与 x 轴交于点 A 和点 B,以 AB 为边在 x 轴下方作正方形 ABCD,点 P 是 x 轴上一动点,连接 DP,过点 P 作 DP 的垂线与 y 轴交于点 E(1)求出 m 的值并求出点 A、点 B 的坐标(2)当点 P 在线段 AO(点 P 不与 A、O 重合)上运动至何处时,线段 OE 的长有最
3、大值,求出这个最大值;(3)是否存在这样的点P,使PED 是等腰三角形?若存在,请求出点P的坐标及此时PED 与正方形ABCD重叠部分的面积;若不存在,请说明理由 5定义:在平面直角坐标系 xOy 中,直线 ya(xm)+k 称为抛物线 ya(xm)2+k 的关联直线(1)求抛物线 yx2+6x1 的关联直线;(2)已知抛物线 yax2+bx+c 与它的关联直线 y2x+3 都经过 y 轴上同一点,求这条抛物线的表达式;(3)如图,顶点在第一象限的抛物线 ya(x1)2+4a 与它的关联直线交于点 A,B(点 A 在点 B 的左侧),与 x 轴负半轴交于点 C,连结 AC、BC当ABC 为直角
4、三角形时,求 a 的值 6如图,在平面直角坐标系中,二次函数 yax2+bx3 交 x轴于点 A(3,0)、B(1,0),在 y 轴上有一点 E(0,1),连接 AE(1)求二次函数的表达式;(2)若点 D为抛物线在 x轴负半轴下方的一个动点,求ADE面积的最大值;(3)抛物线对称轴上是否存在点 P,使AEP为等腰三角形?若存在,请直接写出所有 P点的坐标;若不存在,请说明理由 7如图,已知直线 y=3x3 分别交 x 轴、y 轴于 A、B 两点,抛物线 y=x2+bx+c 经过 A、B 两点,点 C 是抛物线与 x 轴的另一个交点(与 A 点不重合)(1)求抛物线的解析式;(2)求ABC 的
5、面积;(3)在抛物线的对称轴上,是否存在点 M,使ABM 为等腰三角形?若不存在,请说明理由;若存在,求出点 M 的坐标 8如图所示,已知抛物线的顶点为坐标原点 O,矩形 ABCD 的顶点 A,D 在抛物线上,且 AD 平行 x 轴,交 y 轴于点 F,AB 的中点 E 在 x 轴上,B 点的坐标为(2,1),点 P(a,b)在抛物线上运动(点 P 异于点 O)(1)求此抛物线的解析式(2)过点 P 作 CB 所在直线的垂线,垂足为点 R,求证:PF=PR;是否存在点 P,使得PFR 为等边三角形?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由;延长 PF 交抛物线于另一点 Q,过 Q 作
6、BC 所在直线的垂线,垂足为 S,试判断RSF 的形状 9如图,在平面直角坐标系中,ACB=90,OC=2OB,tanABC=2,点 B 的坐标为(1,0)抛物线 y=x2+bx+c 经过 A、B 两点(1)求抛物线的解析式;(2)点 P 是直线 AB 上方抛物线上的一点,过点 P 作 PD 垂直 x 轴于点 D,交线段 AB 于点 E,使 PE=12DE 求点 P 的坐标;在直线 PD 上是否存在点 M,使ABM 为直角三角形?若存在,求出符合条件的所有点 M 的坐标;若不存在,请说明理由 10如图,抛物线2144yxbx 与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,且2,0B.(1)求抛物线的解
7、析式及顶点D的坐标;(2)判断ABC的形状,证明你的结论;(3)点0,Mm是y轴上的一个动点,当AMDM的值最小时,求m的值.11如图,在平面直角坐标系中,抛物线216yxbxc经过原点 O,与 x 轴交于点 A(5,0),第一象限的点 C(m,4)在抛物线上,y 轴上有一点 B(0,10).(I).求抛物线的解析式及它的对称轴;()点0,nP在线段 OB 上,点 Q 在线段 BC 上,若2OPBQ,且PAQA,求 n 的值;()在抛物线的对称轴上,是否存在点 M,使以 A,B,M 为顶点的三角形是等腰三形?若存在,求出点 M的坐标;若不存在,请说明理由.12如图,已知直线1yx与抛物线2ya
