矩阵分析引论.pdf
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1、目 录1 线性空间与线性变换1 1.1 线性空间的概念1 1.2 基变换与坐标变换4 1.3 子空间与维数定理5 1.4 线性空间的同构9 1.5 线性变换的概念11 1.6 线性变换的矩阵15 1.7 不变子空间17 习题一182 内积空间21 2.1 内积空间的概念21 2.2 正交基及子空间的正交关系24 2.3 内积空间的同构27 2.4 正交变换28 2.5 点到子空间的距离与最小二乘法30 2.6 复内积空间(酉空间)32 2.7 正规矩阵34 2.8 厄米特二次型39 2.9 力学系统的小振动*43 习题二443 矩阵的标准形46 3.1 矩阵的相似对角形46 3.2 矩阵的约当
2、标准形50 3.3 哈密顿开莱定理及矩阵的最小多项式58 3.4 多项式矩阵与史密斯标准形61 3.5 多项式矩阵的互质性和既约性68 3.6 有理分式矩阵的标准形及其仿分式分解74 3.7 系统的传递函数矩阵*78 3.8 舒尔定理及矩阵的 QR 分解80 3.9 矩阵的奇异值分解84 习题三854 矩阵函数及其应用87 4.1 向量范数87 4.2 矩阵范数91 4.3 向量和矩阵的极限93 4.4 矩阵幂级数98 4.5 矩阵函数103 4.6 矩阵的微分与积分113 4.7 常用矩阵函数的性质115 4.8 矩阵函数在微分方程组中的应用117 4.9 线性系统的能控性与能观测性*121
3、 习题四1245 特征值的估计与广义逆矩阵126 5.1 特征值的界的估计126 5.2 圆盘定理128 5.3 谱半径的估计130 5.4 广义逆矩阵与线性方程组的解131 5.5 广义逆矩阵 A+135 习题五1366 非负矩阵138 6.1 正矩阵138 6.2 非负矩阵141 6.3 随机矩阵144 6.4 M 矩阵146附录 1 习题答案153附录 2 典型例题解析168参考书目1802矩阵分析引论1 线 性 空 间 与 线 性 变 换本章扼要概述线性空间与线性变换的基本概念和基本理论,这是学习矩阵分析及其应用的入门知识.对于线性代数基础比较好的读者,有些部分粗看一下就可以了.1.1
4、 线性空间的概念人们谈论问题,往往都是就一定“范围”来说的,脱离了这个“范围”,就难以讲清楚了,甚至只能在某个“范围”内才能提出或研究某种问题.明白了这一点,就较容易理解我们引入数域及线性空间的目的了.我们知道,由所有有理数组成的集合具有这样的性质:这集合中任意两数的和、差、积、商(除数不为零)仍是该集合中的数,这个集合用Q 表示.类似地,由所有实数构成的集合R,以及由所有复数构成的集合C 也都具有这一性质.这三个集合的包含关系为QRC.因此我们说“一个复数”时,自然包括这个数可能是有理数或实数这两个特殊情况在内.在引入线性空间这一重要概念之前,首先要给出数域的概念.如果复数的一个非空集合P
5、含有非零的数,且其中任意两数的和、差、积、商(除数不为零)仍属于该集合,则称数集P 为一个数域.于是上述集合Q,R,C 都是数域,分别称为有理数域、实数数域及复数域.又如集合Q(2)=a+b2a,b Q也构成一数域,请读者加以验证.但是,由所有整数组成的集合Z 是不构成数域的.数域有一个简单性质,即所有的数域都包含有理数域作为它的一部分.特别地,每个数域都包含整数 0 和 1.现在我们可以给出线性空间的定义了.定义 11 设 V 是一个非空集合,P 是一数域.如果(1)在集合 V 上定义了一个二元运算(通常称为加法),即是说,V 中任意两个元素,经过这个运算后所得到的结果,仍是集合 V 中的唯
6、一确定的元素,这元素称为 与的和,并记作+;(2)在数域 P 与集合 V 的元素之间还定义了一种运算,叫做数量乘法,即对于 P 中任意数 k 与 V 中任意元素,经这一运算后所得的结果仍为 V 中一个唯一确定的元素,称为k 与的数量乘积,记作 k;(3)上述两个运算满足下列八条规则:()对任意,V,+=+;()对任意,V,(+)+=+(+);()V 中存在一个零元素,记作 0,对任意 V,都有+0=;()任一 V,都有 V,使得+=0,元素 称为的负元素,记作-;()对任一 V,都有 1=;()对任一 V,k,lP,k(l)=(kl);()对任一 V,k,lP,(k+l)=k+l;()对任一
