高考数学一轮复习第四章三角函数与解三角形4-8解三角形应用举例学案理.doc
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1、- 1 - / 14【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第四章三角函数与精选高考数学一轮复习第四章三角函数与解三角形解三角形 4-84-8 解三角形应用举例学案理解三角形应用举例学案理考纲展示 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.考点 1 距离的测量测量距离的基本类型及方案类型A,B两点间不可通或不可视A,B两点间可视,但有一点不可达A,B两点都不可达图形方法先测角C,ACb,BCa,再用余弦定理求AB以点A不可达为例,先测角B,C,BCa,再用正弦定理求AB测得CDa,BCD,BDC,ACD,ADC,ACB,在ACD中用正弦定理求AC
2、;在BCD中用正弦定理求BC;在ABC中用余弦定理求AB续表类型A,B两点间不可通或不可视A,B两点间可视,但有一点不可达A,B两点都不可达结论ABABAC;- 2 - / 14a2b22abcos CBC; ABAC2BC22ACBCcosACB(1)教材习题改编海上有 A,B,C 三个小岛,A,B 相距 5 海里,从 A 岛望 C 和 B 成 45视角,从 B 岛望 C 和 A 成 75视角,则 B,C两岛间的距离是_海里答案:52解析:易知ACB60,由,得,得 BC5.(2)教材习题改编已知 A,B 两地间的距离为 10 m,B,C 两地间的距离为 20 m,现测得ABC120,则 A
3、,C 两地间的距离是_答案:10 m解析:AC2AB2BC22ABBCcos ABC10220221020cos 120700,所以 AC10(m)考情聚焦 研究测量距离问题是高考中的常考内容,题型既有客观题,也有解答题,难度一般适中,属中档题解题时要选取合适的辅助测量点,构造三角形,将问题转化为求某个三角形的边长问题,从而利用正余弦定理求解主要有以下几个命题角度:角度一两点可视但有一点不可到达典题 1 某同学骑电动车以 24 km/h 的速度沿正北方向的公路行驶,在点 A 处测得电视塔 S 在电动车的北偏东 30方向上,15 min后到点 B 处,测得电视塔 S 在电动车的北偏东 75方向上
4、,则点 B 与电视塔的距离是_km.- 3 - / 14答案 32解析 由题意知 AB246,在ABS 中,BAS30,AB6,ABS18075105,ASB45,由正弦定理知,BS3.角度二两点不可到达的距离典题 2 2017辽宁沈阳一模如图,A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D 为两岛上的两座灯塔的塔顶测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点仰角分别为 75,30,于水面 C 处测得 B点和 D 点的仰角均为 60,AC0.1 km.试探究图中 B,D 间距离与另外哪两点间距离相等,然后求 B,D 的距离(计算结果精确到 0.01 km,1.414,2.449)2解 在
5、ACD 中,DAC30,ADC60DAC30,所以 CDAC0.1,又BCD180606060,故 CB 是CAD 底边 AD 的中垂线,所以 BDBA.在ABC 中,即 AB,又 sin 15sin(6045)sin 60cos 45cos 60sin 45,所以 AB,因此,BD0.33(km)- 4 - / 14故 B,D 的距离约为 0.33 km.角度三两点不相通的距离典题 3 如图所示,要测量一水塘两侧 A,B 两点间的距离,其方法先选定适当的位置 C,用经纬仪测出角 ,再分别测出 AC,BC的长 b,a,则可求出 A,B 两点间的距离即 AB.若测得 CA400 m,CB600
6、m,ACB60,试计算 AB 的长为_答案 200 m解析 在ABC 中,由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos ACB,AB2400260022400600cos 60280 000.AB200 m,即 A,B 两点间的距离为 200 m.点石成金 求距离问题的注意事项(1)选定或确定要求解的三角形,即所求量所在的三角形,若其他量已知则直接解;若有未知量,则把未知量放在另一确定三角形中求解(2)确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选择更便于计算的定理(3)解法:选择合适的辅助测量点,构造三角形,将问题转化为求某个三角形的边长问题,从而利用正余弦定理求解考点 2 测量高度问题测量
7、高度的基本类型及方案类型点B与点C,D共线点B与点C,D不共线- 5 - / 14图形方法先测得CDa,ACB和ADB,再用正弦定理求出AC或AD,最后解直角三角形求出AB先测得BCD,BDC,CDa,在BCD中先用正弦定理求出BC,在ABC中ACB可测,CAB90BCDACB,再用正弦定理求AB结论ABatanACBtanADB tanADBtanACBAB1.实际问题中角的概念理解错误为测量某塔 AB 的高度,在一幢与塔 AB 相距 20 m 的建筑物的顶部测得塔顶 A 的仰角为 30,测得塔基 B 的俯角为 45,那么塔 AB的高度是_答案:20m解析:由题意画出示意图,如图所示,易知
8、AD m,BDCD20 m,故 AB2020 3320(m)2实际问题中把求解目标纳入三角形某路边一棵树的树干被台风吹断后,折断部分与地面成 45角,- 6 - / 14树干倾斜并与地面成 75角,树干底部与树尖着地处相距 20 m,则折断点与树干底部的距离是_m.答案:20 63解析:由题意画出示意图,如图所示,设树干底部为 O,树尖着地处为 B,折断点为 A,则ABO45,AOB75,OAB60.由正弦定理,知,AO sin 45 AO(m)典题 4 某人在塔的正东沿着南偏西 60的方向前进 40 m 后,望见塔在东北方向,若沿途测得塔顶的最大仰角为 30,求塔高解 如图所示,某人在 C
9、处,AB 为塔高,他沿 CD 前进,CD40,此时DBF45,过点 B 作 BECD 于 E,则AEB30,在BCD 中,CD40,BCD30,DBC135,由正弦定理,得,所以 BD20(m)因为BDE1801353015,- 7 - / 14所以在 RtBED 中,BEDBsin 15206 2410(1)(m)在 RtABE 中,AEB30,所以 ABBEtan 30(3)(m)故所求的塔高为(3)m.点石成金 求解高度问题的三个关注点(1)在处理有关高度问题时,理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键(2)在实际问题中,可能会遇到空间与平面
10、(地面)同时研究的问题,这时最好画两个图形,一个空间图形,一个平面图形,这样处理起来既清楚又不容易搞错(3)注意山或塔垂直于地面或海平面,把空间问题转化为平面问题.要测量电视塔 AB 的高度,在 C 点测得塔顶 A 的仰角是 45,在D 点测得塔顶 A 的仰角是 30,并测得水平面上的BCD120,CD40 m,则电视塔的高度为_m.答案:40解析:设电视塔 AB 高为 x m,则在 RtABC 中,由ACB45,得 BCx.在 RtADB 中,由ADB30,得 BDx.在BDC 中,由余弦定理,得BD2BC2CD22BCCDcos 120,即(x)2x24022x40cos 120,- 8
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