8、x2xc相交于点1,0A 和点2,Bm两点.(1)求抛物线的函数表达式;(2)若点P是位于直线AB上方抛物线上的一动点,当PAB的面积S最大时,求此时PAB的面积S及点P的坐标;(3)在x轴上是否存在点Q,使QAB是等腰三角形?若存在,直接写出Q点的坐标(不用说理);若不存在,请说明理由.13抛物线 yax2+bx3(a0)与直线 ykx+c(k0)相交于 A(1,0)、B(2,3)两点,且抛物线与 y 轴交于点 C(1)求抛物线的解析式;(2)求出 C、D 两点的坐标(3)在第四象限抛物线上有一点 P,若PCD 是以 CD 为底边的等腰三角形,求出点 P 的坐标 14如图,在平面直角坐标系中
9、,二次函数 y13x2+bx+c 的图象与坐标轴交于 A,B,C 三点,其中点A 的坐标为(3,0),点 B 的坐标为(4,0),连接 AC,BC动点 P 从点 A 出发,在线段 AC 上以每秒1 个单位长度的速度向点 C 作匀速运动;同时,动点 Q 从点 O 出发,在线段 OB 上以每秒 1 个单位长度的速度向点 B 作匀速运动,当其中一点到达终点时,另一点随之停止运动,设运动时间为 t 秒连接 PQ(1)填空:b ,c ;(2)在点 P,Q 运动过程中,APQ 可能是直角三角形吗?请说明理由;(3)点 M 在抛物线上,且AOM 的面积与AOC 的面积相等,求出点 M 的坐标 15如图 1,
10、抛物线 yax2+bx+2 与 x 轴交于 A(5,0)B(1,0)两点,与 y 轴交于 C 点,若点 P 是抛物线上的动点,设点 P 的横坐标为 t(1t2),过点 P 作 PQx 轴于点 Q 作 PMx 轴交抛物线于另一点 M,以 PQ,PM 为邻边作矩形 PQNM,矩形 PQNM 的周长为 l (1)求抛物线的函数表达式;(2)求 1 与 t 的函数关系式,并求 l 的最大值;(3)当 l12 时连接对角线 PN,在线段 PN 上取一点 D(点 D 与点 P,N 不重合),连接 DM,过点 D 作DEDM 交 x 轴于点 E DEDM的值为 ;是否存在点 D使DEN 是等腰三角形若存在请
11、直接写出符合条件的点 D 的坐标;若不存在请说明理由 16如图,已知二次函数 yax2+32x+c(a0)的图象与 y 轴交于点 A(0,4),与 x 轴交于点 B、C,点 C坐标为(8,0),连接 AB、AC(1)求出二次函数表达式;(2)若点 N 在线段 BC 上运动(不与点 B、C 重合),过点 N 作 NMAC,交 AB 于点 M,当AMN 面积最大时,求此时点 N 的坐标;(3)若点 N 在 x 轴上运动,当以点 A、N、C 为顶点的三角形是等腰三角形时,请求出此时点 N 的坐标 17如图 1,二次函数 y=ax2+bx-2(a0)的图象与 x 轴交于 A(-4,0)、B(1,0)两
12、点,与 y 轴交于点 C(1)求这个二次函数的表达式:(2)点 M 在该抛物线的对称轴上,当ACM 是直角三角形时,求点 M 的坐标;(3)如图 2,点 D 在 y 轴上,且 CD=OA,连接 AD,点 E、F 分别是线段 OA,AD 上的动点,求 EF+OF 的最小值 18如图,已知抛物线21yaxbx经过(1,0)A、(1,1)B两点,(1)求抛物线的解析式;(2)阅读理解:在同一平面直角坐标系中,直线111lk xb(1k、1b为常数,且10k),直线222lk xb(2k、2b为常数,且20k),若12ll,则121k k 解决问题:若直线31yx与直线2ymx互相垂直,求m的值;在抛
13、物线上是否存在点P,使得PAB 是以AB为直角边的直角三角形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;(3)点M是抛物线上一动点,且在直线AB的上方(不与A、B重合),求点M到直线AB 距离的最大值 19如图,在平面直角坐标系中,一次函数 y13x+2 的图象交 x 轴于点 P,二次函数 y12x2+32x+m的图象与 x 轴的交点为(x1,0)、(x2,0),且21x+22x17(1)求二次函数的解析式和该二次函数图象的顶点的坐标(2)若二次函数 y12x2+32x+m的图象与一次函数 y13x+2 的图象交于 A、B两点(点 A在点 B的左侧),在 x轴上是否存在点 M,使得MAB