7、kP,V,k(+)=k+k,则集合 V 称为数域 P 上的线性空间或向量空间.V 中的元素常称为向量.V 中的零元素称为零向量.当P 是实数域时,V 叫实线性空间;当P 是复数域时,V 叫复线性空间.数域P 上的线性空间有时简称为线性空间.由定义可以证明:线性空间 V 中的零向量是唯一的;V 中每个元素的负元素也是唯一的;并且有0=0,k 0=0,(-1)=-,这里 kP,V.又 V 中元素的减法可以定义为(对任何,V)-=+(-).下面是一些常见的线性空间的例子.例 11 若 P 是数域,V 是分量属于 Pn 元有序数组的集合V=(x1,x2,xn)xi P,若对 V 中任两元素X=(x1,
8、x2,xn),Y=(y1,y2,yn)及每个 kP(记作 kP),定义加法及数量乘法为X+Y=(x1+y1,x2+y2,xn+yn),kX=(kx1,kx2,kxn),则容易验证,集合 V 构成数域 P 上的线性空间.这个线性空间记为Pn.例 12 所有元素属于数域 P 的 m n 矩阵组成的集合,按通常定义的矩阵加法及数与矩阵的数量乘法,也构成数域 P 上的一个线性空间,并把它记为Pm n.例 13 若 n 为正整数,P 是数域,则系数属于P 而未定元为 t 的所有次数小于 n 的多项式的集合.这个集合连同零多项式在内,按通常多项式的加法及数与多项式的乘法构成数域 P 上的线性空间.我们用
9、P tn代表这个空间.若把“次数小于 n 的”这一限制取消,则也得到一个线性空间,并记为 P t.例 14 所有定义在区间 a,b(a b)上的实值连续函数构成的集合,按照函数的加法及数与函数的乘法,显然构成实数域上一个线性空间,记为 R a,b.在讨论线性空间的问题时,下面几个概念是必须熟知的.定义 12 设 V 是数域 P 上的线性空间,1,2,n是 V 的一组向量,如果 P 中有一组不全为零的数 k1,k2,kn,使得k11+k22+knn=0,11则称向量 1,2,n线性相关;若等式 11 当且仅当 k1=k2=kn=0 时才成立,则称这组向量是线性无关的.由定义得知,如果向量 1,2
10、,n线性相关,则使得式 11 成立的数 k1,k2,kn中至少有一个不等于零,比如 k10,则有1=-k2k12-knk1n,2矩阵分析引论这时,我们说向量 1是向量 2,3,n的线性组合.或者说,向量 1可由 2,3,n线性表示(表出).一般地说,一组向量(含有限个向量)线性相关时,则其中至少有一个向量可由这组中其它向量线性表出;反过来,如果这组向量具有这一性质,则这组向量必定线性相关.但不难推知,线性无关的一组向量,其任一向量都不可能由这组中其余向量线性表出.定义 13 设 V 是数域 P 上的线性空间,如果 V 中存在一组向量,满足(1)向量组线性无关;(2)V 中任一向量可由向量组线性
11、表示,则称该组向量构成 V 的一个基.若 V 的一个基中向量个数为 n,称 n 为 V 的维数,记为 dim V=n;若基中向量个数不是有限数时,称 V 是无限维向量空间.本书主要讨论有限维线性空间.在 n 维线性空间中,其任意的 n 个线性无关向量都构成它的一个基.由线性空间维数定义可知,在有限维线性空间中,基是存在的,但不是唯一的.因为,当维数是 n 时,空间里的任何 n 个线性无关的向量都可以作它的一个基.定理 11 设 V 是数域 P 上的 n 维线性空间,1,2,n是 V 的一个基,则 V 中任一向量都可以表示为这个基的线性组合,且表示式是唯一的.证明 由定义 13 知=k11+k2
12、2+knn,12如果 还有另一表示=l11+l22+lnn,13则由式 12、式 13 即得(k1-l1)1+(k2-l2)2+(kn-ln)n=0,因基向量 1,2,n线性无关,所以k1-l1=k2-l2=kn-ln=0,从而有 ki=li(i=1,2,n).这证明了表示式的唯一性.证毕.表示式 12 中的数 k1,k2,kn称为向量在基1,2,n下的坐标.此定理说明,取定一个基后,每个向量 在这个基下的坐标是唯一确定的.的第 i 个坐标 ki(i=1,2,n)也称为 的第 i 个分量.我们再来看看前述几个例子中线性空间Pn,Pm n,P tn的维数.首先,容易证明1=(1,0,0),2=(