14、 是以ABM 为直角的直角三角形?若存在,请求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由 20如图,直线 yx+3 与 x轴、y 轴分别交于 B、C两点,经过 B、C两点的抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴的另一个交点为 A,顶点为 P(1)求该抛物线的解析式;(2)当 0 x3 时,在抛物线上求一点 E,使CBE的面积有最大值;(3)在该抛物线的对称轴上是否存在点 M,使以 C、P、M为顶点的三角形为等腰三角形?若存在,请写出所符合条件的点 M 的坐标;若不存在,请说明理由 参考答案 1(1)y=x2-2x-3,(2)D1(4,-1),D2(3,-4),D3(2,-2)【分析】(1)设解析式为
15、 y=a(x-3)(x+1),把点 C(0,-3)代入即可求出解析式;(2)根据题意作出图形,根据等腰直角三角形的性质即可写出坐标.【解析】(1)设解析式为 y=a(x-3)(x+1),把点 C(0,-3)代入得-3=a(-3)1 解得 a=1,解析式为 y=x2-2x-3,(2)如图所示,对称轴为 x=1,过 D1作 D1Hx 轴,CPD 为等腰直角三角形,OPCHD1P,PH=OC=3,HD1=OP=1,D1(4,-1)过点 D2Fy 轴,同理OPCFCD2,FD2=3,CF=1,故 D2(3,-4)由图可知 CD1与 PD2交于 D3,此时 PD3CD3,且 PD3=CD3,PC=221
16、3=10,PD3=CD3=5 故 D3(2,-2)D1(4,-1),D2(3,-4),D3(2,-2)使CPD 为等腰直角三角形.【点评】此题主要考察二次函数与等腰直角三角形结合的题,解题的关键是熟知二次函数的图像与性质及等腰直角三角形的性质.2(1)A(-1,0),B(3,0),C(0,3);(2)见解析;(3)(2,3)或 C(-4,-73).【分析】(1)抛物线与 x 轴相交,则 y=0;与 y 轴相交,则 x=0,计算结果即可(2)根据三个点的坐标画图即可观察得到(3)点 P 在抛物线上,且PBA=60,画图求解即可.【解析】抛物线与 x 轴相交,则 y=0;与 y 轴相交,则 x=0
17、,A(-1,0),B(3,0),C(0,3).(2)根据三点坐标,画图可知,ABC 是直角三角形(3)设 P(m,=-33 m 1(m-3),过点 P 作 PHx 轴于点 H,PBA=60,PH=3BH,-33 m 1(m-3)=3(3-m)或33 m 1(m-3)=3(3-m),解之,得 m=2,或-4,点 P 的坐标为(2,3)或(-4,-73)【点评】此题重点考察学生对二次函数的理解,掌握二次函数的性质和解法是解题的关键.3(1)yx27x+1;(2)ABC 为直角三角形理由见解析;(3)符合条件的 Q 的坐标为(4,1),(24,1),(0,7),(0,13)【分析】(1)先利用一次函
18、数解析式得到 A(8,9),然后利用待定系数法求抛物线解析式;(2)先利用抛物线解析式确定 C(6,5),作 AMy 轴于 M,CNy 轴于 N,如图,证明ABM 和BNC都是等腰直角三角形得到MBA45,NBC45,AB82,BN62,从而得到ABC90,所以ABC 为直角三角形;(3)利用勾股定理计算出 AC102,根据直角三角形内切圆半径的计算公式得到 RtABC 的内切圆的半径22,设ABC 的内心为 I,过 A 作 AI 的垂线交直线 BI 于 P,交 y 轴于 Q,AI 交 y 轴于 G,如图,则 AI、BI 为角平分线,BIy 轴,PQ 为ABC 的外角平分线,易得 y 轴为AB
19、C 的外角平分线,根据角平分线的性质可判断点 P、I、Q、G 到直线 AB、BC、AC 距离相等,由于 BI2224,则 I(4,1),接着利用待定系数法求出直线 AI 的解析式为 y2x7,直线 AP 的解析式为 y12x+13,然后分别求出P、Q、G 的坐标即可【解析】解:(1)把 A(m,9)代入 yx+1 得 m+19,解得 m8,则 A(8,9),把 A(8,9),B(0,1)代入 yx2+bx+c 得64+8+91b cc,解得-71bc,抛物线解析式为 yx27x+1;故答案为 yx27x+1;(2)ABC 为直角三角形理由如下:当 x6 时,yx27x+13642+15,则 C