13、0,1,0),n=(0,0,1)是线性空间Pn的 n 个线性无关向量,又显然 Pn中任一向量=(k1,k2,kn)都可由这 n 个线性无关向量线性表出,有=k11+k22+knn,从而得知Pn是 n 维线性空间.今后用得较多的是Rn及Cn.再考察线性空间Pm n,若用 Eij表示第 i 行、第 j 列上的元素等于 1 而其它元素均等于零的 m n 矩阵,则下列的 mn 个矩阵 E11,E1 2,Eij,Emn(i=1,2,m;j=1,2,31 线性空间与线性变换,n)构成Pm n的一个基,故Pm n是 mn 维线性空间.今后用得较多的是Rm n及Cm n,包括它们当 m=n 时的特殊情况.最后
14、,由于 1,t,t2,tn-1是P tn的一个基,故P tn是 n 维线性空间.1.2 基变换与坐标变换设 V 是数域P 上的 n 维线性空间,1,2,n及1,2,n是 V 的两个基.假设这两个基的关系为1=a111+a212+an1n2=a121+a222+an2n n=a1 n1+a2 n2+annn14写成矩阵形式记为(1,2,n)=(1,2,n)A.15 我们把矩阵A=a11a12a1 na21a22a2 nan1an2an n称为从基 1,2,n到基1,2,n的过渡矩阵.关于形式矩阵乘法容易验证有以下性质:(1,2,n)(A+B)=(1,2,n)A+(1,2,n)B(1,2,n)(A
15、B)=(1,2,n)A B,亦即形式矩阵也满足矩阵的运算性质,只不过数与向量的“乘积”是数乘.后面的内积空间也会用到形式矩阵的记号及运算.现设 1,2,n及1,2,n是 V 的两个基,为 V 中任一向量,且设 在上述两个基下的表示式分别为=k11+k22+knn=(1,2,n)k1k2kn,16=l11+l22+lnn=(1,2,n)l1l2ln.17 下面研究向量 在基变换下,其坐标的变化规律.由于基向量线性无关,并利用齐次线性方程只有零解的条件,便可证明过渡矩阵 A 是4矩阵分析引论可逆的.由式 17 和式 15 可得=(1,2,n)l1l2ln=(1,2,n)Al1l2ln.18 由于
16、1,2,n线性无关,式 16 和式 18 右边 i的系数应相等,亦即k1k2kn=Al1l2ln,19从而又有l1l2ln=A-1k1k2kn.110式 19 和式 110 给出了基变换 15 下,向量 的坐标变换公式.1.3 子空间与维数定理线性空间有些性质需用子空间的性质来表达,所以研究线性空间的子空间是必要的.定义 14 设 V 是数域 P 上的线性空间,W 是 V 的一个非空子集.如果 W 对于线性空间 V 所定义的加法运算及数量乘法运算也构成数域 P 上的线性空间,则称 W 为 V 的线性子空间,简称子空间.从线性空间的定义很容易找到上述非空子集为 V 的子空间的充要条件,就是下述定
17、理.定理 12 设 W 是数域 P 上线性空间 V 的非空子集,则 W 是 V 的线性子空间的充要条件是(1)若,W,则+W;(2)若 W,kP,则 k W.换言之,线性空间 V 的非空子集 W 是子空间的充要条件是:W 关于 V 中定义的两个运算是“封闭”的.证明 条件的必要性是显然的,因为当 W 为 V 的子空间时,由定义 14 即知条件(1)与(2)自然是满足的.反过来,若定理 12 的两个条件已满足,则可推出零向量 0 W(取k=0 并利用条件(2);又当 W 时,取 k=-1 便可以从条件(2)推出-W.至于线性空间定义中的其它运算“规则”,由于对 V 中所有元素都成立,当然对子集
18、W 中的元素也能成立,所以定理中的条件也是充分的.证毕.在线性空间 V 中,由单个零向量组成的子集0是 V 的一个子空间,称为零子空间,而线性空间 V 本身也是 V 的一个子空间.这两个子空间称为平凡子空间.零空间的维数定义51 线性空间与线性变换为零.例 15 在 n 维线性空间Pn中,子集W=XAX=0,X Pn构成Pn的一个 n-r 维子空间,r 是 APm n的秩.例 16 设 1,2,m是数域P 上线性空间 V 的 m 个向量,则这组向量的所有形如k11+k22+kmm(ki P)的线性组合构成的集合非空,且对 V 中的加法及数量乘法皆封闭,故形成 V 的一个子空间,称为由这组向量生
19、成的子空间,并记为 L(1,2,m).例 16 提供了构作已知线性空间的子空间的一种方法.下面两个定理也给出了获得新的子空间的方法.定理 13 设 V1,V2是数域 P 上线性空间 V 的两个子空间,则它们的交 W=V1 V2也是 V 的子空间.证明 由于每个子空间都包含零向量,所以零向量必定属于这两个子空间的交,即 W不会是空集.现任取,W,则,Vi,而 Vi是子空间,所以+Vi(i=1,2),从而+W.又对任一 kP 及任一 W,又有k Vi(i=1,2)从而 k W.证毕.定理 14 设 V1,V2是数域 P 上线性空间 V 的两个子空间,则它们的和V1+V2=+V1,V2也是 V 的子