20、(6,5),作 AMy 轴于 M,CNy 轴于 N,如图,B(0,1),A(8,9),C(6,5),BMAM8,BNCN6,ABM 和BNC 都是等腰直角三角形,MBA45,NBC45,AB82,BN62,ABC90,ABC 为直角三角形;(3)AB82,BN62,AC102,RtABC 的内切圆的半径6 2+8 2-10 2=2 22,设ABC 的内心为 I,过 A 作 AI 的垂线交直线 BI 于 P,交 y 轴于 Q,AI 交 y 轴于 G,如图,I 为ABC 的内心,AI、BI 为角平分线,BIy 轴,而 AIPQ,PQ 为ABC 的外角平分线,易得 y 轴为ABC 的外角平分线,点
21、I、P、Q、G 为ABC 的内角平分线或外角平分线的交点,它们到直线 AB、BC、AC 距离相等,BI2224,而 BIy 轴,I(4,1),设直线 AI 的解析式为 ykx+n,则4189knkn,解得27kn,直线 AI 的解析式为 y2x7,当 x0 时,y2x77,则 G(0,7);设直线 AP 的解析式为 y12x+p,把 A(8,9)代入得4+n9,解得 n13,直线 AP 的解析式为 y12x+13,当 y1 时,12x+131,则 P(24,1)当 x0 时,y12x+1313,则 Q(0,13),综上所述,符合条件的 Q 的坐标为(4,1),(24,1),(0,7),(0,1
22、3)【点评】本题考查了二次函数的综合题:熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、角平分线的性质和三角形内心的性质;会利用待定系数法求函数解析式;理解坐标与图形性质是解题的关键 4(1)m=2,A(3,0),B(1,0);(2)P 为 AO 中点时,OE 的最大值为916;(3)存在,见解析.【分析】(1)利用二次函数的定义求出 m 的知,再令 y=0 即可得出点 A,B 坐标;(2)设 PA=t(-3t0),则 OP=3-t,如图 1,证明DAPPOE,利用相似比得到 OE=-21344tt,然后利用二次函数的性质解决问题;(3)讨论:当点 P 在 y 轴左侧时,如图 2,DE 交 AB 于 G
23、点,证明DAPPOE 得到 PO=AD=4,则 PA=1,OE=1,再利用平行线分线段成比例定理计算出 AG=125,则计算 SDAG即可得到此时PED 与正方形 ABCD重叠部分的面积;当P点在y轴右侧时,如图3,DE交AB于G点,DP与BC相交于Q,同理可得DAPPOE,则 PO=AD=4,PA=7,OE=7,再利用平行线分线段成比例定理计算出 OG 和 BQ,然后计算 S四边形DGBQ得到此时PED 与正方形 ABCD 重叠部分的面积当点 P 和点 A 重合时,点 E 和和点 O 重合,此时,PED 不是等腰三角形【解析】(1)二次函数 y=(m1)2mmx6x+9,m2+m=2 且 m
24、10,m=2,二次函数解析式为 y=3x26x+9,令 y=0,0=3x26x+9,x=1 或 x=3,A(3,0),B(1,0);(2)设 PA=t(3t0),则 OP=3t,DPPE,DPA=PEO,DAPPOE,APADOEPO,即43tOEt,OE=14t2+34t=14(t32)2+916,当 t=32时,OE 有最大值,即 P 为 AO 中点时,OE 的最大值为916;(3)存在 当点 P 在 y 轴左侧时,如图 1,DE 交 AB 于 G 点,PD=PE,DPE=90,DAPPOE,PO=AD=4,PA=1,OE=1,ADOE,AGADOGOE=4,AG=125,SDAG=121
25、254=245,P 点坐标为(4,0),此时PED 与正方形 ABCD 重叠部分的面积为;245当 P 点在 y 轴右侧时,如图 2,DE 交 AB 于 G 点,DP 与 BC 相交于 Q,同理可得DAPPOE,PO=AD=4,PA=7,OE=7,ADOE,47AGADOGOE,OG=2111,同理可得 BQ=127,S四边形DGBQ=12(2111+1)4+124127=71277 当点 P 的坐标为(4,0)时,此时PED 与正方形 ABCD 重叠部分的面积为71277 当点 P 和点 A 重合,此时,点 E 和点 O 重合,DPOP,此时,PDE 不是等腰三角形 【点评】本题考查了二次函
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