20、空间.证明 首先,V1+V2不是空集,因为零向量属于 V1及 V2,且 0=0+0 V1+V2.其次,如果,是 V1+V2中任两向量,且设=1+1,=2+2.这里 1,2 V1,1,2 V2.由于 V1,V2是子空间,故1+2 V1,1+2 V2,从而+=(1+2)+(1+2)V1+V2.同样地,对任一 kP,则有k=k 1+k 1 V1+V2,即 V1+V2是 V 的子空间.证毕.由于子空间的交与和都满足交换律及结合律,所以还可以定义有限个子空间的交与和,并把上述两个定理推广到有限多个子空间的情形,兹不赘述.例 17 L(1,2,s)+L(1,2,t)=L(1,2,s,1,2,t).下面讨论
21、子空间的交与和的维数.定理 15(维数公式)设 V 是数域 P上的 n 维线性空间,V1,V2是它的两个子空间,6矩阵分析引论则有维数公式dim V1+dim V2=dim(V1+V2)+dim(V1 V2).或写作dim(V1+V2)=dim V1+dim V2-dim(V1 V2).证明 假设 dim V1=r,dim V2=s,dim(V1+V2)=k,dim(V1 V2)=t.在 V1 V2中选取一个基 1,2,t,并扩充它,使 r 个线性无关向量1,2,t,t+1,r成为 V1的一个基;同样地,使 s 个线性无关向量1,2,t,t+1,s成为 V2的一个基.如能证明1,2,t,t+1
22、,r,t+1,s111为 V1+V2的一个基,那就有dim(V1+V2)=r+s-t,从而定理得证.要证明式 111 为 V1+V2的一个基,只要说明两点:一是 V1+V2中任一向量可由式 111 线性表出;二是向量组 111 线性无关.第一点比较容易,请读者自己证明,下面证明向量组 111 线性无关.事实上,如果有k11+k22+ktt+kt+1t+1+krr+lt+1t+1+lss=0,则可得k11+k22+ktt+kt+1t+1+krr=-lt+1t+1-lss112此等式左边确定了一个属于 V1的向量,而由右边又可见 亦属于 V2,从而 V1 V2,故 可由 V1 V2的基 1,2,t
23、线性表出,即=l11+l22+ltt.113由式 112 和式 113 得l11+l22+ltt+lt+1t+1+lss=0,由 1,2,t,t+1,s是 V2的基得l1=l2=lt=lt+1=ls=0,代入式 113 即得=0.再应用式 112,且因基向量线性无关,于是又得k1=k2=kt=kt+1=kr=0.这就证明了向量组 111 线性无关,于是定理得证.推论 若 n 维线性空间 V 的两个子空间的维数之和大于 n,则 V1 V2必含非零向量.证明 由所设条件,有 dim V1+dim V2 n,又 dim(V1+V2)n 显然成立,故由维数公式即得dim(V1 V2)=dim V1+d
24、im V2-dim(V1+V2)0,71 线性空间与线性变换所以 V1 V2含有非零向量.证毕.若 V1 V2=0,则维数公式便成为dim(V1+V2)=dim V1+dim V2,即和的维数等于维数的和.定理 14 给出了两个子空间的和 V1+V2的定义.在子空间的和中,有一个情形特别重要,这就是下面定义的子空间的直和.定义 15 设 V1,V2是线性空间 V 的两个子空间,如果这两个子空间的和 W=V1+V2具有性质:对每个 W,分解式=1+2(其中 1 V1,2 V2)是唯一的,则称子空间 V1与 V2的和 W=V1+V2为直和,并记为 W=V1V2.例 18 设有四维线性空间R4的三个
25、子空间:V1=(a,b,0,0)a,b R,V2=(0,0,c,0)c R,V3=(0,d,e,0)d,e R,则 T=V1+V3不是直和,因为 T 中有向量(1,1,1,0),分解式不唯一:(1,1,1,0)=(1,2,0,0)+(0,-1,1,0),(1,1,1,0)=(1,0,0,0)+(0,1,1,0).但 S=V1+V2则是直和,因为当 S,则有=(a,b,0,0)+(0,0,c,0)=(a,b,c,0).若 还有另一表示=(a1,b1,0,0)=(0,0,c1,0)=(a1,b1,c1,0),显然,a1=a,b1=b,c1=c.故 S 中每个向量的分解式唯一,从而 S 是直和.关于
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